第10讲多元函数的极值学习教案

1、会计学1第第10讲多元函数的极值讲多元函数的极值第一页，编辑于星期二：十一点 四十四分。设)(Xfu 在nRX)U(0内有定义.若, )(U0XX 总有则称)(0Xf为函数)(Xf的极大值0X称为函数的极大点一一. .无约束极值无约束极值(极小点).(极小值).第1页/共42页第二页，编辑于星期二：十一点 四十四分。例1函数221yxz在点)0,0(处函数22yxz在点)0,0(处例2取极大值.取极小值.例1函数xyz 在点)0,0(处不取极值.第2页/共42页第三页，编辑于星期二：十一点 四十四分。定理若在点具有偏导数, 且在),(yxfz ),(00yx处取极值, 则必有),(00yx .

2、 0),( ,0),( grad 0000yxfyxf或该结论还可写为第3页/共42页第四页，编辑于星期二：十一点 四十四分。处的切平面方程为由可微函数取极值的必要条件： 此时, 切平面平行于 xy 平面.设函数在点),(00yx处可微且取),(yxf极值, 则相应的曲面在点),(00yx),(yxfz 函数极值的几何意义故切平面方程实际为 .0zz 第4页/共42页第五页，编辑于星期二：十一点 四十四分。定理若)(Xfu 在点0X具有偏导数, 且在0X处取极值, 则必有0)(0ixXf. ), 2, 1(ni该结论还可写为,0)(0Xf.0)( grad0Xf使函数)(Xfu 零的点0X称为

3、函数的驻点.的一阶偏导数全为第5页/共42页第六页，编辑于星期二：十一点 四十四分。定理(可微的二元函数极值判别法)记,),(2200yxxfA,),(200yxyxfB,),(2200yxyfC设第6页/共42页第七页，编辑于星期二：十一点 四十四分。例例3 3求yxxyxyxf12153),(23的极值.解解联立方程组, 求驻点:解之得驻点, )2, 1(, )2, 1(, )1, 2(. ) 1, 2(第7页/共42页第八页，编辑于星期二：十一点 四十四分。点) 1, 2(是极大点,极大值为. 28)1, 2(f点)2, 1(不是极值点.01082BAC, 01382BAC)2, 1(点

4、不是极值点.点) 1 , 2(是极小点,极小值为. 28)1, 2(f第8页/共42页第九页，编辑于星期二：十一点 四十四分。 函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点, 称为函数的极值可能点. 函数在其极值可能点处, 可能取极值,也可能不取极值.第9页/共42页第十页，编辑于星期二：十一点 四十四分。如果, )()(CXf)(Xf为有界闭区域, 则函必在上取到它的最大值和最小值.数第10页/共42页第十一页，编辑于星期二：十一点 四十四分。上的最大值和最小值.在它们就是取出最大者和最小者 )( ,Xf第11页/共42页第十二页，编辑于星期二：十一点 四十四分。如果知道可微函数)(Xf的最大

5、值或最小值一定在区域内达到, 函数在区域内又仅有一个驻点, 则该驻点一定是最大值点或最小值点.第12页/共42页第十三页，编辑于星期二：十一点 四十四分。例例4 4距离之平方和为最大及最小的点.解所求距离之平方和为第13页/共42页第十四页，编辑于星期二：十一点 四十四分。所讨论的问题归结为下面的问题:第14页/共42页第十五页，编辑于星期二：十一点 四十四分。求函数f在有界闭区域D上的最大、最小值的一般步骤为：f上的可能极大、极小值点;先求在开区域D再求fD上的可能极大、极小值点;在边界将所求出的可能极值(及边界上的特殊点的函数值)进行比较, 即可得出函数的最大、最小值.第15页/共42页第

6、十六页，编辑于星期二：十一点 四十四分。 : D 内在由方程组得到驻点, ),(3131且 .),(343131f第16页/共42页第十七页，编辑于星期二：十一点 四十四分。 : D 上在 xyOCBP由一元函数求极值的方法, 得驻点：, ) ,(310函数值：) ,(310f35第17页/共42页第十八页，编辑于星期二：十一点 四十四分。 : D 上在 xyOCBP由一元函数求极值的方法, 得驻点：, ) , (310函数值：) , (31035f第18页/共42页第十九页，编辑于星期二：十一点 四十四分。 : D 上在 xyOCBP由一元函数求极值的方法, 得驻点：, ),(2121函数值

7、：), (2121f23第19页/共42页第二十页，编辑于星期二：十一点 四十四分。综上所述f) ,(31350f) , (31035f),(212123f),(313134边界上端点值：第20页/共42页第二十一页，编辑于星期二：十一点 四十四分。f),(313134第21页/共42页第二十二页，编辑于星期二：十一点 四十四分。例例5 5求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体 .xyOP球球面面解解选择坐标系, 使球心位于坐标原点, 则球面方程为设所求长方体在第一卦限中的顶点为则长方体的三个棱边长是长方体体积为2228yxaxy8)2)(2)(2(xyzzyxV第22页/共42页第二十

8、三页，编辑于星期二：十一点 四十四分。原问题归结为下面的优化问题:第23页/共42页第二十四页，编辑于星期二：十一点 四十四分。由解之得第24页/共42页第二十五页，编辑于星期二：十一点 四十四分。由00yVxV22222222ayxayx解之得,3ayx应用题, 又仅有唯一的个驻点, 故该驻点即为极值点, 从而所求球内接长方体的边长为 . 32222azyx第25页/共42页第二十六页，编辑于星期二：十一点 四十四分。应满足方程 对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题 .例如, 上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题, 就是一个有约束的极值问题: 长方体顶点必须位于球面上 , 其坐

9、标x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .第26页/共42页第二十七页，编辑于星期二：十一点 四十四分。 有约束极值(条件极值)的定义若,0LX , )(U0XLX有)()(0XfXf( 或,)()(0XfXf则称)(0Xf为函数)(Xf在约束条件,0)(1X)( ,0)(nmXm下的极大值 (或极小值). 这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值. 这里的约束称为 等式约束.第27页/共42页第二十八页，编辑于星期二：十一点 四十四分。问题： 求函数),(yxfu 在0),(yx下的极值.条件 运用变量替代法求解有约束极值问题时, 往往会遇到困难 有时不能从条件中解出变量间的显函数表示

10、式.第28页/共42页第二十九页，编辑于星期二：十一点 四十四分。 拉格朗日乘数法第29页/共42页第三十页，编辑于星期二：十一点 四十四分。求解构造拉格朗日函数第30页/共42页第三十一页，编辑于星期二：十一点 四十四分。由取极值的必要条件解方程组 驻点 进行判别第31页/共42页第三十二页，编辑于星期二：十一点 四十四分。例例7 7求函数xyzzyxf),(在条件下的极小值, 并证明此时不等式成立：其中, x、y、z、a 0为实数.第32页/共42页第三十三页，编辑于星期二：十一点 四十四分。解解作拉格朗日函数令第33页/共42页第三十四页，编辑于星期二：十一点 四十四分。由前三式得从而将

11、它代入最后一式, 得到拉格朗日函数的驻点： 该驻点是否为原函数的极值点?第34页/共42页第三十五页，编辑于星期二：十一点 四十四分。设方程确定隐函数则可令从而第35页/共42页第三十六页，编辑于星期二：十一点 四十四分。在点ayx3处,0622axFA又故函数 F (x, y)在点(3a, 3a)处取极小值, 这等价于函数 f (x, y, z) 在(3a,3a,3a)取极小值 .27)3 ,3 ,3(3aaaaf第36页/共42页第三十七页，编辑于星期二：十一点 四十四分。下面证明不等式：311113xyzzyx由于点 (3a ,3a,3a) 是可微函数xyzzyxf),(的唯一(条件)极小值点, 故在中有即有D),(zyx第37页/共42页第三十八页，编辑于星期二：十一点 四十四分。由 x、y、z、a 0 的任意性, 即可得第38页/共42页第三十九页，编辑于星期二：十一点 四十四分。由 x、y、z、a 0 的任意性, 即可得311113xyzzyx)0,