中国石油大学(华东)理论力学课件动量矩定理

1、yyyy年M月d日前言前言 动量定理建立了动量变化与力之间的关系，质点系的动量是描述质点系运动状态的运动量，用质心的动量来计算，但是，当一个物体绕着质心转动，其动量恒等于零。因此，用动量来描述物体转动，不能描述其转动的规律。 动量矩是描述机械运动强度的另一个物理量，其与力矩之间存在着一定的物理关系。 动量矩定理正是解决质点系（物体）相对某一轴转动的动力学问题的方法。n质点的动量矩定理n质点系的动量矩定理n刚体对转轴的转动惯量n刚体定轴转动的微分方程23-1 23-1 动量矩动量矩质点的动量矩质点的动量矩其方向：右手螺旋法则其方向：右手螺旋法则vmrvmMLoo)(Nzormvvm oLABab

2、zL质点的动量矩是表征质点绕某固定质点的动量矩是表征质点绕某固定点运动强度的物理量点运动强度的物理量质点的动量矩质点的动量矩sin AB2)(rvmOdmvLo其模为其模为的面积的面积Nzormvvm oLAB投影式投影式abab2)()(odvmmvMLZz的面积的面积即即zzoLL单位单位s /mkg2zLvmrvmMLoo)(质点系的动量矩质点系的动量矩nnnovmrvmrvmrL222111投影式投影式)()()(2211nnzzzzvmMvmMvmML)(iioiiivmMvmr)(iizvmM质点的动量矩定理推导质点的动量矩定理推导由由)(ddddvmtrvmtr对时间求导对时间求

3、导vmrLomvoLFoMorM)(ddddvmrttLo23-2 23-2 质点的动量矩定理质点的动量矩定理对时间求导对时间求导mvoLFoMorMFvmt)(dd因为因为0ddvmvvmtrFrvmrt)(dd得出动量定理微分式)(ddddvmrttLo)(ddddvmtrvmtr写成写成)(ddFMtLoO投影式投影式)(ddFMtLxx)(ddFMtLzz)(ddFMtLyy动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的变化率等于作用力对同一点的矩。Frvmrt)(ddtlgPvlgPmvMLzzdd)(2例例 图示单摆（数学摆），摆锤重为图示单摆（数学摆），摆锤重为，悬线长，悬线长 为为

4、l。如给摆锤一初速度或初加速度，它就在通过。如给摆锤一初速度或初加速度，它就在通过o点的铅垂平面内摆动。点的铅垂平面内摆动。求求 单摆在微小摆动时的运动规律。单摆在微小摆动时的运动规律。解解 运动分析运动分析 yxvoMl摆动摆动 在任意瞬时在任意瞬时，对，对轴的动量矩为轴的动量矩为 坐标系如图所示坐标系如图所示tlgPLzdd2yxvPoMl 在任意瞬时在任意瞬时，对，对轴的力矩为轴的力矩为 N受力分析受力分析 sinPlMz或或 tlgPttLzdddddd2 sinPlMz0sindd22lgt单摆的运动微分方程单摆的运动微分方程yxvPoMlN若摆动很小时若摆动很小时sin0sindd

5、22lgt故有故有0dd22lgt其解为其解为tlgAsin振动周期为振动周期为glT2常数取决于初始条件常数取决于初始条件与初始条件无关与初始条件无关存在的情况0)(FMo)(0vmMLo常矢量常矢量)(mvMLxx常数常数质点的动量矩守恒定理质点的动量矩守恒定理)(ddFMtLoO动量矩定理如果作用于质点的力对某一固定点的矩恒等于零，则质点对该点的动量矩保持不变。即特殊情况0)(FMx例：人造卫星相对于地心参照系的运行轨迹是以地心例：人造卫星相对于地心参照系的运行轨迹是以地心S S为一焦为一焦点的椭圆，我国发射的第一颗卫星，它的近地点高度为点的椭圆，我国发射的第一颗卫星，它的近地点高度为H

6、 Ha a =439km=439km，远地点高度为，远地点高度为H Hc c=2384km=2384km，地球的平均半径为，地球的平均半径为R R =6371km=6371km，已知卫星通过近地点，已知卫星通过近地点a a时的速度为时的速度为v va a=8.109km/s=8.109km/s。求卫星通过轨道上求卫星通过轨道上b b和和c c点的速度。（只考虑地心引力）点的速度。（只考虑地心引力）解：解： 卫星运行的几何参数卫星运行的几何参数长半轴长半轴焦距焦距短半轴短半轴)( 5.7782)2(21kmRHHAoaca)( 5.972)(kmRHACosa)( 5.772122kmCABob

7、卫星所受的外力为地心引力卫星所受的外力为地心引力F F（向心力向心力），该力对力心），该力对力心S S的矩恒等于零，动量矩守恒。的矩恒等于零，动量矩守恒。)()(CAmvBmvCAmvcba动量矩守恒。动量矩守恒。)()(CAmvBmvCAmvcba则由上式可以求出则由上式可以求出)/(152.7skmvBCAvab)/(308.6skmvCACAvac23-3 23-3 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理设质点系有设质点系有n各质点所组成各质点所组成*0ddoioiiMMtL根据动量矩定理有根据动量矩定理有对第对第i个质点个质点外力矩之和为外力矩之和为内力矩之和为内力矩之和为ijnoiM*

8、oiM n个个方程求和方程求和oroiiLttLdddd0*oioiMM得出得出ooiMMooiLLroijn质点系内力的矩质点系内力的矩ooMtLddoiM投影式（对轴的矩）投影式（对轴的矩）xixxMMtLddzizzMMtLddyiyyMMtLdd 0*oiM令令tLidd0*oioiMMooMtLddoiMxixxMMtLddzizzMMtLddyiyyMMtLdd质点系动量矩定理质点系动量矩定理质点系对任一固定点的动量矩矢量和对时间的变质点系对任一固定点的动量矩矢量和对时间的变化率，等于该质点系外力对该点的矩。化率，等于该质点系外力对该点的矩。质点系对任一固定轴的动量质点系对任一固定

9、轴的动量矩矢量和对时间的变化率，矩矢量和对时间的变化率，等于该质点系外力对该轴的等于该质点系外力对该轴的矩。矩。0oioMM若若iiioovmrvmML)(0ddtLo则则故故0 xixMM若若)(iixxvmML0ddtLx则则故故常矢量常矢量常数常数质点系动量矩守恒定理质点系动量矩守恒定理若质点系外力对某一固定点的矩为零，则质点系对若质点系外力对某一固定点的矩为零，则质点系对该点的动量矩矢量和在任意时刻恒等于某常数。该点的动量矩矢量和在任意时刻恒等于某常数。若质点系外力对某一固定轴的矩为零，则质点系对若质点系外力对某一固定轴的矩为零，则质点系对该轴的动量矩矢量和在任意时刻恒等于某常数。该轴

10、的动量矩矢量和在任意时刻恒等于某常数。BAvvv求求 此两重物的加速度和滑轮的角加速度。此两重物的加速度和滑轮的角加速度。解解 例例 半径为半径为，重为，重为的滑轮可绕定轴的滑轮可绕定轴o转动，在转动，在 滑轮上绕一柔软的绳子，其两端个系一重各滑轮上绕一柔软的绳子，其两端个系一重各 为为和和的重物和，且的重物和，且，如图所，如图所 示。设滑轮的质量均匀分布在圆周上（即将示。设滑轮的质量均匀分布在圆周上（即将 滑轮视为圆环）。滑轮视为圆环）。xyovOXAPAvGOYBQBv研究对象研究对象 轮、两物体轮、两物体- -质点系质点系 运动分析运动分析 受力分析受力分析 动量矩动量矩 mvrvrgQ

11、vrgPLzxyovOXAPAvGOYBQBvmvrmvr其中其中 mvrvrgQvrgPLzvrgG所以所以 )(QPrrQrPMz)(GQPgvrLz又因又因 由质点系动量矩定理得由质点系动量矩定理得 )(dd)(QPrtvGQPgrxyovOXAPAvGOYBQBv于是于是 )(dd)(QPrtvGQPgrtvddagGQPQPrargGQPQP求求 不计各杆的质量，求此时系统的角速度。不计各杆的质量，求此时系统的角速度。例例 图示机构，水平杆可绕铅垂轴转动，图示机构，水平杆可绕铅垂轴转动， 其两端各用铰链与杆和相连，杆端其两端各用铰链与杆和相连，杆端 各连接重为的小球和。起初两小球用各

12、连接重为的小球和。起初两小球用 细线相连，使杆和均为铅垂时，系细线相连，使杆和均为铅垂时，系 统绕轴的角速度为统绕轴的角速度为 。如某时此细线拉断。如某时此细线拉断 后，杆和各与铅垂线成角后，杆和各与铅垂线成角 。解解 00zAlaDlaCB研究对象研究对象 质点系质点系 运动分析运动分析 受力分析受力分析 定轴转动定轴转动 P平行于平行于z轴轴 PP绳未拉断时绳未拉断时 质系对质系对z轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒 020122agPaagPLz0zAlaDlaCBPP受力分析受力分析 P平行于平行于z轴轴 绳拉断时绳拉断时 22sin2lagPLz所以所以 0222sin2agPlagP解得

13、解得 022sinlaa显然显然 0iiiiizrvmvmM)()(刚体对刚体对Z Z轴的动量矩轴的动量矩由质点的动量矩由质点的动量矩23-4 23-4 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 . .转动惯量转动惯量oziviriiirrm)()(2iirm)(iizzvmML对刚体对刚体)(2iirm记记2iizrmJ则则zzJL 转动惯量转动惯量工程中表示为工程中表示为2iizrmJzzJL ozivir2zzmJ显然显然mJzz惯性半径惯性半径mrJmzd)(2 对形状简单、质量连续分布的匀质刚对形状简单、质量连续分布的匀质刚体，其转动惯量可直接积分计算体，其转动惯量可直接

14、积分计算平行移轴公式平行移轴公式因为因为2iizrmJhiriMyzxoCxyzoirxiyiz)(22iiiyxm2iizrmJ22)(hyxmiii2222hhyyxmiiii222)()(2)(hmymhyxmiiiiii2)(2mhmyhJcz而而2mhJJzz所以所以0cyzx2/ lzxdCx2/ lAB惯性矩的计算惯性矩的计算 xxlMJllzd2222121MlxxllMJllzd2222xlxlMll2d21222231Ml2241121MlMl 积分法积分法22llMJJzz231Ml平行移轴公式平行移轴公式动量矩为动量矩为3-5 3-5 刚体定轴转动的微分方程刚体定轴转动

15、的微分方程ziF1FnFjFzzJL 由动量矩定理由动量矩定理 zizzMMJ 或或 zizzMMtJdd 在不计摩擦的在不计摩擦的情况下，转轴的约情况下，转轴的约束反力通过转轴，束反力通过转轴，对轴的矩等于零。对轴的矩等于零。zizzMMtJ22ddkg8,m2 . 0,kg2m,121mrml例例 图示复摆，质量均匀，已知图示复摆，质量均匀，已知求求 微小振动周期微小振动周期。解解 sinczmgxM研究对象研究对象 lrox12Comg质点系质点系 运动分析运动分析 受力分析受力分析 cx转动微分方程转动微分方程 sindd22comgxtJlrox12Ccxomg或或 sindd22c

16、omgxtJ0sindd22ocJmgxt因为因为 sin0dd22ocJmgxt所以所以 tJmgxocsin0解为解为ccmgxJT2周期周期lrox12Ccxomgm06. 1212211mmxmxmxcccmgxJT2因为因为22101mkg6667. 031lmJ222222mkg68.11)(21rlmrmJo221mkg35.12oooJJJs165. 22ccmgxJT所以所以I1zMII2z解解, 2/1/,mkg5 . 1,mkg1212221zzkJJ例例 图示齿轮传动轴，由静止开始匀加速转动，已知图示齿轮传动轴，由静止开始匀加速转动，已知求求 转矩转矩M和齿轮间的圆周力

17、和齿轮间的圆周力Ft。运动分析运动分析.mm100,r/min1500s,1011rnt轮轮 It1101其中其中010rad/s5060/215001所以所以21011rad/s5t1M1rFtFI1zMII2z注意到注意到2MrFtF所以所以12122121rrzzk受力分析受力分析rad/s2512k111rFMJt21011rad/s5t分别建立转动微分方程分别建立转动微分方程222rFJt注意到注意到得得krrk/1212代入数据，得代入数据，得MJkJ1221)(111rFMJt1rFtFI1zMII2z2MrFtF222rFJtmN69.2155 . 1)2/1 (12MmN90.581.055.1)2/1(21122222rJkrJFt例例 转动惯量为转动惯量为 J 飞轮自静止开始有直流电动机带飞轮自静止开始有直流电动机带 动。电动机的转矩与转速间的关系（特征曲线）动。电动机的转矩与转速间的关系（特征曲线） 可近似地表示为可近似地表示为 ，式中，式中M0为启为启 动时（动时（ ）的转矩，）的转矩， 为空载时（为空载时（M） 的角速度，两者已知。设飞轮还受到转矩为的角速度，两者已知。设飞轮还受到转矩为M1 的不变阻力偶的作用。的不变阻力偶的作用。求求 飞轮角速度的变