章傅里叶变换讲解学习教案

1、会计学1第一页，共202页。 傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期(zhuq)信号都可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。3.1 傅里叶变换(binhun)的产生傅里叶的两个最主要的贡献(gngxin)：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.第1页/共202页第二页，共202页。1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,ttttktkt21*( )( )d1tii

2、tf t ftt 21*( )( )d0tijtf t fttij，三角函数(snjihnsh)就是一个(y )标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：3.2 周期信号(xnho)的傅里叶分析1. 归一化：2. 归一正交化：3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号第2页/共202页第三页，共202页。周期(zhuq)的终点 1111111,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,ttttktkt12122Ttt 设三角函数的完备(wnbi)函数集为：其中(qzhng)三角函数集也可表示为：11cos(),sin()0,1,2,ntntn3.2.1 傅里叶

3、级数的三角形式基频 周期 周期的起点 第3页/共202页第四页，共202页。2111cos()sin()d0ttntmtt21211111cos()cos()d0,sin()sin()d0ttttntmttmnntmtt2211222111cos ()dsin ()d22ttttttTnttntt21211dtttTtt0n 时，有（2）“单位”常数性，即当 满足： （1）正交性：函数(hnsh)集中的任意函数(hnsh)两两相正交，有 第4页/共202页第五页，共202页。可以将“任意”周期函数 在这个正交函数集中展开为( )f t0111( )(cossin)nnnf taantbnt22

4、112211112121212( )cos()d , 0( )cos()d1cos ()d( )d ,0ttttnttttf tnttnf tnttttanttf ttntt221211112211( )sin()d2( )sin()dsin ()dtttntttf tnttbf tnttttntt系数称为(chn wi)傅里叶级数 第5页/共202页第六页，共202页。011( )cos()2nnnaf tcnt0111 ( )(cossin)2nnnaf tantbnt或211212( )cos()dtntaf tntttt 同上式 傅里叶级数(j sh)的三角展开式 另一种形式 t 直流

5、分量(fn ling) n=1n1基波(j b)分量 n次谐波分量 第6页/共202页第七页，共202页。可展开为傅里叶级数的条件：( )f t（2） 在区间内有有限个间断点；( )f t（1） 绝对可积，即：( )f t21( ) dttf tt （3） 在区间内有有限个极值点。( )f tDirechlet条件傅里叶级数存在的充要条件22OppositeHypotenusennncabarctannnnba式中， 为n次谐波振幅。 为n次谐波初始相位。！并非任意周期信号都能进行(jnxng)傅里叶级数展开！ 第7页/共202页第八页，共202页。1. 从三角函数形式(xngsh)的傅里叶级

6、数推导3.2.2 傅里叶级数(j sh)的复指数形式11j()j()1eecos()2nnntntnnt 利用欧拉公式:11j()j()11( )ee22nntntnnnnf tcA式中j22e(cosjsin)nnnnnnnAcab 22nnncabarctan()nnnba幅度 相位 复指数 幅度 第8页/共202页第九页，共202页。22112211111j1122j( )cos()dj( )sin()d22 ( )cos()jsin()d( )edttnnnttttntttAabf tnttf tnttTTf tntnttf ttTT nA的具体求法如下：1j()( )entnnf t

7、F2. 直接从复变正交函数集推导1j()e1,2,ntn中展开，有( )f t在复变正交函数空间将原函数第9页/共202页第十页，共202页。2121121111j*jjj*( )(e) d1( )ed(e)(e) dtntttntnttntnttf ttFf ttTtje2nnnnAFF式中例00( )()TkttkT求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。0( )Tt已知冲激(chn j)序列-T0 O T0 2T0 t0( )Tt0()tT( ) t第10页/共202页第十一页，共202页。00j01( )entTntT0010012( )cosTntntTT0( )Tt的三角傅里叶级数为

8、：001aT002000222( )cosdTTnatnt tTT0nb 又解000j200211( )edTntTnFttTT第11页/共202页第十二页，共202页。100( )()( )()Af tAtu tu tTT100000( )()() ()(1) )nnAf tf t nTAt nTu t nTu tnTT求下图中三角(snjio)波的三角(snjio)傅里叶级数。1( )f t( )f t则为的周期延拓，即 将( )f tAC( )ft去除直流分量，则仅剩交流分量( )f t00,tT在内的函数记为（1）将周期函数例解A( )f t-T0 O T0 2T0 t第12页/共20

9、2页第十三页，共202页。AC00000000001100000( )( ) ()(1) () ()(1)122()(cos)cosnnnnnAftf tu tnTu tnTTAAtnTtnTtnTTAAAAtnTAntntTTTTT 0AC0110sin2( )cosdtnnntAAftnTn D/ 2fA01sin( )2nntAAf tn 故第13页/共202页第十四页，共202页。000001d2TAAat tTT0na 000002sindnTAAbtnt tTTn（2）利用(lyng)直接法求解故 01sin( )2nntAAf tn第14页/共202页第十五页，共202页。111

10、j011( )ecos()sin()NNNntnnnnNnnf tFaantbnt常称为(chn wi)f(t)的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数(chngsh)）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。3.2.3 傅里叶级数(j sh)的MATLAB仿真实现第15页/共202页第十六页，共202页。3.3 周期(zhuq)信号的对称性 1纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（

11、即偶函数之和仍然(rngrn)是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然(rngrn)是奇函数）。满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。(/2)( )f tTf t 定义(dngy)：l 奇谐函数l 偶谐函数满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。(/2)( )f tTf t第16页/共202页第十七页，共202页。2横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波(xi b)分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有(zhyu)奇次谐波分量。 如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数

12、展开式中就会既包含有奇次谐波(xi b)分量也包含有偶次谐波(xi b)分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。第17页/共202页第十八页，共202页。已知奇谐函数：例解t( )f to12T 12T2E 2E1cost 11cos()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E1sint 11sin()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E( )f t1()2Tf t t( )f to12T 12T2E 2E1sin2t t( )f to12T 12T2E 2E1cos2t 第18页/共202页第十九页，共202页。3.4.1 频谱的概念

13、(ginin)频谱图表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应各频率分量的幅度值 。nFl 振幅(zhnf)频谱（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位 （单位常用度或弧度）。nl 相位频谱（相频特性图）第19页/共202页第二十页，共202页。1,( )220,kTtkTf t其它例，求频谱解（1）单边频谱： 1114sin(),022Sa()22,0nnnnnTATnT ( )f tT2t2oT1第20页/共202页第二十一页，共202页。（2）双边(shungbin)频谱： 11111/2j2/2j2/

14、211/2212sin11 e24edj2sin (), 0,1,2,2nntntnnnbbacFtTTnTnanSanTT 包络线 频谱图随参数(cnsh)的变化规律： 1）周期T不变，脉冲宽度(kund)变化第21页/共202页第二十二页，共202页。2Sa()0 2 2 2T nF 2O 141,()()444nTnnFSaSaTT情况(qngkung)1：第一个过零点为n =4 。在 有值（谱线）nF12/4( )f tT2t2oT1第22页/共202页第二十三页，共202页。1,()()888nTnnFSaSaTT情况(qngkung)2：( )f tT2t2oT1nF2 o182T

15、 第23页/共202页第二十四页，共202页。1,()()161616nTnnFSaSaTT情况(qngkung)3：( )f tT2t2oT1示意图 2T nF1162o第24页/共202页第二十五页，共202页。结 论2/T 1/f2/第25页/共202页第二十六页，共202页。第一个过零点情况 1：4T2/(2 )T2/时，谱线间隔2）脉冲宽度不变, 周期T变化 ( )f tT2t2oT1示意图 22T nF142041)0(0SaTF第26页/共202页第二十七页，共202页。第一个过零点情况 2：8T24T2时，谱线间隔( )f t2t2oT1示意图 TnF4120TnF182o第2

16、7页/共202页第二十八页，共202页。第一个过零点 情况 3：16T28T2时，谱线间隔T( )f t2t2o1T2T2T示意图 nF8120nF1162 0第28页/共202页第二十九页，共202页。1f2结 论第29页/共202页第三十页，共202页。典型周期(zhuq)信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期(zhuq)信号如下： 1. 周期(zhuq)矩形脉冲信号 2. 周期(zhuq)对称方波信号 3. 周期(zhuq)锯齿脉冲信号 4. 周期(zhuq)三角脉冲信号 5. 周期(zhuq)半波余弦信号 6. 周期(zhuq)全波余弦信号3.4.2 常见周期(zhuq

17、)信号的频谱第30页/共202页第三十一页，共202页。设周期(zhuq)矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期(zhuq)为T111( ) ()(),2222TTf tE u tu tt o/2/2E1Tt( )f t1T第31页/共202页第三十二页，共202页。110111,()20,0,01()22nnnnnnnnEnEcacSaTccnEFFaSaT 1j1111111( )()cos()()22entnnEnnEEf tSantSaTT三角指数1101 ( ) ,0,()2nnf tEnEabaSaT是偶函数第32页/共202页第三十三页，共202页。1,20 21(,)fnBBB周

18、期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为主要能量集中在第一个零点以内，即称为其频带宽度相位谱On2411ETnC1nO1224幅度谱第33页/共202页第三十四页，共202页。复数(fsh)频11ETnFO2122 4实数(shsh)频谱幅度谱与相位(xingwi)谱合并10cnCO1224第34页/共202页第三十五页，共202页。 周期对称(duchn)方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称(duchn)方波信号有两个特点：(1)是正负交替的信号，其直流分量a0等于零；(2)它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2。O2E1/ 4T1/ 4T1Tt( )f t2E1T第35页/共202页

19、第三十六页，共202页。00 (), 1,3,5.20,01, (),0222nnnnnnnnnccaESancEnFFcSac，111j21( )sin()cos()21sin(),1,3.2enntnEnf tntnEnnn 三角指数0 002(), 1,3,5.2nnabnEaESann 偶函数且，奇谐函数第36页/共202页第三十七页，共202页。1n周期对称方波信号的幅度频谱中 收敛规律na1O12131415幅度(fd)谱1na15O121314相位谱On1131517第37页/共202页第三十八页，共202页。3. 周期锯齿脉冲信号(xnho)的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是

20、奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数bn。如何求bn留作思考！0na t( )f t2EO12T12T2E第38页/共202页第三十九页，共202页。11111111( )sin()sin(2)sin(3)231( 1)sin()nnEf ttttEntn其傅里叶级数(j sh)表达式为：此信号的频谱只包含(bohn)正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。第39页/共202页第四十页，共202页。4. 周期三角脉冲(michng)信号的傅里叶级数求解t( )f tEO12T12T0nb 周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求bn留作思考！第40页/共202页第

21、四十一页，共202页。此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波(xi b)分量，谐波(xi b)的幅度以1/n2的规律收敛。111221221411( )cos()cos(3 )cos(5 )292541 sin ()cos( )22nEEf ttttEEnn tn其傅里叶级数(j sh)表达式为：第41页/共202页第四十二页，共202页。5. 周期半波余弦信号的傅里叶级数(j sh)求解0nb 周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求bn留作思考！t( )f tEo12T12T1T1T第42页/共202页第四十三页，共202页。此信号的频谱只包含直流、基波及

22、偶次谐波分量(fn ling)，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。1111121144( )cos()cos(2)cos(4)2315212cos()cos() (1)2nEEf ttttEEnn tnT，其傅里叶级数(j sh)表达式为：第43页/共202页第四十四页，共202页。6. 周期全波余弦信号的傅里叶级数(j sh)求解周期(zhuq)全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为10002( )cos(),f tEtTt( )f tEo12T12T1T1T则，全波余弦(yxin)信号为：10( )( )cos()f tf tEt第44页/共202页第四十五页，共202页。此信号的频谱只包含直

23、流、基波及偶次谐波分量(fn ling)，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。111102124111( )cos(2)cos(4)cos(6)31535241( 1)cos(2)41nnEEf ttttEEntn其傅里叶级数(j sh)表达式为：第45页/共202页第四十六页，共202页。0111( )(cossin)NNnnnStaatbt3.4.3 吉布斯效应(xioyng)第46页/共202页第四十七页，共202页。误差函数和均方误差误差函数均方误差( )( )( )NNtf tS t2222201( )( )()2NNnnEtftaab第47页/共202页第四十八页，共202页。2sin

24、2nEnan21111135( )(coscos3cos5)Ef tttt例-E/2T1/4-T1/4tE/2o第48页/共202页第四十九页，共202页。210.05EE21121(coscos 3),3EStt220.02EE212(cos),ESt311121(coscos331 cos5),5ESttt230.01EE（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81第49页/共202页第五十页，共202页。911112111(coscos3cos5cos11)3511ES

25、tttt-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81第50页/共202页第五十一页，共202页。lim( )NNSf t 结论(jiln)第51页/共202页第五十二页，共202页。以周期(zhuq)矩形脉冲为例：只需修改上面程序(3.2.3节)中函数CTFShchsym.m的内容(nirng)，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用stem而非plot命令。谐波阶数取还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现(shxin)频谱的反褶。 上机练习！( )(),nf tG tnT(1,

26、5)T60Nf 3.4.4 周期信号的MATLAB仿真实现第52页/共202页第五十三页，共202页。112Sa()nnEncaTT 对周期(zhuq)矩形脉冲信号，有t( )f t2212T12T1T1TE1T t( )f t22E3.5 非周期性信号(xnho)的频谱3.5.1 从傅里叶级数(j sh)到傅里叶变换第53页/共202页第五十四页，共202页。1T 112T谱线间隔1T 1120T谱线间隔0 从物理概念考虑：信号的能量(nngling)存在，其频谱分布的规律就存在。由于1,T 111j2121( )ed0TntTnFf ttT1从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数(j sh)

27、到傅里叶变换第54页/共202页第五十五页，共202页。信号(xnho)的频谱分布是不会随着信号(xnho)的周期的无限增大而消失的。T 时，信号(xnho)的频谱分布仍然存在。 结论(jiln)无限(wxin)多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。11jj1( )ee2ntntnnnnf tFC 从数学角度来看：第55页/共202页第五十六页，共202页。所以，傅里叶级数(j sh)展开为：1j1( )()entnf tF n111j21121()( )edTntTF nf ttT111111111j1211012, , 0, 2 ()lim()limlim( )edTntTTTTTF nT

28、F nf tt 两两边边同同乘乘以以取取极极限限: :为频谱密度(md)函数。11111j12122 ()( )limlim( )edTntTTTF nFf tt 定义(dngy)第56页/共202页第五十七页，共202页。周期信号：频谱是离散的，且各频率分量(fn ling)的复振幅 为有限值。nF非周期信号：频谱是连续(linx)的，且各频率分量的复振幅 为无限小量。()d2F 所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有(mi yu)意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。！第57页/共202页第五十八页，共202页。(j )F( )f t2傅里叶逆变换怎样用计算1111jj1jj

29、10(j)( )limelime11lim(j)e(j)ed22ntntnTTnnnttnFnf tFTFnF 第58页/共202页第五十九页，共202页。第59页/共202页第六十页，共202页。j( )( )edtFf tt 反变换(binhun)正变换(binhun)j1( )( )ed2tf tF !傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换存在的充分条件:( )dftt 用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。第60页/共202页第六十一页，共202页。4傅里叶变换的另外几种(j zhn)形式j2(j2)( )edftFff tt j2j2

30、1( )(j2 )ed(2 )2 (j2 )edf tf tf tFffFff j2()( )edftFff tt j2( )()edf tf tF ff 第61页/共202页第六十二页，共202页。j(j)( )2( )edtFF f tf tt 1j( )(j)(j)edtf tFFF j1(j)( )( )ed2tFFf tf tt 1j1( )(j)(j)ed2tf tFFF 第62页/共202页第六十三页，共202页。 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1.单边指数(zhsh)信号 6. 符号函数2. 双边指数(zhsh)信号 7. 冲激函数傅里叶变换对 3. 奇双边指数(

31、zhsh)信号 8. 冲激偶的傅里叶变换 4. 矩形脉冲信号 9. 阶跃信号的傅里叶变换5. 钟形脉冲信号 10. 复正弦信号 3.5.2 常见信号(xnho)的傅里叶变换第63页/共202页第六十四页，共202页。( )( ) (0)eatf tu ta单边指数：（复函数）221()1(),j()arctanFaFaa （）其傅里叶变换(binhun)为：第64页/共202页第六十五页，共202页。利用傅里叶变换(binhun)定义公式jj0(j)(j)00()( )ed (0)eed11ede(j)jtattatatFf ttattaa 第65页/共202页第六十六页，共202页。( )(

32、 )(0)eatf tu taO1t时域波形221( )FaO1a12a3a单边指数(zhsh)信号的频谱如下：O2( )arctan()a 2频域频谱第66页/共202页第六十七页，共202页。( ) (0)ea tf ta偶双边指数：22222( )2( )( )0aFaaFa 其傅里叶变换(binhun)为：（正实函数(hnsh)）第67页/共202页第六十八页，共202页。利用(lyng)傅里叶变换定义公式求解(qi ji)过程jj0jj00(j)(j)022( )( )edeed e edeed11 ee(j )(j )112 , (0)jjatttattattatatFf tttt

33、taaaaaaa 第68页/共202页第六十九页，共202页。( ) (0)ea tf taO1t时域波形双边指数信号(xnho)的频谱如下：频域频谱222( )aFaO2a1a3a相位( )0 第69页/共202页第七十页，共202页。( )(0)e,0e,0atf taattt奇双边指数：22222()2j(), ,02(),02FaFa （纯虚函数）3. 奇双边指数信号(xnho)的傅里叶变换第70页/共202页第七十一页，共202页。频域频谱O202( )02 2O1aa222( )FaaO1t时域波形( )(0)e0e0atf tatatt，频谱如下(rxi)：第71页/共202页第

34、七十二页，共202页。( ) ()()22f tE u tu t矩形脉冲：( )2( ), 20,( )0( ),( )0FE SaFE SaFF 4. 矩形脉冲信号的傅里叶变换实函数第72页/共202页第七十三页，共202页。21, 21fBf 时域有限(yuxin)的矩形脉冲信号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为( ) ()()22f tE u tu tOt( )2FE Sa（）O226E-第73页/共202页第七十四页，共202页。2( )etf tE（ ）钟形脉冲：5. 钟形脉冲(michng)信号的傅里叶变换 （高斯脉冲(michng)）22( )eFE（）其傅

35、里叶变换(binhun)为：（正实函数(hnsh)）22( )( )0eFE （）第74页/共202页第七十五页，共202页。22( )eFE（）OE2eE因为钟形脉冲信号(xnho)是一正实函数，所以其相位频谱为零。2( )etf tE（ ）OtEeE时域波形频域频谱第75页/共202页第七十六页，共202页。010e,0sgn( )00lime,010atatattf ttttt，( )=，6. 符号(fho)函数的傅里叶变换2()jF；其傅里叶变换(binhun)为：2( ),02( ),02F （纯虚数(xsh)函数）第76页/共202页第七十七页，共202页。sgn( ) tOt11

36、O( ) 22 符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数(zhsh)衰减函数相乘，求出奇双边指数(zhsh)的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。O( )F第77页/共202页第七十八页，共202页。7. 冲激函数傅里叶变换(binhun)对直流信号(xnho)的傅里叶变换是冲激函数)(21F)(2EEF1de)()()(jtttFFt21de)(21)(j1Ft！( )( )f tt第78页/共202页第七十九页，共202页。均匀谱或白色谱1O)(Ft)(to1)(tf1Ot)(2O第79页/共202页第八十页，共202页。8. 冲激(chn j)偶的傅

37、里叶变换 ( )( )f ttj1( )ed2ttjd( )1(j )edd2tttd( )( )jdFFTtt记为d ( )jdFTtt d( )(j )dnnnFTttd( )2(j)( )dnnnnFT t 同理，有第80页/共202页第八十一页，共202页。9. 阶跃信号的傅里叶变换 11( )( )sgn( )22f tu tt11( ) sgn( )221 ( )jFFTFTt 2221( )( )F幅频特性 0,0( )/2,0/2,0 相频特性 u(t)Ot1)(FO第81页/共202页第八十二页，共202页。10复正弦(zhngxin)信号 j( )ectf tj1(1)ed

38、( )2 tIF Tt jjjedededtxttxjed2 ( )ttjj()(e)ed2 ()ccttcFTt tctje2 ()ctc jectc2的傅里叶变换为一位于且强度为的冲激函数。 结论(jiln)( )F 2Oc第82页/共202页第八十三页，共202页。升余弦脉冲信号的傅里叶变换 补充升余弦(yxin)脉冲信号：( )1 cos(), (0)2Etf tt其傅里叶变换(binhun)为：22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF（实数(shsh)）其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了/( )f tOtE/2E222( )FO2EE34第

39、83页/共202页第八十四页，共202页。利用傅里叶变换定义(dngy)公式jjjj0jjj00( )( )ed1cos()ed2edeedeed244Sa()Sa() Sa() 22tttttttEtFf tttEEEtttEEE化简得：求解(qi ji)过程22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF第84页/共202页第八十五页，共202页。3.5.3 MATLAB仿真(fn zhn)实现MATLAB数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏变换(binhun)及逆变换(binhun)的函数fourier()和ifourier()。（1）傅里叶变换(

40、binhun)调用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) j(j )( )edvtFvf ttj(j )( )edvtFvf ut)(ff 第85页/共202页第八十六页，共202页。（2）傅里叶逆变换调用(dioyng)格式1）f=ifourier(F) 2）f=ifourier(F,u) 3）f=ifourier(F,v,u) 在调用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量进行说明，即将(jjing)这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数f及ifourier()中的函数F也要

41、用符号定义符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是MATLAB中的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。 ！书中例题(lt)可上机练习第86页/共202页第八十七页，共202页。j1j( )( )( ) ( )( )ed1( ) ( )( )ed2Fttf tFFF f tf ttf tFF tF时间函数 频谱某种运算 变化 变 化 运算关系建立对应借助基本性质 3.6 傅里叶变换(binhun)的性质1. 傅里叶变换(binhun)的唯一性傅里叶变换的唯一性表明(biomng)了信号的时域和频域是一一对应的关系。 ！第87页/共202页第八十八页，共202页。2.对称性（频域、时域

42、呈现(chngxin)的对应关系）若 ，则( )( )Ff tF( )2 ()FF tfj() ( )( )( ) ( )( )ed12( )ed2 ()21()( ) ( )2 ()2FtjtFF tffF F tF ttF ttfffF tf 即证明证毕第88页/共202页第八十九页，共202页。如冲激(chn j)和直流函数的频谱的对称性就是一例子：！( )f t( )2 ( )F tf1( )()2F tf若 为偶函数，则 或 即f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。F()OOOOF(t)tt2 ( ) ( ) t（1）冲激函数第89页/共202页第九十页，共202页。（2）直流函数

43、(hnsh)( )f t/2t1O/2( )F2 2 O()2Sa( )F2c2c1O( )f t2 ct2cO()22cctSa2 c第90页/共202页第九十一页，共202页。attf e)(FTj1)(aF?j1)(1taFTF对称性a fFe2)(2)(1t 换成f 换成F1换成t第91页/共202页第九十二页，共202页。21:1Ft求222ea taa2211e21112ee12tt例解第92页/共202页第九十三页，共202页。1 122j1 122jj1122( ) ( )( )( )( )( )ed( )ed( )edtttFF f tF a f ta f ta f ta f

44、 ttaf ttaf tt111 12211221 122112211111221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )a f ta f ta FFa FFF a f ta f ta F f ta F f tFa Fa Fa FFa FF证明(zhngmng)推论(tuln)第93页/共202页第九十四页，共202页。( ) ()() ()()22f tu tu tu tu t ()(/ 2)2()FSaSa 求 f(t) 的傅里叶变换(binhun)例( )f t/212t/2解第94页/共202页第九十五页，共202页。4. 奇偶虚实性无论 f (t

45、) 是实函数还是复函数，下面四式均成立:*( )()FT ftF*()( )FT ftF ( )( )FT f tF ()()FT ftF时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺更广泛地讲，函数f(t)是t的复数；令12( )( )j( )ftftft虚部实部第95页/共202页第九十六页，共202页。()()j()FjRXj12j(j)( )( )edecosjsinttFf tftttt整理(zhngl)上式得出：12()( ) cos( ) sindRfttfttt21()( )sin( ) cosdXfttfttt 第96页/共202页第九十七页，共202页。 jecosjsin.

46、3ttt j1( )( j)ed. 12tftF ( j)( j)j(). 2FRX把式（2）、（3）代入式（1）整理(zhngl)得：11( )() co s() sin ()d2 ftRtXt 21( )() sin() cosd2 ftRtXt 第97页/共202页第九十八页，共202页。()( )cosd ,Rf tt t( )( )sindXf tt t 性质1 实数函数 设f(t)是t的实函数,则 的实部与虚部将分别等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有 ( )F特殊情况(qngkung)讨论：从上式可以(ky)得出结论: *()( ) , ()( )( )( )j (

47、), ()( )j ( )()( )RRXXFRXFRXFF第98页/共202页第九十九页，共202页。)()()()(*FtfFTFtfFT实信号(xnho)的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的.特点(tdin)( )( )cosdj( )sindFf tt tf tt t( )()RR*()( )FF( )()XX偶函数奇函数第99页/共202页第一百页，共202页。性质(xngzh)2 虚函数设f(t)是纯虚函数21( )j ( ),( )0f tf tf t则22()( ) sind()( ) cosdRftt tXftt t*()( )FF反之(fnzh)也正确.因

48、而 是 的奇函数,而 是 的偶函数。( )R( )X第100页/共202页第一百零一页，共202页。j( )( )ed( )cosdj( )sindtFf ttf tt tf tt t0()( )cosd2( )cosd ()0Rf tt tf tt tX性质(xngzh)3 实偶函数实偶函数的傅里叶变换(binhun)仍为实偶函数结论(jiln)反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分也是实函数，则f(t)必是偶函数。推论( )()f tft设f(t)是t的实偶函数，则第101页/共202页第一百零二页，共202页。( )e()tf tt 例222()F()0 解tOf(t)F()tO第102页

49、/共202页第一百零三页，共202页。性质(xngzh)4 奇实函数 设f(-t)=-f(t) ，则：(j )0R0()( )sind2( )sindXf tt tf tt t 01( )()sindf tXt 反之，若一实函数(hnsh)f(t)付里叶积分是一纯虚函数(hnsh)，则f(t)必是奇函数(hnsh)。实奇函数的傅里叶变换(binhun)则为虚奇函数结论推论()( ) cosd0Rf tt t()( )sindXf tt t 第103页/共202页第一百零四页，共202页。(0)2( )(0)2 222()Fe(0)( )e(0)atattf tt222 j()F例解tOf(t)

50、O|F()|OF()O()/2-/2第104页/共202页第一百零五页，共202页。同理可以(ky)推出：若 是虚函数且还是(hi shi)偶函数，则 的傅里叶变换为虚偶函数。性质(xngzh)5：性质6：若 是虚函数且还是奇函数，则 的傅里叶变换为实奇函数。( )f t( )f t( )f t( )f t读者可以仿照性质3、性质4给予简单证明第105页/共202页第一百零六页，共202页。eoeeoo00eo00 ( )( )( ) ( )(), f ( )()()2( )cosd , ()2( )sind11( )()cosd, ( )()sindf tftftftRtXRftt tXft

51、t tftRtftXt eojeo()( )( )ed( ) cosdj( )sindtFftfttftt tftt t如果将 按照奇偶来划分( )f t第106页/共202页第一百零七页，共202页。( )Re ( )jIm ( )FFF而eo ( )Re ( ), ( )jIm ( )f tFf tF12()( )cos( )sindRf ttfttt21()( )sin( ) cosdXfttfttt 11( )()cos()sind2f tRtXt21( )()sin() cosd2ftRtXt第107页/共202页第一百零八页，共202页。f(t)F( () )实实一般一般实部偶、虚

52、部奇、幅频偶、相频奇实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇偶偶实部偶实部偶奇奇虚部奇虚部奇虚虚偶偶虚部偶虚部偶奇奇实部奇实部奇第108页/共202页第一百零九页，共202页。5. 尺度(chd)变换特性时间(shjin)波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个(y )实常数a ，其关系为1( )()()()ftFfa tFaa-j ()()edtF f atf att令x=at，则dx=adt ，代入上式可得则证明时域压缩则频域展宽；展宽时域则频域压缩。结论j11()( )ed( j)xaFTf atfxxFaaa第109页/共202页第一百一十页，共202页。时域中的压缩(y su)（扩展）等于频

53、域中的扩展（压缩(y su)）f(t/2)缩tO缩f(2t)/4缩/4tO缩11(/2)2F/24 4 展展O)2(2F2展展O第110页/共202页第一百一十一页，共202页。尺度变换(binhun)变换(binhun)后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段语音(yyn)信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例第111页/共202页第一百一十二页，共202页

54、。j1( )( )ed2( )d(0)tf tFF fff定义若高度为 的矩形与 的面积相等，则称矩形宽度为等效频带宽度 。 (0)F( )F f等效频带宽度若高度为 的矩形与 的面积相等，则称矩形宽度为等效脉冲宽度 。 (0)f( )f t等效脉冲宽度j()( )ed( )d(0)tFf ttf ttF第112页/共202页第一百一十三页，共202页。(0 )(0 )(0 )(0 )ffFFBf1fB信号的等效(dn xio)脉冲宽度和占有的等效(dn xio)频带宽度成反比。 结论(jiln)第113页/共202页第一百一十四页，共202页。(2) 脉宽频宽常数(1) 函数 f(at) 表

55、示函数 f(t) 在时间刻度上压缩a倍，同样 表示函数在频率刻度上扩展a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然(/ )Fa上述反比(fnb)特性的物理意义：第114页/共202页第一百一十五页，共202页。6. 时移特性(txng)若 则( )()F TftF0j0()()etFTf ttF证明(zhngmng)000j()jjj( )( )ede( )ede( )x tttxFT f xf xxf xxF0 xtt 令则0j0()e( )tFTf ttF第115页/共202页第一百一十六页，共202页。同理可推得：带有尺度变换(binhun)的时移特性j00()()e

56、d(0)tFTf attf attta0j01()()etaFTf attFaa000j()0jjj1 ()( )ed11e( )ede()x tattxaaaFT f attf xxaf xxFaaa0 xatt令0()/txtaa 0时加绝对值第116页/共202页第一百一十七页，共202页。单矩形脉冲 的频谱为有如下(rxi)三脉冲信号：其频谱为0()f t0( )()2FE Sa000( )( )()()f tftftTftTjj00()()(1ee)()(12 cos)()(12 cos)2TTFFFTESaT求三脉冲信号的频谱例解第117页/共202页第一百一十八页，共202页。7

57、. 频移特性(txng)( )( )FT f tF0j0 ( )e()tFT f tF0j0 ( )e()tFT f tF000jjjj()0 ( )e( )eed( )ed()ttttFT f tf ttf ttF 证明(zhngmng)第118页/共202页第一百一十九页，共202页。0001( ) cos()()2fttFF000j( ) sin()()2fttFF( )()f tF1()()()cos2f tTf tTFT若则同理可得第119页/共202页第一百二十页，共202页。矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t 相乘后信号的频谱函数。(j )()4FASa000)0011

58、( )cosj()j()22(1222F f ttFFASaASa 利用频移特性可得宽度为 的矩形脉冲信号对应的频谱函数为例解第120页/共202页第一百二十一页，共202页。0A2/ tt2/ t -)(tfoF()F()o0 02/ tAt2/t -t tfcos)(0第121页/共202页第一百二十二页，共202页。（1）时域（2）频域，则 ( )( )FT f tF若d ( )j( )df tFTFtd( )(j )( )dnnnf tFTFt( )( )FTf tF d ( )j( )dFTFtf t d( j )( )( )dnFTnntf tF 若 ，则证明(zhngmng)（略

59、）第122页/共202页第一百二十三页，共202页。122( )( )( )( )/ j( )( )/(j ) ( )( )/(j )nnf tFftFftFftF 9. 积分(jfn)特性 ( )( )FT f tF若（1）时域积分(jfn)则( )( )d (0) ( )jtFFTfF , 则(0)0F若第123页/共202页第一百二十四页，共202页。(2) 频域积分(jfn) ( )( )FT f tF若则( ) (0) ( )( )djf tftFt第124页/共202页第一百二十五页，共202页。11( )( )FT f tF若22,( )( )FT ftF则1212( )*( )

60、( )( )FT f tf tFF可简记为11221212( )( )( )( )( )( )( )( )LLLf tFf tFf tf tFF第125页/共202页第一百二十六页，共202页。j1212j2121( )( )( )( )ed( )( )ed( )( )ttF f tf tfFtFftFF证明(zhngmng)j1212j12( )( )( )()d ed( )()ed dttF f tf tff ttff ttjj22()ed( )etf ttF式中第126页/共202页第一百二十七页，共202页。（2）频域卷积定理11( )( )FT f tF若22,( )( )FT ft