数字信号处理3

1、2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算考虑一个长度为 的序列，定义在对序列 进行时间反转运算得到一个长度为 的序列 定义在同理，以整数值 对序列 进行线性时移运算，得到一个 长的序列，此时序列不再定义在当 和 时该序列样本值为零 N01nN-0n0000 ,1 ,0cx nnnnNx nx Nnnnn-=-+如果一个长度为 的序列等间隔的体现在圆上，圆周平移运算可以被视为序列以 个样本周期在圆上做顺时针或者逆时针的旋转，如下页的幻灯片所示2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算N0n圆周平移运算的图形解释2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算从前面的图形可以看出，向右圆周平移 个样本周期等

2、价于向左圆周平移 个样本周期当以大于 的整数 进行圆周平移时，该平移等价于以 大小进行的圆周平移2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算0n0Nn-0n0NnN 2.3.3 序列的分类序列的分类分类有几种类型一种分类方法是根据定义序列的样本数目一种根据序列值关于 的样本值的对称性 另一种是根据序列本身的特性，如周期性，可和性，能量和功率等划分的2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算0n=（1）基于对称性的序列分类）基于对称性的序列分类共轭对称序列如果 是实数，那么该序列是偶序列 偶序列2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算 x nxn*=- x n共轭反对称序列：如果 是实数，那么该序列是

3、奇序列 奇序列2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算 x nxn*= - x n对于一个共轭对称序列 ， 一定是个实数值同样地，对于一个共轭反对称序列 ， 一定是个虚数由上面我们可得出对于一个奇序列 ，2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算任意一个复序列可以表示成为一个共轭对称部分加上一个共轭反对称部分其中 x n 0 x y n 0y w n 00w= cscax nx nxn=+1 ( )21 ( )2cscax nx nxnxnx nxn*=+-=-计算一个序列的共轭对称分量和反对称共轭对称分量，涉及到的运算包括共轭，时间反转，加法运算和乘法运算如果一个有限长序列是奇序列，区间为对称

4、区间 ，那么该序列可以分解成共轭对称序列加上一个共轭反对称序列2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算MnM-例-假设一个长度为7的序列，区间为 ：该序列的共轭序列如下上面序列的时间反转序列是2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算33n- 0,14, 23,42, 56,2,3g njjjjj=+-+- 0,14, 23,42, 56, 2,3g njjjjj*=-+-+ 3, 2, 56,42, 23,14,0gnjjjjj*-=-+-因此，同样地， 我们很容易证明2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算1 21. 5,0. 53, 3. 54. 5,4, 3. 54. 5,0. 53,1

5、. 5csg ng ngnjjjj*=+-=+-+-1 2 1. 5,0. 5,1. 51. 5,2, 1. 51. 5, 0. 5,1. 5cagng ngnjjjjj*=-=-+- cscscacag ngngngn*=-= -任意的实数序列可以表示成为一个偶分量部分加上一个奇分量部分其中，2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算 evodx nxnxn=+1 ( )21 ( )2evodxnx nxnxnx nxn=+-=-序列 满足 ，那么该序列称之为周期为 的周期序列，其中 是正整数， 是任意整数满足 的最小正整数 称之为基本周期2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算例-不满足该周

6、期性条件的序列称为非周期序列 x n% x nx nkN=+%NNk x nx nkN=+%N如果两个周期序列 和 的基本周期分别为 和 ，那么序列是一个基本周期为 的周期序列2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算 ax n% bx n%aNbN aby nx nx n=+%N(,)ababN NNG C D NN=（2）能量和功率信号）能量和功率信号序列 的总能量定义为具有有限样本值的无限长序列的总能量可能是有限的或者是无限的具有有限样本值的有限长序列的总能量是有限的2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算 x n2 Xnx ne= - =例-无限长序列其能量等于该值最终收敛为 ，这表明序

7、列 的能量是有限的2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算1/ ,1 0,0nnx nn=211XnEn=骣=桫26p x n例-无限长序列其能量等于该值是不收敛的，这表明序列 的能量是无限的2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算1/,1 0,0nnx nn= 11XnEn=骣=桫 y n一个非周期序列的平均功率定义为序列 在有限区间 内的能量定义为2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算21l i m| |21KXKnKPx nK= -=+ x nKnK-2,| |Kx KnKx ne= -=然后有以 为周期的周期序列 ，其平均功率定义为无限长序列的平均功率可以是有限的，也可以是无限的2.

8、3 有限长序列的运算有限长序列的运算,1l i m21xx KKPKe=+N1201| |NxnPx nN-=% x n%例-考虑下面一个因果序列注意： 是无限能量的该序列的平均功率有2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算3( 1) ,0 0,0nnx nn- = x n能量无限而平均功率有限的信号称为功率信号能量有限而平均功率为零的信号称为能量信号例-有限长序列的能量是有限的，而平均功率为零例-周期序列的平均功率有限，而能量无限2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算（3）其它类型的分类）其它类型的分类如果序列 满足下面的条件，则该序列是有界的例-序列 是有界序列，因为2.3 有限长序列的

9、运算有限长序列的运算 x n xx nB cos0. 3x nnp= cos0. 31x nnp=如果序列 满足下面的条件，我们就说该序列是绝对可和的例-如下序列是一个绝对可和序列2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算 x n nx n= - 0. 3 ,0 0,0nny nn = 10. 31. 4287510. 3nn= - = -例-如下序列如果序列 满足下面的条件，我们就说该序列是平方可和的是平方可和的但不是绝对可和的2.3 有限长序列的运算有限长序列的运算 x n2 nx n= - si n 0. 4 nh nnp=2.4 典型序列典型序列单位样本序列-单位阶跃序列-1,0 0,0

10、nnnd=1,0 0,0nnnm=实正弦序列-其中 是幅度， 是角频率， 是相位例-2.4 典型序列典型序列0 cos()x nAnwf=+A0wf指数序列-如果我们写成其中 和 是实数或者复数那么我们有其中2.4 典型序列典型序列 ,nx nAna=- 实指数序列-其中 和 都是实数2.4 典型序列典型序列 ,nx nAna=- Aa当 是 的整数倍时，即 ，其中 和 都是正整数，那么正弦序列 和复指数序列 都是周期为 的周期序列满足上述条件的最小值 就是序列的基本周期为了验证这一点，取两个正弦序列2.4 典型序列典型序列0Nw2p02Nwp=Nr0cos()Anwf+0exp()Bj nw

11、N1020 cos() cos()x nnx nnNwfwf=+=+现在当且仅当 是 的整数倍时，上述这两个条件才同时满足只有当 且 时，有2.4 典型序列典型序列0si n0Nw=0cos1Nw=01cos() nx nwf+=0Nw2p02Nrwp=02Nrpw=如果 是一个有理小数，则序列的周期将是 的整数倍否则，该序列是非周期的例- 是一个非周期序列2.4 典型序列典型序列02pw02pw si n( 3)x nnf=+这里 所以对于 有周期2.4 典型序列典型序列00w=0r=210rNp=这里 所以对于 有周期2.4 典型序列典型序列00. 1wp=1r=2200. 1rNpp=性质1- 定义两个复指数序列 和 其中 和若 ，则 因此将不能区分这两个序列2.4 典型序列典型序列性质2- 随着 从0增加到 ，离散时间正弦序列 的振荡频率随着 的增加而增加；而当 从 增加到 时，振荡频率随之减小因此，通常称 的邻域内的频率为低频，而称 的邻域内的频率为高频1 exp()x nj nw=2 exp()y n