常微分方程奇解与包络

1、2.4 singularly solution singularly solution2.4 奇奇 解解/Singularly solution/ 2.4 singularly solution singularly solution2.4 奇解奇解包络和奇解包络和奇解克莱罗方程（克莱罗方程（Clairant EquationClairant Equation）本节要求：本节要求： 1 了解奇解的意义； 2 掌握求奇解的方法。主要内容主要内容2.4 singularly solution singularly solution2(0)0dyydxycxcxycxydxydy,)(22xy120

2、cxcxcxy,)(, 020c 2.4 singularly solution singularly solution21d yyd x例 2 ： 求 方 程的 所 有 解 。sin()yxc解：该方程有通解此外还有两个特解y=1和y=-12.4 singularly solution singularly solutionxy2.4 singularly solution singularly solution定义定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的则称此

3、解为微分方程的奇解奇解。奇解对应的积。奇解对应的积分曲线称为分曲线称为奇积分曲线奇积分曲线 2.4 singularly solution singularly solution一一 包络和奇解的定义包络和奇解的定义曲线族的包络：曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解奇解。 注注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。

4、2.4 singularly solution singularly solution2.4 singularly solution singularly solution例 单参数曲线族222Rycx )(R是常数，c是参数。xyo显然，Ry是曲线族 的包络。 222Rycx )(一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。2.4 singularly solution singularly solution注:并不是每个曲线族都有包络.例如: 单参数曲线族:222cyx(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图从图形可见, 此曲线族没有包络.2.4 singularly

5、solution singularly solution 二、不存在奇解的判别法二、不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D D上连续且在D D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D D内一定不存在奇解。有定义的区域D D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个2.4 singularly solution singularly solution222()()2d yaxyd xd ybyxd x

6、例：判断下列方程是否存在奇解2.4 singularly solution singularly solution定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。( ,),(1.9)dyfx ydx证明：证明： 应用定理应用定理2.1积分曲线与线素场的积分曲线与线素场的关系的充要条件关系的充要条件2.4 singularly solution singularly solution三三 求奇解（包络线）的方法求奇解（包络线）的方法l C-判别曲线法判别曲线法l P-判别曲线法判别曲线法设一阶方程0),(yyxF的通积分为。0),(Cyx1 C-判别曲线法判别曲线

7、法结论结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组00),(),(CyxCyxC消去 C 而得到的曲线中。2.4 singularly solution singularly solution00),(),(CyxCyxC设由能确定出曲线为)(),(:CyyCxxL 则0),(),(CCyCx对参数 C 求导数0),(),()(),(),()(),(),(CCyCxCyCCyCxCxCCyCxCyx从而得到恒等式0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx2.4 singularly solution singularly solution0)(),(),()(

8、),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx当),(),(CyxCyxyx至少有一个不为零时有,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCxCyyx或,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCyCxxy这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。0),(Cyx注意：注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。检验。2.4 singularly solution singularly solution例例1 求直线族0pyxsincos的包络，这里 是参数，p 是常数

9、。解：解：对参数 求导数0cossinyx联立0pyxsincos0cossinyx022222cossincossinxyyx222222pxyyxcossinsincos相加，得222pyx，经检验，其是所求包络线。xyop2.4 singularly solution singularly solution例例2 求直线族03232)()(cxcy的包络，这里 c 是参数。解：解：对参数 c 求导数02)(cxcy联立03232)()(cxcy02)(cxcy得0323)()(cxcx从 得到0cxxy 从 得到92 xy032 )(cx因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验， 是

10、所求包络线。92 xy2.4 singularly solution singularly solutionxyoxy 92 xy2.4 singularly solution singularly solution2 p-判别曲线判别曲线结论结论：方程 的奇解包含在下列方程组00),(),(pyxFpyxFp0),(yyxF消去 p 而得到的曲线中。注意：注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。检验。2.4 singularly solution singularly solution例例3 求方程0122ydxdy的奇解。解：解：

11、从消去 p，得到 p-判别曲线经检验，它们是方程的奇解。020122pyp1y因为易求得原方程的通解为)sin(cxy而 是方程的解，且正好是通解的包络。1y2.4 singularly solution singularly solution例例4 求方程22dxdydxdyxy的奇解。解：解： 从消去 p，得到 p-判别曲线经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。02222pxpxpy2xy 注意：注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判判别曲线和别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。判别曲线是不是奇解，必需进行检验。2.4 si

12、ngularly solution singularly solution 3 克莱罗方程克莱罗方程形式)(pfxpy其中)(,pfdxdyp 是 p 的连续函数。解法解法ppfpxpp)(0ppfx)(0 pcp )(cfcxy)()()(pppfypfx通解奇解2.4 singularly solution singularly solution结果结果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直线族,此直线族的包络)(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.2.4 singularly sol

13、ution singularly solution例例5 求解方程pxpy1解：解： 这是克莱罗方程，因而其通解为消去 c，得到奇解xy42cxcy1cxcycx1012从2.4 singularly solution singularly solutionxyOxy42.42xy 如图:此方程的通解是直线族:,1ccxy而奇解是通解的包络:2.4 singularly solution singularly solution例例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。解解 设要求的曲线为)(xyy 过曲线任上一点 的切线方程为),(yxyxXxyY)(其与

14、坐标轴的交点为),(yyxxyy 切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为2 21)(yyxxyy2.4 singularly solution singularly solution2 21)(yyxxyyyyxy42)(yyxy2yyxy2这是克莱罗方程，因而其通解为112cxcyxcc22 消去 c，得到奇解1xy从02222cxxccy这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。2.4 singularly solution singularly solution直线族及其包络线2.4 singularly solution singularly solution2222( )2 909,

15、22190,221903,3229,22x yyyxxxpyp ypdppxpdxpyxpdppcxpcxydxxc 例7 求方程 的解.解 令 求导后整理得由得由得即2.4 singularly solution singularly solution利用利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下可以得到这个方程的解曲线如下:注意注意:y=3x和和y=-3x是非常特殊的解是非常特殊的解,其它解与这两条直线相切其它解与这两条直线相切.restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:plot(3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yy:=%:plot(-3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,yy,yyy);2.4 singularly solution singularly solution本节要点本