工程力学-力法

1、第十五章第十五章 力法力法力法力法位移法位移法力矩分配法力矩分配法超静定结构的概念、超静定次数的确定超静定结构的概念、超静定次数的确定力法基本原理和典型方程力法基本原理和典型方程超静定结构的位移计算和内力图校核超静定结构的位移计算和内力图校核温度变化及支座位移对超静定结构的影响温度变化及支座位移对超静定结构的影响v 超静定结构的简化计算超静定结构的简化计算第十五章第十五章 力法力法15.1 超静定结构的概念、超静定次数的确定超静定结构的概念、超静定次数的确定超静定结构的概念超静定结构的概念概念概念 不能够仅凭静力平衡条件确不能够仅凭静力平衡条件确 定全部反力和内力的结构定全部反力和内力的结构.

2、 构造分析构造分析: 必要联系、多余联系必要联系、多余联系 几何特征：具有多余联系几何特征：具有多余联系 静力特征：具有多余未知力静力特征：具有多余未知力 常见超静定结构常见超静定结构 超静定梁、超静定刚架、超静定桁架等超静定梁、超静定刚架、超静定桁架等15.1 超静定结构的概念、超静定次数的确定超静定结构的概念、超静定次数的确定超静定次数的确定超静定次数的确定 超静定次数超静定次数 超静定结构中多余联系（未知力）的数目。超静定结构中多余联系（未知力）的数目。 确定方法确定方法 通过拆除多余约束形成静定通过拆除多余约束形成静定 结构，拆除多少就是多少次结构，拆除多少就是多少次 去掉多余约束的方

3、式去掉多余约束的方式 去掉支座处一支杆或切断一链杆去掉支座处一支杆或切断一链杆,相当于去掉相当于去掉一联系。一联系。去掉一个铰支座或单铰去掉一个铰支座或单铰,相当于去掉两个联系。相当于去掉两个联系。15.1 超静定结构的概念、超静定次数的确定超静定结构的概念、超静定次数的确定在连续杆上或固定端上加一个单铰在连续杆上或固定端上加一个单铰,相当于去掉相当于去掉一个联系。一个联系。切断连续杆或去掉一个固定端切断连续杆或去掉一个固定端,相当于去掉三个相当于去掉三个联系。联系。:超静定结构去掉多余约束的方式不止一种超静定结构去掉多余约束的方式不止一种,但但需注意不能去掉多余约束需注意不能去掉多余约束,否

4、则变成几何可变体系否则变成几何可变体系.15.2 力法的基本原理和典型方程力法的基本原理和典型方程力法的基本概念力法的基本概念 基本结构基本结构 以多余未知力替代超静定结构多余联系的作用以多余未知力替代超静定结构多余联系的作用,变成静定结构变成静定结构,称为原结构的基本结构。称为原结构的基本结构。 基本未知量基本未知量 多余未知力多余未知力X1 计算原则计算原则 基本结构在原荷载与多余约束力基本结构在原荷载与多余约束力X1的共同作用的共同作用下和原结构的变形情况相同。下和原结构的变形情况相同。 15.2 力法的基本原理和典型方程力法的基本原理和典型方程 变形协调条件变形协调条件 1=0 11基

5、本结构在多余未知力基本结构在多余未知力X1作用下作用下B点沿点沿X1方向的位移；方向的位移； 1P基本结构在荷载作用下基本结构在荷载作用下B点沿点沿X1方向的位移；方向的位移； 11、 1P均以与均以与X1指向一致为正指向一致为正;根据叠加原理根据叠加原理,有有 1= 11+ 1P=0 力法方程力法方程 令令 11当当X1 =1时在时在B点点沿沿X1方向方向位移，位移， 则则 11= 11X1 , 1= 11X1+ 1P=0 11方程系数方程系数 1P方程自由项方程自由项 ：以多余未知力作为力法的基本未知量，：以多余未知力作为力法的基本未知量，利用多余联系处的变形协调条件建立力法方程。利用多余

6、联系处的变形协调条件建立力法方程。15.2 力法的基本原理和典型方程力法的基本原理和典型方程:基本结构的选取不是唯一的基本结构的选取不是唯一的,但必须是几何不变但必须是几何不变静定结构静定结构,计算结果是唯一的计算结果是唯一的.15.2 力法的基本原理和典型方程力法的基本原理和典型方程EIlEIlll332211113)(EIqlEIllql8432213111P4)(将求得的将求得的 11 、 1P代入方程代入方程,得得 X1=- 1P/ 11=3ql/8( )由叠加原理由叠加原理,求出结构最后弯矩求出结构最后弯矩:用图乘法计算用图乘法计算 11与与 1P:P11MXMM 基本未知量基本未知

7、量:多余力多余力X1、X2 变形协调条件变形协调条件 1= 0， 2= 0 力法典型方程力法典型方程 1= 11X1+ 12X2+ 1P=0 2= 21X1+ 22X2+ 2P=0 下标下标: 第一个下标表示位移发生的地点和方向第一个下标表示位移发生的地点和方向 第二个下标表示产生位移的原因第二个下标表示产生位移的原因物理意义物理意义:基本结构中基本结构中,在多余未知力在多余未知力X1、X2及已知荷载的共及已知荷载的共同作用下同作用下,去掉多余约束处的位移与原结构中相应位移相等去掉多余约束处的位移与原结构中相应位移相等.15.2 力法的基本原理和典型方程力法的基本原理和典型方程力法的典型方程力

8、法的典型方程 两次超静定结构两次超静定结构 基本结构基本结构 15.2 力法的基本原理和典型方程力法的基本原理和典型方程 n次超静定结构次超静定结构 对于对于n次超静定结构次超静定结构,有有n个多余联系个多余联系, n个变形协个变形协调条件调条件,写出写出n个个力法方程力法方程. 力法典型方程力法典型方程 11X1+ 12X2+ + 1nXn+ 1P= 1(0) 21X1+ 22X2+ + 2nXn+ 2P= 2(0) i1X1+ i2X2+ + inXn+ iP= i(0) n1X1+ n2X2+ + nnXn+ nP= n(0) ii主系数主系数, ii 0; ii副系数副系数,可为正、负

9、、零；可为正、负、零； ij= ji（位移互等定理）；（位移互等定理）； iP自由项自由项力法解超静定结构的步骤力法解超静定结构的步骤 以基本结构为研究对象以基本结构为研究对象,作内力图作内力图 、 （静定（静定结构内力计算）结构内力计算）PMM 由图乘公式计算（由图乘公式计算（静定结构位移计算）静定结构位移计算）系数与系数与自由项自由项 变形协调确定未知支反力（或内力）变形协调确定未知支反力（或内力） 回代按静定结构求内力回代按静定结构求内力 由构造分析由构造分析,选择一静定结构作为基本结构选择一静定结构作为基本结构15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算 各系数计算（图乘法）各系

10、数计算（图乘法）2PdddiiiijijiipMsEIMMsEIMMsEI 求弯矩、绘弯矩图求弯矩、绘弯矩图1122nnPMM XM XM XM15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算超静定梁和刚架超静定梁和刚架 15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算超静定桁架的计算超静定桁架的计算 各系数计算各系数计算（不能用图乘法）（不能用图乘法）2PiiiijijiipN LEANNLEANNLEA 求轴力、绘轴力图求轴力、绘轴力图1122nnPNN XN XN XN示例示例15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算示例示例

11、15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算基本结构与原结构的等效性基本结构与原结构的等效性 等效条件等效条件: 内力相等内力相等 变形相等变形相等 刚架、梁位移计算公式刚架、梁位移计算公式PdiipM MsEI 单位虚荷载在基本结构上产生的弯矩单位虚荷载在基本结构上产生的弯矩MP基本结构在多余力和原荷载共同作用下的最基本结构在多余力和原荷载共同作用下的最 后弯矩后弯矩iM计算步骤计算步骤 解算超静定结构，绘出最终解算超静定结构，绘出最终M图；图； 将单位力加在任一基本结构上，绘将单位力加在任一基本结构上，绘 图；图； 因为超静定结构的内力并不因所取基本结构的不因为超静定结构的内力并不因

12、所取基本结构的不同而不同，可将内力看作是在任一基本结构上求同而不同，可将内力看作是在任一基本结构上求得，因此可取任一基本结构作为虚拟状态。得，因此可取任一基本结构作为虚拟状态。 按位移计算公式或图乘法求位移。按位移计算公式或图乘法求位移。15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算iM15.3 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算示例示例15.4 温度变化和支座移动时超静定结构的计算温度变化和支座移动时超静定结构的计算支座移动超静定结构计算支座移动超静定结构计算 与静定结构区别与静定结构区别: 支座移动时超静定结构产生内力支座移动时超静定结构产生内力. 内力产生原因内力产生原因: 超

13、静定结构由于具有多余联系超静定结构由于具有多余联系,将阻碍支座的位将阻碍支座的位 移而使结构产生内力并发生弹性变形移而使结构产生内力并发生弹性变形. 与荷载作用下超静定结构计算比较与荷载作用下超静定结构计算比较: 力法方程中自由项的计算力法方程中自由项的计算.15.4 温度变化和支座移动时超静定结构的计算温度变化和支座移动时超静定结构的计算 力法方程力法方程 1= 11X1+ 12X2+ 1c=0 2= 21X1+ 22X2+ 2c=0 1c基本结构由于支座移动引起基本结构由于支座移动引起的的X1作用点沿作用点沿X1方向的位移；方向的位移； 2c基本结构由于支座移动引起基本结构由于支座移动引起

14、的的X2作用点沿作用点沿X2方向的位移方向的位移. 自由项计算自由项计算:c iRC 1c=-( l)=- l 2c=-( l)+1 a)= - l-a叠加法求弯矩、绘弯矩图叠加法求弯矩、绘弯矩图1122MM XM X注注:不叠加由支座移动引起的弯矩不叠加由支座移动引起的弯矩(基本结构为静定结构基本结构为静定结构,其位移其位移为刚性为刚性,不产生内力不产生内力)示例示例15.4 温度变化和支座移动时超静定结构的计算温度变化和支座移动时超静定结构的计算 选外伸梁为基本结构选外伸梁为基本结构1.去掉支座去掉支座C处链杆处链杆,得基本结构得基本结构:2. 建立力法典型方程建立力法典型方程 11X1=

15、 无自由项无自由项:基本结构中所有联系均无位移基本结构中所有联系均无位移3.求求 11=(1/2 l l 2l/3) 2/EI=2l3/3EI4. 解方程解方程X1=3EI /2l35. 绘绘M图图11MM X15.4 温度变化和支座移动时超静定结构的计算温度变化和支座移动时超静定结构的计算 选简支梁为基本结构选简支梁为基本结构1.去掉支座去掉支座B处链杆处链杆,得基本结构得基本结构:2. 建立力法典型方程建立力法典型方程 11X1+ 1c=0 3.求求 11=2(1/2 l l/2)(2/3 l/2)/EI=l3/6EI 1c=-(1/2 )=- /2 4. 解方程解方程X1=- 1c/ 1

16、1=3EI /l35. 绘绘M图图11XMM15.5 超静定结构的简化计算超静定结构的简化计算概念概念 对称结构对称结构: 结构的形状、尺寸、材料性质（结构的形状、尺寸、材料性质（EI、EA）及支撑情况对称于某一轴的结构。）及支撑情况对称于某一轴的结构。 正对称荷载正对称荷载定义定义:对称轴两边的荷载大小相等对称轴两边的荷载大小相等,绕对称轴对折绕对称轴对折 后后,作用点重合且指向相同。作用点重合且指向相同。特点特点:对称荷载作用下对称荷载作用下,对称结构对称结构内力和变形正对称内力和变形正对称 一般荷载一般荷载 分解为分解为: 正对称正对称 反对称反对称15.5 超静定结构的简化计算超静定结

17、构的简化计算 反对称荷载反对称荷载 定义定义: 对称轴两边的荷载大小相等对称轴两边的荷载大小相等,绕对称轴对折绕对称轴对折 后作用点重合后作用点重合,但指向相反。但指向相反。特点特点: 反对称荷载作用下反对称荷载作用下,对称结对称结 构内力和变形反对称构内力和变形反对称.15.5 超静定结构的简化计算超静定结构的简化计算 对称性的利用对称性的利用 求解力法典型方程时求解力法典型方程时,尽量利用结构对称性尽量利用结构对称性,合理合理选择基本结构选择基本结构,使力法典型方程中尽可能多的副使力法典型方程中尽可能多的副系数等于零系数等于零,使计算工作量简化使计算工作量简化. 半刚架法半刚架法 根据对称

18、刚架的受力和变形特点根据对称刚架的受力和变形特点,截取截取结构的一结构的一半进行计算的方法半进行计算的方法. 这半个刚架称为原刚架的等代结构。这半个刚架称为原刚架的等代结构。奇数跨对称框架奇数跨对称框架15.5 超静定结构的简化计算超静定结构的简化计算 荷载正对称荷载正对称 对称轴截面对称轴截面C内力内力变形变形弯矩弯矩轴力轴力剪力剪力转角转角水平位移水平位移竖向位移竖向位移定向支座定向支座对称对称有有无无有有无无安置安置15.5 超静定结构的简化计算超静定结构的简化计算 荷载反对称荷载反对称 对称轴截面对称轴截面C内力内力变形变形弯矩弯矩轴力轴力剪力剪力转角转角水平位移水平位移竖向位移竖向位移竖向链杆竖向链杆反对称反对称有有无无有有无无安置安置15.5 超静定结构的简化计算超静定结构的简化计算偶数跨对称框架偶数跨对称框架 荷载正对称荷载正对称截面截面C简化为固定端约束简化为固定端约束 荷载反对称荷载反对称15.5 超静定结构的简化计算超静定结构的简化计算超静定结构的性质超静定结构的性质 超静定结构的内力与结构的材超静定结构的内力与结构的材 料性质及截面形状尺寸