现代控制理论状态空间表达式的建立学习教案

1、会计学1第一页，共24页。线性定常系统状态空间线性定常系统状态空间(kngjin)表达式的建立表达式的建立1、现代控制论中给定一个传递函数现代控制论中给定一个传递函数G(s)，若存在一个线性常系数，若存在一个线性常系数(xsh)的状态的状态空间表达式，使之具有原来的传递函数。空间表达式，使之具有原来的传递函数。传递函数状态空间表达式则称此传递函数是可以则称此传递函数是可以(ky)实现的。实现的。G(s)传递函数可以传递函数可以实现实现的充分必要的充分必要条件条件：必须是一个严格真有理函数或真有理函数必须是一个严格真有理函数或真有理函数。2、同一个同一个G(s)的实现不是唯一的。的实现不是唯一的

2、。第1页/共24页第二页，共24页。3、已知系统已知系统(xtng)传递函数，求其几种实现传递函数，求其几种实现，求其实现。例：系统传递函数为，8147158)(232sssssUYsG解：解：1、能控标准、能控标准(biozhn)形实现。形实现。)(VUVVYsG，使引入中间变量8147158232sssss81471UV23sss令158ssVY2零初始条件下，将上述两个传递零初始条件下，将上述两个传递(chund)函函数变换到时域的微分方程得；数变换到时域的微分方程得；8v14v7vuv15vv8vy1）、选择状态变量，（vx,1vx,2vx,3则有x1x2x2x3x3uxxx71483

3、21)2(、列写状态方程为：第2页/共24页第三页，共24页。X xxx321XX0101007148u100 x1x2x2x3x3uxxx7148321，求其实现。例：系统传递函数为，8147158)(232sssssUYsG3）、输出方程为（y X18151x2x3x3x第3页/共24页第四页，共24页。数为、一般情况，若传递函)4(sG)(asasasbsbsbsbnnnmmmm1211211可得：XX001001001000aaaan321u1000Xy 输输出出方方程程为为bbbm 12100具有上述形式时，、达式、说明：当状态空间表BA（5）能能控控标标准准形形实实现现能能控控标标

4、准准形形实实现现系数之间的关系。和分母各项元素和对应的传函分子、实现中请大家注意能控标准型BA系数之间的关系。和分母各项元素和对应的传函分子、实现中请大家注意能控标准型BA第4页/共24页第五页，共24页。2、能观标准型实现、能观标准型实现(shxin)8147158)(232ssssssG已知：)()(sUsY1选择）、确定状态变量，若（13815xxu 213148xxxu3237xxxu 若将传递函数进行一般实现若将传递函数进行一般实现(shxin)，并取积分，并取积分器的输出为状态变量。器的输出为状态变量。2）、列写状态方程（）、写成矩阵形式（3uXX15800814011710而输出

5、方程为100yX能能观观标标准准型型能能观观标标准准型型第5页/共24页第六页，共24页。）、一般情况若（4asasasbsbsbsbsGnnnmmmm)(1211211uXXuXXa00001 a00001a00012 a00012a00103 a00103an00001an00001an1000 an1000bbbm0121bbbm0121Xy Xy 1000010000）、说明：（ 1 5）、说明：（ 1 5的关系。分子分母各项系数之间中各元素和、请注意sGCA)(的关系。分子分母各项系数之间中各元素和、请注意sGCA)(互为转置。和互为转置，观标准型实现中，、能控、能CBA2,TTTA

6、oAcBoCcCoBc第6页/共24页第七页，共24页。8147158)(232ssssssG例；)4)(2)(1(1582sssss421sss382361 sUsY)()(sUsY461223138sss于是有；) 1 ( 、选状态变量),(11)(1sUssX),(21)(2sUssX)(41)(3sUssX）、列方程有（2x 1x 2x 3ux 1ux 22ux 43而y ；xxx612338321对角对角(du jio)标准型实现标准型实现第7页/共24页第八页，共24页。即uXX421111。Xy612338对对角角标标准准型型（3）、一般情况asasasbsbsbsbsGnnnm

7、mmm)(1211211niiissC1若传递函数的特征根两两互异则对角标准型实现为uXXs1s2sn111Xy C1C2Cn此时，系统各状态称解耦 的。第8页/共24页第九页，共24页。若传递函数有 重根分情况，可将系统化A为对角标准型或准对角标准型 Jordan 标准型）。（Jordan 标准型）。参参考考自自动动控控制制原原理理下下册册清清华华大大学学 吴吴麒麒 P.3特特征征值值规规范范型型例子例：化成约当规范型的三重根一严格真有理函数，有1s和两两互异特征根32ss。，后得到解：传递函数因式分解)(sG设设)()(12131ssssss131211CCC22ssC33ssC即 Y )

8、(sU)()(332211321123111ssCssCssCssCssC选取X11Uss31)(1UssX2112)(1UssX1131UssX221UssX331sx111x11x12xxsx1312112uxsx13113uxsx222uxsx333第9页/共24页第十页，共24页。sx111x11x12xxsx1312112uxsx13113uxsx222uxsx333x11x12x13x2x3uXs11000s10001s10000s20000s3000000111Xy CCC131211CC32约约当当块块第10页/共24页第十一页，共24页。4、总结、总结(zngji)：1、可见

9、对于同一个外部模型描述可见对于同一个外部模型描述(mio sh)的系统，其状态空间表达式的系统，其状态空间表达式的实的实 现是不现是不唯一的。唯一的。2、若传递函数若传递函数G(s)为严格真有理分式为严格真有理分式(yu l fn sh)或有理分式或有理分式(yu l fn sh)并且无公因式，在实现中所并且无公因式，在实现中所 得的状态方程的维数是最小的，等于传递函数得的状态方程的维数是最小的，等于传递函数的分母多项式的阶次。称这种实现的分母多项式的阶次。称这种实现为最小实现。且最小实现是不唯一为最小实现。且最小实现是不唯一的。的。3、反过来，从反过来，从状态方程到传递函数状态方程到传递函数

10、时，若所得的传函的阶次小时，若所得的传函的阶次小于状态方程于状态方程的维数，则说明在传递函数的分子分母中，有零极点相消。此时状态方的维数，则说明在传递函数的分子分母中，有零极点相消。此时状态方程就程就是该传递函数的一种非最小实现。是该传递函数的一种非最小实现。思考：思考：状态方程间的线性变换，从能控标准型到能观标准型，到状态方程间的线性变换，从能控标准型到能观标准型，到 对角标准型或对角标准型或约当标准型。约当标准型。第11页/共24页第十二页，共24页。关于关于(guny)状态变量状态变量图图1、用途、用途(yngt)： 用状态空间法分析问题时，当建立了状态空间表达式以后用状态空间法分析问题

11、时，当建立了状态空间表达式以后(yhu)，可，可以画出其状态变量图，借助模拟线路或计算机就可以实现一个系统以画出其状态变量图，借助模拟线路或计算机就可以实现一个系统的仿真。的仿真。2、例：已知状态空间表达式，、例：已知状态空间表达式，uXX,1007148100010Xy021画状态变量图。画状态变量图。1:方程展开得）、将状态方程和输出（解21xx3x 2x3x3217148uxxxy 而212xx 第12页/共24页第十三页，共24页。1x1x2x3xu-8-14-7y2（2）、画图，遵从从输入到输出，从左到右的原则作业作业(zuy)：p.535；9-3，9-4，9-6，9-7第13页/共

12、24页第十四页，共24页。由状态由状态(zhungti)空间表达式求传递函数空间表达式求传递函数(阵阵)示示方方法法、状状态态空空间间表表达达式式的的表表1 ，）、若若已已知知（DUCXYBUAXX1则则可可以以写写成成 ），（DCBA ，若若已已知知、CXYBUAXX(2)则则写写成成 ），（CBA），（统统、已已知知线线性性定定常常连连续续系系2CBA 求求；)()(sUsY利利用用拉拉氏氏变变换换解解；CXYBUAXX 已已知知；得得 ssX)( sAX)( sBU)(sY)( sCX)(有有sBUAsICsY1)()()( 第14页/共24页第十五页，共24页。即即sUsY)()( s

13、UsY)()( SISO系系统统SISO系系统统BAsIC1)( BAsIC1)( sG)( sG)( 、矩矩阵阵求求逆逆问问题题3。存存在在，并并，存存在在且且非非奇奇异异，则则）、矩矩阵阵（111IAAAA 。此此时时11AadjAA 阵阵，再再转转置置即即可可。式式后后排排列列成成一一个个新新的的矩矩子子所所有有元元素素先先求求其其代代数数余余的的伴伴随随矩矩阵阵，是是称称）、（A2AAadj4的的传传递递函函数数（阵阵) )、子子系系统统在在各各种种连连接接时时11111111XCYUBXAX 已已知知：系系统统一一)(1sG其其传传函函为为,22222222XCYUBXAX 系系统统

14、二二)(2sG其其传传函函为为第15页/共24页第十六页，共24页。:结结论论)( 1 sG 时时其其传传函函、系系统统一一和和系系统统二二串串联联)()(12sGsG21GG 21GG 2时时其其传传函函为为、系系统统一一和和系系统统二二并并联联)()()(21sGsGsG )(3负负反反馈馈、系系统统一一和和二二反反并并联联时时)()()()(1121sGsGsGIsG ）（1, 1, 1CBA ）（2, 2, 2CBAu uy y参见参见p.461作业作业(zuy)：p.536;9-13,第16页/共24页第十七页，共24页。关于输入输出解耦控制关于输入输出解耦控制(kngzh)(kng

15、zh)问题问题解耦问题解耦问题(wnt)(wnt)是一个比较复杂的问题是一个比较复杂的问题(wnt)(wnt)，对线性定常系统就有几套理论：，对线性定常系统就有几套理论：参见参见(cnjin)(cnjin)：胡寿：胡寿松松 P.462 P.462第17页/共24页第十八页，共24页。 11101110nnnnnnny zb zbzb zbG zu zzaza za zDzNbazazazzzbnnnnnnn01110111 11011ny k na y k nay ka y k 11nnb u knbu kn kubkub011 ,iikkT Ta b采样周期，常数,Zykyz zyzikyLi第18页/共24页第十九页，共24页。 在 的串联(chunlin)分解中，引入中间变量 ，则有选取一组状态变量0nb zQ zDzN zuzQazzQazQzazQznnn0111 zQzzQzQzzynn0111第19页/共24页第二十页，共24页。 u z zD1 zQ zN zg zQzx1 zzxzzQzx12 zzxzQzzxnnn11第20页/共24页第二十一页，共24页。则有利用变换(binhun)关系 zuzxazxazxazQznnn12110 0 11 21nny zx