第二章 质点组力学

1、1234教学基本要求和重点、难点教学基本要求和重点、难点n1、教学基本要求、教学基本要求n（1）掌握质点组的特点和质点组动力学的基本定理和守恒律；n（2）掌握质心和质心坐标系中的动力学基本定理以及质心系与实验坐标系的相互关系；n（3）掌握变质量物体的运动方程。n2、重点、难点、重点、难点n重点：质点组动量定理与动量守恒律、动量矩定理与动量矩守恒律、动能定理与机械能守恒律。n难点：两体问题；质心坐标系与实验室坐标系。560jiijff1、内力（、内力（internal force）7内力的性质内力的性质1： 所有内力的矢量和等于零。所有内力的矢量和等于零。内力的性质内力的性质2：所有内力对任一点

2、的矩（或对任一轴的矩）的矢：所有内力对任一点的矩（或对任一轴的矩）的矢 量和等于零量和等于零 。nininijjijiiifFF110)()(内内力力iiiiFr0)()(82、外力（、外力（external force）质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力。质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力。9 在力学中，如果一个质点组不受任何外力作用，则叫在力学中，如果一个质点组不受任何外力作用，则叫做做孤立系孤立系或或闭合系闭合系。3、孤立系（闭合系）、孤立系（闭合系）101、引入质心的目的、引入质心的目的 （简化问题的处理）（简化问题的处理）2、质心、质心(centroid)位置矢量的定

3、义：位置矢量的定义：cririm11iiirm ciiiiirmrm)(ciiirrm0质心的另一定义法：质点组质量对质心的一次矩的矢量质心的另一定义法：质点组质量对质心的一次矩的矢量和等于零。和等于零。123、质心满足叠加原理：、质心满足叠加原理：niiniiicmxmx11niiniiicmymy11niiniiicmzmz11134、对于质量连续分布的物体，上述公式中的求和号应改、对于质量连续分布的物体，上述公式中的求和号应改为积分：为积分： VVcdVdVxxVVcdVdVyyVVcdVdVzz14例例1：求均匀扇形薄片的质心。此扇形的半径为 r = a ，所对的圆心角为2，并证明半圆

4、片的质点离圆心的距离为 。34ayoxcos ()cxdmrrdrdxdmrdrd )(cosrdrdr20rdrdrrdrdrsin32cos302rddrrr3sin2rxc证法证法1：0cy由于对称性，2/对于半圆形薄片，34axcdrdydrdxryrxcos,sin,sin,cos提示：15证法证法2：222ryx半圆片方程：22yrxdyyrxdydsdm22小质元质量：22212yrxxOic的垂直距离：小质元质心到原点3434221202202222ardyyrdyyryrdmdmxxrrrrrricc根据质心公式，有：oxyrrdyicx16oxydx证法证法3：222ryx

5、半圆片方程：22xrydxxrydxdsdm2222小质元质量：343422022022ardxxrdxxrxdmxdmxrrrrrrc根据质心公式，有：17证法证法4：半圆形薄片如右图所示：半圆形薄片如右图所示：古鲁金定理古鲁金定理：有一块平面图形，绕这平面上的一条不穿过这图形的直线为轴旋转而成的立体的体积，等于这图形的面积与它的重心在旋转时所经过的路径长度的乘积。cxSLSV234axarc又334rV221rS0cycxcxL2这里半圆形薄片绕 y 轴旋转而成的球的体积 ，半圆形薄片的面积 ，由于对称性， ， 为质心（或者重心）到 O 点的距离，其旋转一周时所过的路径的长度为 ，根据古鲁

6、金定理，则有cxoxy18), 3 , 2 , 1()()(22nidtdmiieiiiiFFFrniniiinieiiidtdm11)(1)(22FFrninieiiidtdm11)(22Friidtdvrdtdmdtddtdmdtddtdmniiininiiiiipvrr11122)(19称为质点组的动量质点组的动量，质点组中所有质点动量的向量和dtdmdtddtdmdtddtdmniiininiiiiipvrr11122)(ninieiiidtdm11)(22Frnieidtd1)(Fp质点组动量定理质点组动量定理20)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()()(eznieizniiz

7、izeynieiyniiyiyexnieixniixixFvmdtddtdpFvmdtddtdpFvmdtddtdpRRR质点组动质点组动量定理分量定理分量表达式量表达式质系动量对时间的一阶导数，等于作用在该质点组上的外力主向量质点组动量定理质点组动量定理nieie1)()(FR)(1)(enieidtdRFp21实例分析实例分析 人骑自行车在水平路面上由静止出发开始前进。是什么力使它有向前运动的速度？ 内力内力虽可改变质点组中质点的动量，但不能改变不能改变整个质点组的动量。整个质点组的动量。22根据质点组的质心公式i iiCmmrriiiCmmvv（2）质心运动定理）质心运动定理( )d()

8、dddCemttvpR( )eCmaR质系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点组上外力主向量 质心运动定理。 23对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动与力之间的关系对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体运动与力之间的关系m aF( )eCmaR在研究质心的运动时，可以将质点组的质量及所受的外力均集中到质心。 质心运动定理揭示了质心运动定理揭示了24实例分析实例分析质心的运动决定于外力主向量。只受力偶作用的刚体总是围绕其质心转动25（3）质点组动量守恒律）质点组动量守恒律1pC0)(1)(enieiRF)(1)(enieidtdRFp1Cmcvp2Ccv0)(eR26实例分析实例分析 1

9、太空中拔河，谁胜谁负？太空中拔河，谁胜谁负？系统不受外力作用，所以动量守恒()0AABBABCmmmmpvvv不分胜负！不分胜负！ ( )eCmaR27实例分析实例分析 228实例分析实例分析 3炮弹在空中爆炸第一块炮弹碎片落地前和落地后质心的运动轨迹？29UVxy0 MUmvx30yxvVvUVsin,cosUVxycossincosVmMmUVvVmMMvyx3122yxvvv2221cosMmmMmVtgMmvvtgxy1Vv UVxyv32例例2 2 已知已知: : 为常量为常量, ,均质杆均质杆OA = = AB = ,= ,两杆质量皆为两杆质量皆为 , ,滑块滑块 B 质量质量 .

10、 . l1m2m求求: :质心运动方程、轨迹及系统动量质心运动方程、轨迹及系统动量. .33解解: :设设 ，质心运动方程为，质心运动方程为t消去消去t 得轨迹方程得轨迹方程1)2/()2/()(2221122121mmlmymmlmmxcctlmmmmtmmlmlmlmxCcos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmyCsin2sin22221121134tlmmxmmvpCCxxsin)(221tlmymmvpCCyycos1tmtmmlpppyx221222122cossin)(4系统动量沿系统动量沿x, y轴的投影为轴的投影为: :系统动量的大小为系统动量的大小

11、为: :35质量分别为mA和mB的两个物块A和B，用刚度系数为k的弹簧联结。B块放在地面上，静止时A块位于O位置。如将A块压下，使其具有初位移X0，此后突然松开，如所示。求地面对B块的约束力NB。又X0多大时，B块将跳起？BkxOA静止平衡位置XO例例336例例2 解解取系统为研究对象，画受力图。kBx平衡位置静止AONBxAmAgmBg系统的动量为0sinxAABBApm xm xm XtA作简谐振动，初始条件为00AtxX 00Atx0cosAxXt 0sinAxXt所以20cosAxXt质系动量定理20cosABABm XtNm gm g20()cosBABANmmgm Xt37B块跳起

12、的条件为NB = 0，即20()cos0ABAmmgm Xt0min2ABABAmmmmXggmkkBx平衡位置静止AONBxAmAgmBg02()cosABAmmgXmt 382.3 质系的动量矩定理和动量矩守恒律（1）质系中各质点对固定点质系中各质点对固定点O的动量矩定理的动量矩定理（2）质系中各质点对固定点质系中各质点对固定点O的动量矩守恒律的动量矩守恒律（3）质点组对质心的动量矩定理质点组对质心的动量矩定理（4）质系对任意动点的动量矩定理（5）质点组对任意点的动量矩与对质心的动量矩之间的关系39（1）质系中各质点对固定点）质系中各质点对固定点O的动量矩定理的动量矩定理), 3 , 2

13、, 1()()(22nidtdmiieiiiFFr求和得：并对矢乘方程的两侧分别从左面iir)()()(11)(1)(22niniiiinieiiiiidtdmFrFrrr0)(1)(niiiiFr)(22dtddtddtdiiiirrrr又)()(11)(ninieiiiiidtdmdtdFrrr40)()(11)(ninieiiiiidtdmdtdFrrr)()(11niiiniiiidtdmprrrJ)(1)(nieiiFrM)(edtdMJdtde)(MJ kjiM)()()()(ezeyexeMMMkjiJxxxJJJ:形式在直角坐标轴上的投影41)(1)()(1)()(exniei

14、yieiziniiiiiixMFzFyyzzymdtddtdJ)(1)()(1)()(eynieizieixiniiiiiiyMFxFzzxxzmdtddtdJ)(1)()(1)()(eznieixieiyiniiiiiizMFyFxxyyxmdtddtdJ:形式在直角坐标轴上的投影质系对的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质系的外力对同轴的合力矩。)(edtdMJ42（2）质系中各质点对固定点）质系中各质点对固定点O的动量矩守恒律的动量矩守恒律0dtdJ，则矩如果质点组受到的合力0)(eM恒矢量J，而如果0)(eM0)(1)()()(nieiyieiziexFzFyM常数则niiiiiixyz

15、zymJ1)(43实例分析4芭蕾舞演员4花样滑冰运动员( )0eM合力矩IJ恒矢量4445（3）质点组对质心的动量矩定理）质点组对质心的动量矩定理) 1 ()()()(22ciiieiiimdtdmrFFr 是惯性力，要视作外力)(cimr )()()(111)(22niniiicnieiiiiimdtdmrrFrrr )()(22iiiiiidtddtddtddtdrrrrrr又)()(1)(1nieiiniiiimdtdFrrr0)(1niiimr yyiriirCrxyzC x zOivCviirCrxyzC x zOivCv46)()(1)(1nieiiniiiimdtdFrrrMJd

16、tdniiiim1)(rrJ)()(1einiiFrM讨论：讨论：质点组每个质点受到的惯性力的合力通过质心，所以对质心的力矩为零。动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关有关。如果 M=0，则对质点组质心的动量矩J守恒47（4）质系对任意动点的动量矩定理）质系对任意动点的动量矩定理niiAiiAm1vJniiAiiiAiniiAmmdtddtd11avJ)()()(AeiiiiAimmrFFa niAiieAAmdtd1)(00rMJ iAidtdvniiiAeAm1)(rM cAAeAmrrM )(cAAeAmrrM )(的形式相同。于固定点的动量矩定理的动量矩定理才和相对相对于任意点共线或者

17、平行时点的位矢相对于与质心对点的加速度只有任意点AAcAcAArr zmiviAiCrirCxyAiOrACiiCArr48（5）质点组对固定点的动量矩与对质心的动量矩之间的关系）质点组对固定点的动量矩与对质心的动量矩之间的关系icciiccivvvrrr,OiiiciciciciciiciciiciciciciciicCmmmmmmmmcccJrvrrvvrvrvrvrvrvrvJJCCCOmvrJJivivicriirCrxyzC x zOCviirCrxyzC x zOCvy49思考题一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为Io，角速度为，质心O点的速度

18、为vo。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。v vo oO Or rO O1 1 v vo oO Or rO O1 1 xyOrvi()iiiimr r2i iimr1O Oririv r11OOOO OOOmJJJrvJOiiirim JrvOIJ2123mrO则：sin11OOOOOOmvrmvr因为vr21mrmOOO所以)()()(BACCABCBA 50质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的移动速率u。OAvBvABOAvBvAB例151例1 解取滑轮与A和B两人为研究对象，因为外

19、力为两人所受重力， 故外力合力矩为零，系统对O点动量矩守恒：()0ABrmvmv设绳子移动的速率为u1Avuu2Bvuu12()/2uuuABvv又因为初始动量矩为零，所以任何时间动量矩均为零，即OAvBvABOAvBvAB52例1 总结53质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为 ，轴AB以匀角速度 转动。A、B轴承间的距离为h。求(1). 系统对O点的动量矩； (2). A、B轴承的约束反力。yOLACoDBz例254例2 解(1). 系统对O点的动量矩角速度向量(cossin)jk两小球的矢径,CDll rj rj它们的速

20、度sinCCl vrisinDDlvri由质系的动量矩的定义可得22sinOCCDDmmmlLrvrvk取整体系统为研究对象，建立固结杆坐标系AYBYyOLACoDBzmgmgBZ55DDCCOVmrVmrdtddtLdDDCCVmrVmrDDCCrdtdmrrdtdmrDDCCrmrrmrDDCCVmrVmrOL例2 解(2). 求A、B轴承的约束力AYBYyOLACoDBzmgmgBZkJjJiJdtLdLdtLddtLdzzyyxx*其中5622sin2OOdmldtLL =i由质系的质心运动定理质系的质心运动定理得,2ABBYYZmg外力对O点的主矩为( )eOAY hMi质系对质心的

21、动量矩定理：质系对质心的动量矩定理：22sin2ABmlYYhAYBYyOLACoDBzmgmgBZ)(eOOdtdML22sinOmlLkkdtkd57例2 以x轴的定轴转动(非惯性系)加惯性力，画受力图加惯性力，画受力图2sinCDSSml0:2 cos0BxACMY hSl222 cossin2CASlmlYhh0:yBARYY0:2zBRZmgAYBYACoDBmgmgDSCSBZ由质心运动定理zxy582.4 动能定理与机械能守恒定律动能定理与机械能守恒定律 （1）质点动能定理 （2）机械能守恒定律 （3）柯尼希定理 （4）对质心的动能定理2.5 两体问题两体问题59质系动能的微分等

22、于作用在质系上所有力的元功之质系动能的微分等于作用在质系上所有力的元功之和。和。21d()d,dd2iiiiiim vAAFr iniiiinieiniiirdFrdFrmd111221 iiiieiiiirdFrdFdTrmd221 iniiiinieirdFrdFdT1160注意：一般内力的功不为注意：一般内力的功不为0，因为一对内力的功为：，因为一对内力的功为： rdfrdfrrdfrdfrdfdwiiiiii1221122122111221r2r12f21fr1o2112TTA质系从状态1到状态2的运动过程中，其动能的改变量等于作用于质系的所有力在这段路程中所作功的代数和。61内力虽然

23、不能改变质系的动量和动量矩，但可能改变它的能量:实例分析炮弹爆炸 碰撞若外力是保守力（如重力）, 则能量不变, 但是可以改变动量和动量矩.62当质系在势力场中运动，有势力所作的功：1212AVV1122TVTV（2）机械能守恒定律（3）柯尼希定理（质点组对固定点的动能定理）（质点组对固定点的动能定理）icirrrniiicniiicniicirmrrmrmrrmT112 2122121212211122nciiTmrmr63（4）对质心的动能定理 2111112 iniciiniiiinieiniirdrmrdFrdFrmd 0) (111niiicniiicinicirmdrrdmrrdrm

24、 惯性力惯性力的功为的功为0) 1 ()()()(22ciiieiiimdtdmrFFr 求和，得标乘上式各项并对用相对于质心系的位移idir 211112 iniiiinieiniirdFrdFrmd对质心的动能定理表明：对质心的动能定理表明：质点组所受全部外力和内力对质点组所受全部外力和内力对质心的位移的功等于质点组对质心动能的改变质心的位移的功等于质点组对质心动能的改变. 64动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理nieiniiiFdtvmddtpd11)(dtFpdniei1)(或或ieiiFrdtJd)(或或dtFrJdieii)(inieiiniiiniiirdFrd

25、FrmddT111221)()()(65动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理0pninieiiiiiFrrmrdtd11)()()(MdtJdniiiiniieiniiirdFrdFrmd111221)()(66动量动量动量矩动量矩机械能机械能EVT0 MdtJdCJ01nieiFdtpd)(CpCvc67三个动力学基本定理在分量形式下共有上面七个方程：三个动力学基本定理在分量形式下共有上面七个方程： iniiiinieiniiirdFrdFrmd111221)(1)()(1)()(exnieiyieiziniiiiiixMFzFyyzzymdtddtdJ)(1)()(1)()

26、(eynieizieixiniiiiiiyMFxFzzxxzmdtddtdJ)(1)()(1)()(eznieixieiyiniiiiiizMFyFxxyyxmdtddtdJ)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()()(eznieizniizizeynieiyniiyiyexnieixniixixFvmdtddtdpFvmdtddtdpFvmdtddtdpRRR质点组的独立变量通常质点组的独立变量通常大于大于7，所以这些方程不能确定质点系，所以这些方程不能确定质点系中每一质点的运动（刚体除外）中每一质点的运动（刚体除外）;这些方程可以得出质点组运动的总趋向和某些特征，特别是与这些方程可以得出

27、质点组运动的总趋向和某些特征，特别是与质点有关的总趋向和某些特征；质点有关的总趋向和某些特征；若质点组由两个质点组成，若质点组由两个质点组成，特殊情况下特殊情况下利用动力学定理或者相利用动力学定理或者相关守恒律可以求解它们的运动。关守恒律可以求解它们的运动。68例例1 P96两自由质点互相吸引, 力与质量成正比, 与距离平方成反比. 开始时, 两质点静止, 距离为a. 求两质点距离为开始距离一半时, 两质点的速度.r2v1v2m1m02211vmvmammkvmvmammk212222112122121解: 动量守恒方法一：由机械能守恒求解方法一：由机械能守恒求解rmmkV2169211221

28、212,2mmakmvmmakmvdrrmmkrmrmd2212222112121ammkvmvm212222112121方法二：由动能定理求解方法二：由动能定理求解积分得补充例题补充例题2.2和和2.3 P111P112（自学）（自学）70因为太阳并非静止，故开普勒定律是近似的。对太阳对太阳:(1),rrrGMmdtrdMs222对行星：对行星：(2),(22rrrGMmdtrdmp + 式，得式，得710)(psrmrMdtd22而质心：而质心：)(pscrmrMMmr1因此，因此，cvcPc，或或72 质心不受力，作惯性运动。质心不受力，作惯性运动。 (万有引力是内力，质点组动量、能量守

29、恒）万有引力是内力，质点组动量、能量守恒）cvcPc，或或 太阳、行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳、行星绕质心作圆锥曲线运动。证明：证明：令令21rcs,rcp 行星对行星对C的运动学方程为：的运动学方程为：732112121()crk mmrmrrrr 31122rrmMmMk12121()MmmrMrrrrM322222rrmMmMkrM )(GMk2行星对行星对C的运动学方程为：的运动学方程为：74两体问题）太阳坐标系（单体问题）银河坐标系（双体问题75rrrspsprrr（2）（）（1）式，得）式，得rrMmrGMmdtrdMm)(222mMMm)(mMmm1(1),rrrGMmdtrd

30、Ms222(2),(22rrrGMmdtrdmp 222()d rGmrmmMdtrr 7612122322131mMmMaa/10471048)(Mm21110471048：天体力学、量子力学中经常用到，用微天体力学、量子力学中经常用到，用微 扰法（摄动法）求解。扰法（摄动法）求解。77两体两体问题问题单体单体问题问题r c 1v 2v 1vcr2m1m2m1m781mV2m1m1v1v2vr cr 7911Vm22mV1m2m1V 2V c cc c r c 1v 2v 1vcr2m1m2m1m80质心运动的坐标系81r c 1v2v1vcr2m1m2m1m设质量为设质量为m1的质点的质点

31、1以速度以速度v1被另一质量为被另一质量为m2静止质点静止质点2散散此两质点的质心在散射前后都将此两质点的质心在散射前后都将沿沿v1方向以速度方向以速度V运动，运动，在散射前，有在散射前，有221121vmvmVmm)(而而 022vm，所以质心速度，所以质心速度2111mmvmV82211211mmvmVvV1V2V2111220mmvmVVVvV02211VmVm两质点在质心坐标系动量守恒两质点在质心坐标系动量守恒83从从质质心心坐坐标标系系看，看，由由动动量量守守恒恒律，律，两两质质点点散散射射后后必必将将沿沿相相反反方方向向运运动，动，而而质质点点1 散散射射后后的的速速度度与与散散射

32、射前前的的速速度度之之间间的的夹夹角角就就是是841v 1vr从实验室坐标系看从实验室坐标系看, 质点质点1散射后的速度为，它与散射后的速度为，它与 之间之间的夹角为的夹角为. VVv111V Vc r 1vx851V Vc r 1vx1121vmVmm)(cox1rcr2r ym1 m22r 1r r1222110rrrmrmrrmmmr2121 1mrV186由由 （1）、（）、（2）、（）、（3） 可得可得),(:crctg即即r c 1v2v1vcr2m1m2m1m87粒粒子子散散射射情情况况，重重靶靶时时， .crmm211).(7811952mPt ：铂铂,cossintg . 2

33、1221cccrtgmm质质子子散散射射，中中子子时时，)8(,习习题题并并且且即即：212vvrc,cos11vvr当当时，时， 粒子将把所有能量转移给粒子将把所有能量转移给 粒子。粒子。2 r1m2m中子减速剂原理中子减速剂原理88由质点组动量定理（广义的牛顿定律）由质点组动量定理（广义的牛顿定律）nieiniiiFdtvmd11)(Ftumvmvvmmt)(lim089Ftumvmvvmmt)(lim0略去二阶小量，则变质量物体运动的基本方程为：略去二阶小量，则变质量物体运动的基本方程为： m未与未与m合并前或自合并前或自m分出后瞬间的速度分出后瞬间的速度90Fudtdmvmdtd)(F

34、dtvdm若若u=v，则，则若若u=0，则，则Fvmdtd)(91例例(P137) 雨点开始自由下落时质量M，在下落过程中,单位时间内凝结在它上面的水汽质量，略去空气阻力,求雨点在 t 秒后所下落的距离。解解:gtMvtMdtdtMtmu)(,01221CgtMtvtM积分积分0,0,01CvtgtMtMtdtdsv221922222ln2222CtMgMtMgtgsMgMCstln2, 0, 0222tMMtMtgs1ln22222再积分再积分93Fudtdmvmdtd)()(vudtdmFdtvdmrFFdtvdmrFF密歇尔斯基方程 94vuvrdtdm)(vudtdmvdtdmFrr故

35、要增加火箭的推力，应从提高或着手。故要增加火箭的推力，应从提高或着手。rFFdtvdm95中国重型火箭有望中国重型火箭有望2014年立项年立项 具备具备载人登月能力载人登月能力n未来的重型火箭运载能力将达到百吨级，起飞动力达到3000吨级，一次就可完成100吨的空间站发射。 96对对 有有n个质点的质点组，其中任一质点的基本运动方程为：个质点的质点组，其中任一质点的基本运动方程为：iiFpiiirmp设设 niiiprG1求求G对时间的导数，得对时间的导数，得niiiniiiprprdtdG1197niiiniiiprprdtdG11niiirF1niiipr1而右边第二项可变为而右边第二项可

36、变为 niiipr1niiiirrm1niiivm12T2右边第一项可变为右边第一项可变为 iiirmp98因此因此niiiprdtddtdG1)(T2niiirF1对上式求时间的平均值，得对上式求时间的平均值，得)()(abdxxfba 由积分中值定理由积分中值定理 01dtdtdGdtdGT2niiirF1)()(01GG niiirFT1299克劳修斯称克劳修斯称 为为维里维里（也叫（也叫均功均功）。）。 若为周期运动（若为周期运动（为一周期），或所有质点的坐标和动量均为有限为一周期），或所有质点的坐标和动量均为有限值但取值但取足够长时，则上式左边很小，几乎为零。故在这两种情况下，足够长

37、时，则上式左边很小，几乎为零。故在这两种情况下，均有：均有：维里定理（ Virial Theorem ）)()(01GG niiirFT121001. 系统中的耗散力对系统中的耗散力对 无贡献无贡献.（反证法）（反证法）2. 对有心力系统（属保守力系），质点势能：对有心力系统（属保守力系），质点势能：) ( 1为为整整数数narVnVnrrV) 1( VnT)1(21 101思考题n2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？而成，你觉得怎样去求它的质心？ n答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存