力3.动量与角动量

1、1 第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 （Momentum and Angular Momentum） 3.1 冲量，动量，质点动量定理冲量，动量，质点动量定理3.2 质点系动量定理质点系动量定理 3.3 动量守恒定律动量守恒定律(自学自学)3.4 变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理3.5 质心质心3.6 质心运动定理质心运动定理3.7 质点的角动量定理质点的角动量定理 3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律*3.9质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理(书上书上3.9,3.10)前言前言2前前 言言我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累

2、效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散射散射3定义：定义：力的力的冲量冲量（impulse） 21dtttFI质点的质点的动量动量（momentum）vmp tptmFddd)d( v质点动量定理：质点动量定理：ptFIddd （微分形式）（微分形式）12d21pptFItt （积分形式）（

3、积分形式）（theorem of momentum of a particle） 3.1 冲量、动量、质点动量定理冲量、动量、质点动量定理4平均冲力平均冲力tptttFFtt 1221d补充例题补充例题 求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力F解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率m/s26. 6280. 922 ghvN1082. 3019. 026. 658. 0222 tmFv已知：已知：一篮球质量一篮球质量m = 0.58kg，从，从h=2.0m的的 高度下落高度下落,到达地面后到达地面后,以同样速率反以同样速率反 弹，接触地面时间弹，接触地面时间 t = 0.019s。F

4、Fto t5看书上看书上 (例例3.1) 一个质量一个质量m = 140g的垒球以的垒球以v=40m/s的的速率沿水平方向飞向击球手，被击后它以速率沿水平方向飞向击球手，被击后它以相同的速率沿相同的速率沿=60=600 0的仰角飞出，求垒球受的仰角飞出，求垒球受棒的平均打击力棒的平均打击力。设球和棒的接触时间为。设球和棒的接触时间为t=1.2s。v1v2mv1mv2 6若球拍与乒乓球接若球拍与乒乓球接触时间是触时间是0.02秒，秒，求球拍施于球的平求球拍施于球的平均冲力？均冲力？(乒乓球乒乓球质量为质量为2.5g) 乒乓球运动员用海棉胶粒球拍推挡速度乒乓球运动员用海棉胶粒球拍推挡速度v010m

5、/s水平飞来得乒乓球，球拍平面与水平飞来得乒乓球，球拍平面与水平成水平成45。击球后，乒乓球又以。击球后，乒乓球又以v20m/s的的速度沿与球拍平面成速度沿与球拍平面成60.夹角的方向飞出。夹角的方向飞出。补充例题补充例题7演示演示逆风行舟逆风行舟帆帆 1 2 1 2 风风 F风对帆风对帆 F横横 F进进 F横横 F阻阻龙骨龙骨F帆对风帆对风 89Fipi fj i fi j为质点为质点 i 受的合外力受的合外力iFi j质点系质点系 为质点为质点 i 受质点受质点 j 的内力的内力ijfip为质点为质点 i 的动量的动量对质点对质点 i ：iijijiptfFdd ）（对质点系：对质点系：

6、iiiijijiptfFdd(）一一.质点系质点系1.外力外力 iiF2.内力内力 iijijf3.内力的特点内力的特点 iijijf0 iijijM0内力是可以内力是可以作功的作功的3.2 3.2 质点系动量定理质点系动量定理（theorem of mometum of particle system）10 iiiiptFdd(）所以有：所以有：PpFFiiii ，外外令令PtFdd 外外则有：则有：tPFdd 外外或或质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）1221dPPtFtt 外外质点系动量定理质点系动量定理（积分形式）（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点

7、系动量定理处理问题可避开内力。例例3.3由牛顿第三定律有：由牛顿第三定律有： iijijf0二二.质点系动量定理质点系动量定理11这就是这就是质点系的动量守恒定律。质点系的动量守恒定律。 0 外外F时，时， P常量常量即即几点说明：几点说明： 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 质点系所受合外力为零时，质点系所受合外力为零时， 质点系的总动量质点系的总动量不随时间改变。不随时间改变。3.3 3.3 动量守恒定律动量守恒定律（law of conservation of

8、 entum ） 12例例3.5 如图示，一个有如图示，一个有1/4圆弧滑槽的大物体的圆弧滑槽的大物体的质量为质量为M,停在光滑的水平面上停在光滑的水平面上,另一质量为另一质量为m的的小物体自圆弧定点由静止下滑小物体自圆弧定点由静止下滑.求当小物体求当小物体m滑滑 到底时到底时,大物体大物体M在水平面上移动的距离在水平面上移动的距离.MmRVv补充例题补充例题有一战车有一战车,置于摩擦很小的铁轨上置于摩擦很小的铁轨上,车身质量为车身质量为M,炮弹质量为炮弹质量为m,炮筒与水平面夹炮筒与水平面夹角为角为,炮弹以相对于炮口的速度炮弹以相对于炮口的速度v射出射出,求炮身求炮身后座速度和炮弹射出时对地

9、的速度后座速度和炮弹射出时对地的速度.13 “神州神州”号飞船升空号飞船升空3.4 变质量系统、火箭飞行原变质量系统、火箭飞行原 （书（书3.4）14 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球） 抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变可以改变 随速度变化随速度变化 m = m(v)，这是相对，这是相对论情形，不在本节讨论之列。论情形，不在本节讨论之列。两类变质量问题（低速，两类变质量问题（低速，

10、v c）：）：下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。15条件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速u喷出喷出初态：初态：系统质量系统质量 M，速度，速度v (对地对地)，动量，动量 M v一一. 火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行） 1.火箭的速度火箭的速度系统：系统： 火箭壳体火箭壳体 + 尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i (点火点火) f (燃料烧尽燃料烧尽)先分析一先分析一微过程：微过程： t t +dt末态：末态：喷出燃料后喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm = - dM，喷出燃料速度

11、喷出燃料速度(对地对地)： v - uvu16火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的质量：尚存燃料的质量： M - dm系统动量：系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) 火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的速度尚存燃料的速度(对地对地)：v + d v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ) 经整理得：经整理得： Mdv = -udMMMudd v fiMMfiMMuddv速度公式：速度公式： fiifMMuln vv17引入引入火箭质量比：火箭质量比：fiMMN 得得Nuifln vv讨论：讨论：提高提高

12、 vf 的途径的途径 (1)提高提高 u（现可达（现可达 u = 4.1 km/s） (2)增大增大 N（受一定限制（受一定限制）为提高为提高N，采用多级火箭（一般为三级），采用多级火箭（一般为三级）v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3 资料：资料：长征三号（三级大型运载火箭）长征三号（三级大型运载火箭） 全长：全长：43.25m， 最大直径：最大直径：3.35m， 起飞质量：起飞质量：202吨，起飞推力：吨，起飞推力：280吨力。吨力。18t +dt时刻：时刻：速度速度 v - u， 动量动量dm(v - u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受

13、冲量 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v (和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为tmuFFdd 气对箭气对箭19二二. 重力场中的火箭发射重力场中的火箭发射 可得可得 t 时刻火箭的速度：时刻火箭的速度： 忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的变化，的变化，tiiMMugttln)( vv Mt： t 时刻火箭壳和尚余燃料的质量时刻火箭壳和尚余燃料的质量20rc

14、一一.质心的概念和质心位置的确定质心的概念和质心位置的确定Cmizri yx0定义定义质心质心 C 的位矢为：的位矢为：mmrriiC （ ） immmxmxiiC mymyiiC mzmziiC 质心位置是质心位置是质点位置以质点位置以质量为质量为权重权重的平均值。的平均值。3.5 质心质心（center of mass）C21二二.几种系统的质心几种系统的质心 两质点系统两质点系统m2m1r1r2C m1 r1 = m2 r2 连续体连续体rrcdmC0m zx ymmrrC dmmxxC d22R “小小”线度物体的质心和重心是重合的。线度物体的质心和重心是重合的。例例1 如图示，如图示

15、， CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘求求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心由对称性分析，质心C应在应在x轴上。轴上。解：解： 令令 为质量的面密度，为质量的面密度，则则质心坐标为：质心坐标为： 2220rRrdxC ）（ 1/2 rRd挖空挖空 均匀杆、圆盘、均匀杆、圆盘、 圆环、球，质心为其几何中心。圆环、球，质心为其几何中心。例例2 求半径为求半径为a的均质半圆球的质心的均质半圆球的质心.23一一. 质心运动定理质心运动定理rcCvcmizri yx0vi iiiCmmvvCmPv 总动量总动量 trCCdd vmtrmii dd m

16、mii v 3.6 质心运动定理质心运动定理 （theorem of motion of center of mass）24tmmttPFCCdd)(ddddvv 外外由由CamF 外外质心运动定理质心运动定理有有拉力拉力纸纸C球往哪边移动？球往哪边移动？例例3.11 如上所图示，如上所图示， 水平桌面上铺一张纸水平桌面上铺一张纸,球的球的质量为质量为M=0.5kg。将纸向右拉时会有。将纸向右拉时会有f=0.1N的摩擦力作用在球上。求该球的球心加速度的摩擦力作用在球上。求该球的球心加速度ac以及在静止时开始的以及在静止时开始的2s内内,球心相对于桌面球心相对于桌面移动的距离移动的距离Sc.25

17、（如抛掷的物体、（如抛掷的物体、跳水的运动员、爆跳水的运动员、爆炸的焰火等，其质炸的焰火等，其质心的运动都是抛物心的运动都是抛物线）。线）。 系统系统内力内力不会不会影响质心的运动影响质心的运动26 1.质心系质心系质心系质心系是固结在质心上的是固结在质心上的平动平动参考系。参考系。质心系不一定是惯性系。质心系不一定是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为： 在质心系中考察质点系的运动。在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各

18、质点相对于质心的运动 二二. 质心（参考）系质心（参考）系 （frame of center of mass）272.质心系的基本特征质心系的基本特征0)( Cvviiimm质心系是零动量参考系。质心系是零动量参考系。m1v10 m1v1 m2v20 m2v2 质心系中看质心系中看两粒子碰撞两粒子碰撞等值、反向等值、反向的动量。的动量。两质点系统在其两质点系统在其质心系中，质心系中， 总是具有总是具有283.7 质点的角动量定理质点的角动量定理（Law of angular momentum of a particle）一、力矩（一、力矩（M） sinrFFrM FM rOm r大小：大小：方

19、向：方向：FrM 力矩：力矩：点矩点矩kMjMiMMzyx zyxMMM,轴矩轴矩二、动量矩（二、动量矩（L）)(vmrprL LRv mO29三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理dtpdF 由由tprptrprdtddddd)( 而而)(dtdprFr dtpdrFr tLMdd 于是有于是有质点角动量定理质点角动量定理（微分形式）（微分形式）tMLdd 或或（积分形式）（积分形式） 21dtttM称称冲量矩冲量矩力矩对时间的积累作用。力矩对时间的积累作用。30常矢量常矢量，则，则若若 LM 0质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 心心恒恒星星的的万万有有引引力力）中中点点：中中心心力力

20、（如如行行星星受受过过， OFFM00 OmvFL （中心力）（中心力）r常常矢矢量量 )(vmrL(1) mv r sin =const. (2)轨道在同一平面内。轨道在同一平面内。3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律 （law of conservation of angular momentum）31 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒（书（书161页例页例3.16）。）。.const0 zzLM ，则，则若若 质点对轴的角动量守恒定律质点对轴的角动量守恒定律第二定律第二定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律

21、之一， 演示演示 质点的角动量守恒质点的角动量守恒它不仅适用于宏观体系，它不仅适用于宏观体系， 也适用于微观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。而且在高速低速范围均适用。rvF32 补充例题一补充例题一1. 质量为质量为m的小球在向心力作用下的小球在向心力作用下,在在水平水平 面内作半径为面内作半径为R、速率为、速率为v的匀的匀速圆周运动速圆周运动,如图所示如图所示.小球自小球自A点逆时点逆时针运动到针运动到B点的半周内点的半周内,动量的增量应动量的增量应为为:yBAoxvAvB(A) 2mvj (B)-2mvj (C)2mvi (D)-2mvi(A) 2mvj (B)-2mvj (C)2mvi (D)-2mviyFpo0v3030r0 x2.如图所示如图所示,质点质点P的质量为的质量为2kg ,位置矢量位置矢量为为r,速度为速度为v,它受到力它受到力F的作用的作用.这三个矢量这三个矢量均在均在OXY面面,且且r=3.0m,v=4.0m/s,F=2N,则该则该质点对原点