初三数学竞赛模拟试卷4

1、初三数学竞赛模拟试卷4一、选择题（每小题6分，共30分）1如果实数，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ） A B C D2在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标的个数为（ ）A10 B9 C7 D53如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，ABC是等边三角形，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ ）A B4 C D4小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）A1 B2 C3 D45黑板上写有共100个数字每次操作先从黑

2、板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A2012 B101 C100 D99二、填空题（每小题6分，共30分）6按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 7如图，的半径为20，是上一点以为对角线作矩形，且延长，与分别交于两点，则的值等于 8如果关于x的方程的两个实数根分别为，那么 的值为 92位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分比赛结束后，所有同学

3、的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 10如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，分别延长，交点为作，并与的延长线交于点若，则的长为 三、解答题（每题15分，共60分）11如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，且已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式12如图，O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是ABD的内心求证：（1）OI是IBD的外接圆的切线；（2）13已知整数， 满足：是素数，且是完全平方数当时，求的最小值14将（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值答案一、选

4、择题（每小题6分，共30分）1由实数，在数轴上的位置可知，且，所以 2由题设，得因为，均为整数，所以有，解得，,以上共计9对3 如图，以CD为边作等边CDE，连接AE由于AC = BC，CD = CE，所以 BCDACE， BD = AE又因为，所以在中，于是DE=，所以CD = DE = 44设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数由题设可得 消去x得，因为为正整数，所以的值分别为1，3，5，15y的值只能为4，5，6，11从而n的值分别为8，3，2，1所以 x的值分别为14，7，6，75因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变设经过99次操作后黑板上剩

5、下的数为，则，解得，二、填空题（每小题6分，共30分）6前四次操作的结果分别为，由已知得，解得容易验证，当，故x的取值范围是7如图，设的中点为，连接，则因为，所以，8根据题意，关于x的方程有，由此得又，所以 ，此时方程为，解得故9设平局数为，胜（负）局数为，由题设知 由此得又，所以于是，由此得或当时，；当时，不合题设故10如图，连接， 由是O的直径知依题设，四边形ABCD是O的内接四边形，所以所以，因此 因为是O的半径，所以垂直平分，于是 因此由，知因为，所以 ，故三、解答题（每题15分，共60分）11因为sinABC =，所以AB = 10由勾股定理，得易知，因此 CO = BO = 6 于

6、是，设点D的坐标为由，得所以 ，解得 因此D为AB的中点，点 D的坐标为因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为ABC的重心，所以点E的坐标为 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为将点E的坐标代入，解得a = 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为12（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知，所以， CI = CD 同理，CI = CB 故点C是IBD的外心连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OIAC，即OICI 故OI是IBD外接圆的切线 （2）如图，过点I作IEAD于点E，设OC与BD交于点F由，知OCBD因为CBF

7、 =IAE，BC = CI = AI，所以所以BF = AE 又因为I是ABD的内心，所以故 13已知整数， 满足：是素数，且是完全平方数当时，求的最小值解：设（是素数），（n是正整数） 因为 ，所以 ，因为与都是正整数，且（m为素数)，所以 ，解得， 于是又，即又因为m是素数，解得 此时，=2025 当时，因此，a的最小值为2025【解答】设（是素数），（n是非负整数）。 由于，因此，都不是质数。 5分由于，且不能被2，3，4，44整除，因此，是质数。 10分（1）当，即时，由以及是素数知，的最小值为。 15分（2）当时，由于，都不是质数，而2017是质数。当时，不是完全平方数。所以，此时。由（1）、（2）可知，的最小值为。 20分14当时，把分成如下两个数组：和在数组中，由于，所以其中不存在数，使得在数组中，由于，所以其中不存在数，使得 所以， 下面证明当时，满足题设条件不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立故不妨设在第