建筑力学课件16

1、建筑力学复习建筑力学复习考试题型与分值考试复习范围考试题型与分值1.选择题 （10题，每题3分）2.简答题 （4题，每题5分）3.计算题 （5题，每题10分）第一章 物体受力基本知识刚体刚体在力的作用下不变形的物体。力力力是物体间相互的机械作用。力的三要素力的三要素力的大小、方向和作用点。平衡平衡指物体相对地面处于静止或匀速直线运动状态。基本概念（公理公理1 1）力的平行四边形法则力的平行四边形法则（公理（公理2 2）二力平衡原理）二力平衡原理（公理（公理3 3）加减平衡力系原理）加减平衡力系原理（推论（推论1 1）力在刚体上的可传性）力在刚体上的可传性（推论（推论2 2）三力平衡汇交定理）三

2、力平衡汇交定理（公理（公理4 4）作用和反作用公理）作用和反作用公理静力学公理约束与约束反力A AB BA AB BFN可用二个正交分力可用二个正交分力 Fx、 Fy表示。表示。B BC CA AABABFNB FNB FNAFNAFyFxFyFxF FN NF FN NFAyFAxAMA固定端支座固定端支座定向支座定向支座物体的受力分析及受力图第二章 平面汇交力系 2.1 平面汇交力系概念 2.3 平面汇交力系平衡 2.4 平面力对点之矩 2.5 平面力偶 0.5FFFF0.5FCAKGHBEDCFFCEFCGFCD平面屋架及节点受力图平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零。平面

3、汇交力系平衡的解析条件220 xyRRR00 xixyiyRFRFOdAF力矩的定义：力矩的定义：力F 的大小乘以该力作用线到某点o 间距离d，并加上适当正负号，称为力F 对o点的矩。简称力矩。力矩的表达式力矩的表达式: 力矩的正负号规定：力矩的正负号规定：当有逆时针转动的趋向时，力矩取正值，反之为负。力矩的单位力矩的单位 FdFMO力沿作用线移动时，对某点的矩不变。力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零。力矩的性质力矩的性质：力偶臂力偶臂力偶中两个力的作用线之间的距离。力偶矩力偶矩力偶中任何一个力的大小与力偶臂d 的乘积，加上适当的正负号。力偶矩正负规定：力偶矩正负规定：若力偶有使物体逆时针旋

4、转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。量纲：量纲：力长度FdmFFm),(F F1F F2d d力偶力偶大小相等的二反向平行力。定义：定义：一群力偶作用于物体的某一平面内，这种力系称为平面力偶系。合成：合成：平面力偶系可合成一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩之和。平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡121+=nniimmmmm平衡：平衡：平面力偶系平衡的充分必要条件是组成力偶系的各力偶矩代数和等于零。0im 第三章 平面一般力系aF1F2F3F4平面一般力系力的平移定理o1o2o1o2FFo1o2FF1F2F1F2do2F1M=Fd(a)(b)(c)(d)结论：力平移到平面内任意一点

5、，并附加一力偶矩可与原作用力等效o1平面一般力系的平衡条件与应用0,0ROFM11100()0nixiniyinOiiFFMF力系中所有的力在x轴投影的代数和为零；力系中所有的力在y轴投影的代数和为零；力系中所有的力对平面内任意一点o之矩的代数和为零平衡方程的一般形式：在直角坐标系内，平面一般力系平衡的解析条件可进一步写为： 平衡方程的其它形式:二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程:三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程:0(0)()0()0ixiyAiBiFFmmFF或()0()0()0AiBiCimmmFFF物体系统的平衡第五章 （材料力学）基本知识与构件变形的基本知识基本任务 构件

6、在荷载作用下能正常工作，应满足：1.1. 强度要求强度要求指材料或构件抵抗破坏的能力。2. 刚度要求刚度要求 指材料或构件抵抗变形的能力。3. 稳定性要求稳定性要求 工程中的压杆、薄壳结构，在压力作用下防止平衡形式突然变化称为稳定失效。基本假设 材料力学研究构件的强度、刚度、稳定性时，对变形固体作了如下假设：1连续性假设连续性假设2均匀性假设均匀性假设3各向同性假设各向同性假设4. 弹性小变形假设弹性小变形假设第六章 轴向拉伸和压缩NFNFNF拉力为正NFNFNF压力为负与构件轴向重合的内力为轴向内力轴向内力，简称轴力轴力。构件内部产生的力称为内力内力。轴向拉压杆截面的内力、轴力图轴向拉压杆截

7、面的内力、轴力图截面法演示FF1、截开； 、代力；2NFNF、平衡。3FFN注意：（2） 在采用截面法之前不允许预先将杆上荷载用一个静力等效的相当力系代替。轴力图轴力图各截面上的轴力随截面位置不同而变化的解析图形。横坐标横坐标表示相应截面的位置截面的位置，纵纵坐标坐标表示相应截面的轴力值截面的轴力值，拉力画在上方，压力画在下方。轴力图轴力图例6-1一杆件所受外力的计算简图如图a) 所示，试求各段截面上的轴力并画轴力图。2kNa)3kN4kN3kN2kNFN1xb)2kNFN2xc)3kN 解：在第段范围内的任意截面处将杆截断，并取左段为脱离体，以杆轴为x轴列平衡方程(图b)：1102+02kN

8、ixNNFFF 在第段范围内的任意截面处将杆截断，并取左段为脱离体，以杆轴为x轴列平衡方程(图c) ：22023+01kNixNNFFF 在第段范围内的任意截面处将杆截断，并取左段为脱离体，以杆轴为x轴列平衡方程(图d) ：33023+4+03kNixNNFFF 2kNd)3kN4kNFN3 若取第段范围内的右段为脱离体，建立x方向平衡方程(图e) ：330-30-3kNixNNFFF3kNFN3xe) 当全杆的轴力都求出来以后，根据各截面上轴力FN 的大小及正负号画出轴力图，如图 f 所示 ：2kNf ) 轴力图1kN3kNx应力：杆件截面上内力的分布集度应力：杆件截面上内力的分布集度AFp

9、平均应力平均应力AFAFpAddlim0应力特征 ：（1）必须明确截面及点的位置；（2）是矢量；（3）单位：Pa(帕)、MPa(兆帕) 等。1MPa=106PaFA1GPa=109Pap正应力正应力切应力切应力p正应力正应力与切应力与切应力1)正应力拉为正，压为负；2) 切应力顺时针为正。FF1122112 2 假设：假设： 平面假设平面假设横截面上各点横截面上各点处仅存在正应力并沿处仅存在正应力并沿截面均匀分布截面均匀分布。：横截面面积：横截面上的轴力AFAFAFNN当有多段轴力时，最大正应力所对应的截当有多段轴力时，最大正应力所对应的截面面-危险截面危险截面。AFmax,NmaxFNFFN

10、F轴向拉压杆横截面上的应力轴向拉压杆横截面上的应力横截面-是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面-是指任意方位的截面。FFFNppcoscos0AFp20coscosp2sin2sin0 p全应力：正应力：切应力：1） =00时， max02）450时， max=0/2 轴向拉压杆斜截面上的应力轴向拉压杆斜截面上的应力20kN20kN40kN40kN332211试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正应力。已知横截面面积A=2103mm2 。20kN40kN36N1 1-3-20 10=10 10 Pa=10MPa2 10FA022 36N3 3-340 10=20 10 Pa=20MPa2

11、10FA应力集中的概念应力集中的概念实际工程中，构件的截面尺寸可能有突变。这时截面上的应力分布不均匀。在截面突变处，局部应力远大于平均应力，这种应力在局部剧应力在局部剧增的现象称为应力集中增的现象称为应力集中。应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。 6.3 轴向拉压杆的强度计算材料丧失承载能力时的应力为表示，。为了考虑随机性因素，予以构件一定的安全储备，规定一个比极限应力小的应力作为工作时允许的最大工作应力，称为许用应力许用应力。以符号表示。 6.3 轴向拉压杆的强度计算轴向拉压杆要满足强度要求，最大工作应力不能超过材料的许用应力： max= FNmax /A

12、其中为许用应力，是极限应力u与安全因素n的比值。= u /n极限应力经试验确定，安全因素是一个大于1的数。例 已知：=160MPa，A1=300mm2 ， A2=140mm2，试校核强度。解:（1）作轴力图（2）校核强度MPa150103001045631AFNABABMPa143101401020632AFNBCBCMPa150maxABMPa160MPa150max故钢杆强度符合要求。kN30kN65kN45kN50ABCD1A1A2ANxkN45kN20kN30轴向拉压杆的变形计算轴向变形FFl1lb1blll1轴向伸长：ll轴向线应变：AN横截面应力：E由胡克定律：EANll 得：得：

13、EA 抗拉（抗压）刚度抗拉（抗压）刚度ABC12F301NF2NFAF30例6-8 已知： E1=200GPa， A1 =127mm2l1=1.55m , E2=70GPa， A2 =101mm2F=9.8kN试确定A点的位移。解：取节点 A 为研究对象030sin0030cos0121FFFFFFNyNNx)kN(97.16)N(k6 .1921压拉NNFF根据胡克定律根据胡克定律所以：所以：mm89. 01012710200155. 1106 .1969311111AElFlNmm4 . 2101011070000. 11097.1669322222AElFlN)(mm4 . 222lAA

14、x)(mm94. 530tan30sin2154432llAAAAAAy30A1A2A3A4A5A222232.45.946.4mmAxyAAkN30100kN10ABCD100300例6-9已知： AAB = ABC =500mm2ACD =200mm2，E=200GPa。求：杆的总伸长。NFxKN20KN10解：（1）作轴力图（2）计算变形CDBCABADllllCDCDNCDBCBCNBCABABNABEAlFEAlFEAlFmm015. 0mm1020010100101010500101001010105001010010201020016336336339epabo图1.1.弹性阶段

15、弹性阶段EP比例极限比例极限e弹性极限弹性极限它是胡克定律的适用范围没有残余变形的范围E 弹性模量弹性模量胡克定律胡克定律材料在拉伸时的力学性能bscedfdf gh1P2. 屈服阶段epabo图s屈服极限是低碳钢的重要强度指标3. 强化阶段b强度极限是低碳钢的重要强度指标卸载后，重新加载，加载路线沿卸载路线，这样，材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象叫做冷作硬化冷作硬化.4. 颈缩阶段延伸率：延伸率：%1001lll截面收缩率：截面收缩率：%1001AAA是低碳钢的塑性指标bscedfdf gh1Pepabo图第七章剪切与挤压 一般地，杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相距很近并

16、垂直杆轴的外力作用，两力间的横截面将沿力的方向发生相对错动，这种变形称为剪切变剪切变形形。发生相对错动的截面称为剪切面剪切面。F剪切面剪切面F改变的角度 称为切应变或角应变。单剪切：单剪切：只有一个剪切面。只有一个剪切面。剪切面剪切面双剪切：双剪切：有两个剪切面。有两个剪切面。剪切面剪切面剪切面剪切面挤压的概念挤压的概念连接件受剪切时，两构件接触面上相互压紧，产生局部压缩的现象，称为挤压挤压。挤压力与挤压面相互垂直。局部受压的表面称为挤压面挤压面。作用在挤压面上的压力称为挤压力挤压力。 FF压溃压溃(塑性变形塑性变形)步骤：步骤： （1）根据构件的受力，确定剪切面。 （4）建立剪切强度条件。

17、（2）利用截面法求出剪切面上的剪力 。 QF（3）计算剪切面上的切应力。 AQ AQ剪切的强度计算剪切的强度计算剪切的实用计算 挤压面为平面，实际挤压面就是该面挤压面为平面，实际挤压面就是该面挤压面为弧面，取受力面对半径的投影面挤压面为弧面，取受力面对半径的投影面挤压的实用计算bsbsbsAPtdPbs挤压力挤压力有效挤压面积有效挤压面积Abs=td假设挤压应力在挤压面上是均匀分布的。挤压强度条件：挤压强度条件： bsbsbsbsAPmax)(（许用挤压应力）（许用挤压应力）挤压面积：挤压面在垂直于挤压力的平面上的正投影挤压面积：挤压面在垂直于挤压力的平面上的正投影FF例例已知已知：d=20m

18、m t =8mm ，F =15KN =30MPa试校核插销的剪切强度试校核插销的剪切强度t 5 . 1tFFdtQQ解：取插销为研究对象解：取插销为研究对象2/020FQFQFx23)02. 0(421015AQMPa9 .23故：插销满足剪切强度条件故：插销满足剪切强度条件解：铆钉单独取出，如图 (a),分三段，上下相同： mm10mm16mm10,MPa320MPa100dtbs校核铆钉的强度。尺寸如图，。许用挤压应力剪应力钉的许用覆板通过铆钉相连。铆两块钢板由上、下两块d=10tP=10KNP例(a)P2P2P考虑上下段：考虑上下段：考虑中段：考虑中段：MPa5022MPa7 .6324

19、222 dPdPAQdPdPAQbsbss62.5MPabsPdt 50MPaP2P2P例 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成，铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其=80MPa，bs=200MPa，=120MPa，试校核此接头部分的强度。分析：可能的破坏形式有：分析：可能的破坏形式有：（1 1）铆钉剪切破坏；）铆钉剪切破坏；（2 2）铆钉或板的挤压破坏）铆钉或板的挤压破坏（3 3）钢板拉断。）钢板拉断。解：（解：（1）铆钉剪切强度）铆钉剪切强度（当各铆钉直径相等，且外力作用线通（当各铆钉直径相等，且外力作用线通过铆钉组的截面形心时，可认为各铆钉过铆钉组的截面形心时，可认为各

20、铆钉受力相等）受力相等）各铆钉受到剪力：各铆钉受到剪力：Fs=P/4=17.5kN各铆钉受剪面积：各铆钉受剪面积：A= d2/4=254mm2=Fs/ A =68.8MPa铆钉剪切强度符合要求。铆钉剪切强度符合要求。（2）铆钉或板的挤压强度）铆钉或板的挤压强度挤压力挤压力Pb=P/4=17.5kN，挤压计算面积，挤压计算面积Abs= td=180mm2，bs= Pb /Abs=97.2MPabs，铆钉挤压强度符合要求铆钉挤压强度符合要求（3）板的拉伸强度）板的拉伸强度作板的轴力图。作板的轴力图。可能的危险横截面可能的危险横截面在在m处或处或n处，如图处，如图在在m处截面：处截面：Am= t (

21、80d)=620mm2 ，Fm= P=70kN， m= Fm / Am =113MPa。在在n处截面：处截面： An= t (802d)=440mm2 , Fn= 3P/4=52.5kN， n= Fn / An =119MPa。 max=119MPa 1,max，但有2,maxt=80MPa，故该轴满足强度条件。+2214ABCMAMBMC 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有：pGITl杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角为：llxGIT0pdd等直圆杆扭转时的刚度条件扭转变形MeADB CMe刚度条件式中的许可单位长度扭转角的常用单位是()/m。此时，

22、等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴2 ()/m。max180pmaxGIT 例例 某汽车的主传动钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转=1.98KNm,材料的许用剪应力 = 100MPa，剪变模量为 G = 80GPa ，轴的许可扭角 = 2 /m 。试校核轴的强度和刚度。DdtMMDdtMM解：轴的扭矩等于轴传递的转矩KNmmT98. 1轴的内，外径之比934. 02DtDDdmmDIP45441082. 732)1 (341006.22mmDIWPt由强度条件 1 .96maxmaxMPaWTt由刚度条件18081.

23、10maxmaxmGITP第9章 梁的内力9.3 梁的内力及内力图梁的内力及内力图9.4 弯矩、剪力与荷载集度间的关系弯矩、剪力与荷载集度间的关系9.5 叠加法画剪力和弯矩图叠加法画剪力和弯矩图 剪力剪力平行于横截面的内力。平行于横截面的内力。正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负为负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMQQQQ 弯矩弯矩绕截面转动的内力。绕截面转动的内力。 正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩

24、为正，反之为负负(梁上压下拉的弯矩为正梁上压下拉的弯矩为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负剪力与弯矩及其正负号规定剪力与弯矩及其正负号规定利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下：（1） 计算支座反力。（2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一段为研究对象。（3） 画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正方向假设。（4） 建立平衡方程，求解剪力和弯矩。用截面法求指定截面的剪力和弯矩用截面法求指定截面的剪力和弯矩 例例 外伸梁受载荷作用如图 (a)所示。图中截面1-1是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的剪力和弯矩。解：

25、(1) 求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图 (a)。由平衡方程求解支座反力。mB(F)=0，RCa-P2a-Me=0RC=(2Pa+Me)/a=(2Pa+Pa)/a=3PmC(F)=0，-RBa-Pa-Me=0RB=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a=-2P(2) 求截面1-1的内力用1-1截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受力图如图 (b)。由平衡方程求Q1和M1Fy=0，RB-Q1=0Q1=RB=-2Pm1(F)= 0，M1-Me=0M1=Me=Pa计算结果Q1为负，表明Q1实际方向与图示假设方向相反，故为负剪力；M1为正，表明M1实际方向与图示假设方向相同，故为正弯矩。(

26、3) 求截面2-2的内力用2-2截面将梁假想地截开，取右段为研究对象，受力图如图 (c)。 由平衡方程求Q2和M2Fy=0，Q2-P=0Q2=P(正剪力)m2(F)= 0，-M2-Pa/2=0M2=-Pa/2 (负弯矩)剪力方程和弯矩方程为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图剪力图和弯矩图弯矩图。剪力图和弯矩图的画法：用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧弯矩图画在梁

27、受拉的一侧。 剪力图和弯矩图M(x)图为一开口向上的抛物线.FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.xFs(x)Oq(x)、Fs(x)图、图、 M(x)图三者间的关系图三者间的关系1、梁上有向下的均布荷载，即、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) 0 时，向右下方倾斜.当 FS(x) 0 时，向右上方倾斜.xOM(x)Sd( )0dF xxSd( )( )dM xF xx22d( )0dM xxOM(x)x无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC向下倾斜的直线向下倾斜的直线下凸的二次抛物线下凸的二次抛物线在在FS=0的截面的截面水平直线水平直线一般斜直线一般斜直线或或在在C处有转折处有转折在

28、剪力突变在剪力突变的截面的截面在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图剪力图的特征的特征弯矩图弯矩图的特征的特征Mmax所在所在截面的可截面的可能位置能位置表表 1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q0向下的均布荷载向下的均布荷载在在C处有突变处有突变F在在C处有突变处有突变m在在C处无变化处无变化C端点截面端点截面(1) 求支座反力以梁整体为研究对象，由静力平衡方程求出支座反力。(2) 将梁分段以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。(3) 确定控制截面 计算各控制截面上的

29、剪力值和弯矩值(4) 画剪力图和弯矩图利用剪力图和弯矩图的规律，判断形状，画出整个全梁的剪力或弯矩图。利用内力图的规律作剪力图和弯矩图的步骤利用内力图的规律作剪力图和弯矩图的步骤 例例 悬臂梁如图(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 例例 简支梁如图 (a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。(a) 例例 简支梁受集中力P作用如图 (a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。(b)如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2，则Qmax=P/2Mmax=Pl/4例 简支梁受集中力偶m作用如图 (a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。根据叠加原理来绘制内力图的

30、方法称为叠加法。 用叠加法画弯矩图，绘图时先把作用在梁上的复杂的荷载分成几组简单的荷载，分别作出各简单荷载单独作用下的弯矩图，然后将它们相应的纵坐标叠加，就得到梁在复杂荷载作用下的弯矩图。叠加法画弯矩图叠加法画弯矩图ACBFlm41F2l2lCABF2l2lACFlm41l+Fl41-Fl41+-Fl81Fl41例例例 简支梁受荷载P和q作用如图 (a)所示。试用叠加法画梁的弯矩图。解：将作用在梁上的荷载分为P与q两组。先分别画出P、q单独作用下的弯矩图，如图 (b)、(c)所示。然后将这两个弯矩图的相应纵坐标叠加起来，如图 (a)所示，就是简支梁在集中荷载P和均布荷载q共同作用下的弯矩图。第

31、十章第十章 截面几截面几何性质何性质10.1 形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系10.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径10.3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系yzOdAzy静矩静矩形心形心组合图形的形心、静矩及其相互关系组合图形的形心、静矩及其相互关系例例 求形心位置求形心位置解解：建立参考坐标系建立参考坐标系oyzyz0zs802012010201202211ccyzAzAs3310216mm0zcSyA3216 1045120202ycSZmmA2dzAIyA

32、AArId2PAyzAyIzd2dyAIzA图形对图形对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 y轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 y z 轴的轴的惯性积惯性积图形对图形对 O 点的点的极惯性矩极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩的计算方法惯性矩、惯性积、极惯性矩的计算方法yzOdAzyrAAIiyyAIizz图形对图形对 y 轴的轴的惯性半径惯性半径图形对图形对 z 轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径的计算方法惯性半径的计算方法yzOdAzy圆截面直径圆截面直径d 求求：Iy， IzdrdrdACzy42/64/ 44yyIddiAd矩形截面矩形截面b h，求求：Iy，Iz ，iy，izCzybh

33、y dydAzdzdA322212hhybhIz bdz322212bbzhbIy hdy3/1236yyIbhhiAbh3/1236zzIb hbiAbhab思 考 题bzhczy已知已知zI，求，求 336zcbhI2zzcIIa A由平行轴定理得：由平行轴定理得：其中，a为形心到z轴的距离，A为三角形的面积。332()363212bhhbhbh 例例 求右图对形心轴的惯性矩求右图对形心轴的惯性矩解：解：4633211096. 212201201212020mmIIIzzz21yyyIII3322641 111 11202012020353.02 101212ybhIAamm3322642

34、222220 12012020(6025)5.82 101212yb hIA amm461084. 8mmIyzy112212CCCAzA zzAAy(yc, zc)20 120 13020 120609520 12020Cy 第十一章第十一章 梁的应力和强度计算梁的应力和强度计算 PPaaCD+-PP+Pa简支梁AB在 CD 段的特点：其任一横截面上剪力等于零，而弯矩为常量。若梁在某段内各横截面的 弯矩为常量 ，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(pure bending)。纯弯曲（pure bending)AB纯弯曲时横截面上的正应力 中性层中性轴截面对称轴 横截面的转动将使梁的凹边的纵

35、向线段缩短，凸边的纵向线段伸长，由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段无长度改变。此层称为 中性层 (Neutral surface)。中性层与横截面的交线称为 中性轴( neutral axis).M 横截面上的弯矩纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式y 求应力的点到中性轴的距离式中:横截面对中性轴的惯性IzzIyM.yymaxymaxZCWZ称为抗弯截面系数IyMzmaxmaxyIWZZmax WMZmax最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处矩形截面实心圆截面W2123hbh 62bh zI 2h空心圆截面2dzIW 2644dd 323d )1(3243 DWDd bhzyzd

36、yzDdymaxzIWy 1)当中性轴为对称轴时zy应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式ycmaxytmax2)对于中性轴不是对称轴的横截面 (The cross sections unsymmetrical about the neutral axis):求得相应的最大正应力ycmaxytmaxMzIMyIMyZttmaxmax IMyZccmaxmax zyycmaxytmaxMmaxcmaxt实验结果证明，当跨高比l/h5，即使横截面存在剪力，纯弯公式仍然适用纯弯曲理论在横力弯曲中的推广及梁的正应力强度条件 正应力强度条件（strength conditio

37、n)： 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力maxmax WM强度条件的应用(application of strength condition)max MW (2)设计截面(1) 强度校核max WMmax WM (3)确定许可核载 ct对于铸铁等 脆性材料 (brittle materials)制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）且梁横截面的中性轴 (neutral axis) 一般也不是对称轴，所以梁的maxmaxct要求分别不超过材料的 许用拉应力(allowable tensile stress) 和 许用压应力 (allowable compressive st

38、ress) 。maxttccmax80y1y22020120z例：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为C =160MPa。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。 F1=9KNF2=4KNAcBD1m1m1m解：KN.RA52 KN.RB510 80y1y22020120zF1=9KNF2=4KNRARBACBD1m1m1m80y1y22020120z最大正弯矩在截面C上mKNMC.52 最大负弯矩在截面B上mKNMB.4 +-F1=9KNF2=4KNRARBAcBD1m1m1mCB2

39、.5KN4KN80y1y22020120z B 截面1max27.2BttzMPayMI2max46.2BcczMPayMIF1=9KNF2=4KNRARBAcBD1m1m1m+-2.5KNm4KNm80y1y22020120zC截面8 .282maxtzctMPaIyMF1=9KNF2=4KNRARBAcBD1m1m1m+-CB2.5KNm4KNm矩形截面梁横截面上的切应力弯曲时的切应力和强度计算切应力的计算公式亦为：其中Fs为截面剪力；S*z 为y点以下的面积对中性轴之静矩；zsbISF15 . 123maxAFs)4(222yhIFzs矩2、几种常见截面的最大弯曲切应力工字钢截面：Af

40、腹板的面积。;Af Qmax圆截面：3434maxAQ 薄壁圆环：22maxAFsT形截面：SzzF SI bbz第十二章第十二章 梁的变形梁的变形 12.1 梁截面的挠度和转角12.2 梁的挠曲线近似微分方程12.3 积分法求梁的变形12.4 叠加法求梁的变形 挠度挠度(w): 横截面形心横截面形心(即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于x轴方向的轴方向的线位移线位移, 称为该截面的称为该截面的挠度挠度(Deflection) 。 取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为梁变形前的轴线为x轴轴, 横横截面的铅垂对称轴为截面的铅垂对称轴为y轴轴, xy平面为纵向对称

41、平面。平面为纵向对称平面。梁截面的挠度和转角 x yBABCC1挠度w x yBABCC1 转角 转角转角( ): 横截面绕中性轴横截面绕中性轴(即即Z轴轴)转过的角度（或角位移）转过的角度（或角位移）, 称为该截面的称为该截面的转角转角(Slope rotation angle) 。挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中, 向上为正向上为正, 向下为负向下为负。转角：转角： 逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为负。顺时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F挠度和转角符号与选择的坐标系有关。挠度和转角符号与选择的坐标系有关。挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中,

42、向下为正向下为正, 向上为负向上为负。转角：转角：顺时针转向为正顺时针转向为正,逆时针转向为负。逆时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F挠曲线方程挠曲线方程: 式中式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该为该点的挠度。点的挠度。( )wf xyxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)挠曲线挠曲线F( ) M xwEI 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。再积分一次再积分一次, 得得挠度方程挠度方程上式积分一次得上式积分一次得转角方程转角方程 若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量, 上式上

43、式可改写成可改写成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：积分常数式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的可通过梁挠曲线的边界条件边界条件和和变形的变形的连续性条件连续性条件来确定。来确定。 9.3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 连续性条件连续性条件(Continuity condition)在挠曲线的任一点上在挠曲线的任一点上, 有唯有唯一的挠度和转角。如一的挠度和转角。如:不可能不可能CCww CC c例例 ：图示

44、一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁的悬臂梁, 在自由端受一集中在自由端受一集中力力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最并确定其最大挠度大挠度wmax和最大转角和最大转角 max 。ABlxxy解：解：以梁左端以梁左端A为原点为原点, 取直取直角坐标系角坐标系, 令令x轴向右轴向右, y轴向上轴向上为正。为正。 (1) 列弯矩方程列弯矩方程( )()M xF lxFlFx F(2) 列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分 ( )EIwM xFlFx 21(a)2FxEIwFlxC 2312(b)26FlxFxEIwC xC (3

45、) 确定积分常数确定积分常数 代入式代入式(a)和和(b), 得：得： C10, C20ABlxxyF在在x0处处, w0 在在x0处处, 0 ( )EIwM xFlFx ABlxxyF22FlxFxwEIEI 2326FlxFxwEIEI (4) 建立转角方程和挠度方程建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数将求得的积分常数C1和和C2代入式代入式(a)和和(b), 得梁的转角得梁的转角方程和挠度方程分别为：方程和挠度方程分别为： (5) 求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度 自由端自由端B处的转角和挠度绝对值最大。处的转角和挠度绝对值最大。 wmax max2max2x lFlEI 3

46、max3x lFlwwEI 所得的挠度为负值所得的挠度为负值, 说明说明B点向下移动点向下移动; 转角为负值转角为负值, 说明横说明横截面截面B沿顺时针转向转动。沿顺时针转向转动。 xlA ABqFAFB例例: 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁, 在全梁上受集度为在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并并确定其最大挠度确定其最大挠度 wmax和最大转角和最大转角 max 。xy解解: : 由对称性可知由对称性可知, , 梁的梁的两个支反力为两个支反力为2ABqlFF梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为

47、梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为221( )() (a)222qlqM xxqxlxx2( )()(b)2qEIwM xlxx 2( )()(b)2qEIwM xlxx 231()(c)223q lxxEIwC 3412()(d)2612q lxxEIwC xC积分两次积分两次xlABqFAFBxy231()223q lxxEIwC 3412()2612q lxxEIwC xC简支梁的边界条件是简支梁的边界条件是在在x0处处, w0 在在xl处处, w0 代入代入(c)、(d)式确定出积分常数式确定出积分常数20C 3124qlC 323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwl

48、lxxEI xlABqFAFBxy323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwllxxEI ABqxy A Bwmaxl/23max24ABqlEI 由对称性可知由对称性可知, 在两在两端支座端支座x0和和xl处处, 转角转角的绝对值相等且都是最大的绝对值相等且都是最大值。值。4max25|384lxqlwwEI 在在梁跨中点梁跨中点l/2处处有有最大最大挠度值挠度值。 条件条件：由于梁的变形微小由于梁的变形微小, 且且梁的材料在线弹性范围梁的材料在线弹性范围内工作内工作, 因而因而, 梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。性关系。

49、12.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角 在这种情况下在这种情况下, 梁在几项载荷梁在几项载荷 (如集中力、集中力偶或分布如集中力、集中力偶或分布力力)同时作用下某一横截面的挠度和转角同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就分别等于每项载荷就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。此即为。此即为叠加原理叠加原理。按叠加原按叠加原理 求理 求 A 点点转 角 和转 角 和 C点挠度。点挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图qqPP=+AAABBB Caa查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。EIPawPC63EIPaPA42EIqawqC2454E

50、IqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqawC624534m ax ww max一、梁的刚度条件：一、梁的刚度条件：、校核刚度：、校核刚度：、设计载荷。、设计载荷。 maxm ax ww 其中其中 称为许用转角；称为许用转角；w 称为许用挠度。通常称为许用挠度。通常依此条依此条件进行如下三种刚度计算：件进行如下三种刚度计算：、设计截面尺寸；设计截面尺寸；9-5 梁的刚度计算梁的刚度计算第十三章 组合变形的强度计算13.1 组合变形的概念和强度计算的思路13.2 斜弯曲13.3 偏心压缩 杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本

51、变形基本变形的组合。1.组合变形概念：2. 组合变形的形式主要有： 斜弯曲 偏心压缩 拉(压)弯组合 弯扭组合 拉(压)弯扭组合等形式3.解组合变形问题的一般步骤 1）外力分析将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系 2）内力分析 分别做出各基本变形的内力图,确定构件危险截面位置及其相应内力分量,按叠加原理画出危险点的应力状态图. 4）强度分析根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。3）应力分析 按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置。当横向外力作用在梁的纵向对称平面内时，梁变形后的轴线所在平面与外力作用平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲平面

52、弯曲。当横向外力通过形心，但不通过主惯性轴时,则弯曲变形后,挠曲线不在外力所在的纵向平面内，这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲。zFy斜弯曲斜弯曲zFyF平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲zFzzyFzFxz平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲xy平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲yyyyFzFzyC(y,z)yyCIzM1zzCIyM2所以所以zzyyCCCIyMIzMzy21),(zyC(y,z)求任意截面求任意截面任意一点的任意一点的正应力：正应力：中性轴中性轴中性轴中性轴yMzM讨论：矩形截面危险点的应力讨论：矩形截面危险点的应力yzhb FyyzzWMWM maxt yyzzWMWM max c 例图示矩

53、形截面梁，截面宽度b90mm，高度h180mm。梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂力F2 。若已知F1800N，F21650N， L1m，试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。LFMy21LFMz2zzyyWMWMmax12226 26FLF Lhbbh MPa979. 9maxMPa979. 9max2F1FxyLLzFFeFFeM FFeM FFeM NFFeM ZNIFeyAF 单向偏心压缩时，距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力，而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧，其值可能是拉应力，也可能是压应力。ABAByze偏心压缩偏心压缩1. 单向偏心压缩单向偏心压

54、缩=FNFFeM FeM yzFzeyeyzFyzFeM zyFeM 1.1.外力分析外力分析2.2.内力分析内力分析FFNzyFeM yzFeM 3.3.应力计算应力计算zyE,zzyyNIyMIzMAFzzyyNAWMWMAFzzyyNBWMWMAFzzyyNCWMWMAFzzyyNDWMWMAF2. 2. 双向偏心压缩双向偏心压缩 例例 横截面为正方形的短柱承受荷载F，若在短柱中开一切槽，其最小截面积为原面积的一半，如图所示。试问切槽后，柱内最大压应力是原来的几倍？ 解：解：切槽前的压应力24NFAa 切槽后最大压应力应为偏心压缩情况下截面边缘的最大压应力。max22yyMNFAWa 两

55、者的比值是：2max2284FaFa第十四章第十四章 压杆稳定压杆稳定14.2 压杆临界压力的欧拉公式压杆临界压力的欧拉公式14.3 欧拉公式的适应范围欧拉公式的适应范围 经验公式经验公式14.4 压杆的稳定校核压杆的稳定校核w1. 两端铰支细长杆的临界载荷两端铰支细长杆的临界载荷欧拉公式欧拉公式压杆临界压力的欧拉公式压杆临界压力的欧拉公式crFlEIF 22 此公式的应用条件：此公式的应用条件：1.理想压杆理想压杆2.线弹性范围内线弹性范围内3.两端为铰支座两端为铰支座一端自由，一端固定一端自由，一端固定F一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定F两端均固定两端均固定F2. 两端非铰支细长压杆的

56、临界载荷两端非铰支细长压杆的临界载荷3). 细长压杆临界载荷的一般公式细长压杆临界载荷的一般公式22)( lEIFcr l有效长度或相当长度有效长度或相当长度 长度因数，代表支承方式对长度因数，代表支承方式对临界载荷的影响。临界载荷的影响。压杆的约束条件压杆的约束条件长度因数长度因数 两端铰支两端铰支一端固定，一端自由一端固定，一端自由两端固定两端固定一端固定，一端铰支一端固定，一端铰支120.50.7（1）大柔度杆大柔度杆（欧拉公式适用）（欧拉公式适用） P22Ecr（2）中柔度杆中柔度杆（经验公式）（经验公式）0Pbacr0sab（3）小柔度杆小柔度杆（强度失效）（强度失效）scr 压杆的

57、三种类型：压杆的三种类型：0pPE2li柔度柔度iL cr 临界应力总图临界应力总图 bacrP cu p 0 22 Ecr 小小柔柔度度压压杆杆中中柔柔度度压压杆杆大大柔柔度度压压杆杆杆件长度杆件长度l长度系数长度系数：由杆由杆件约束情况确定件约束情况确定惯性半径惯性半径 ：根据截面形状确定根据截面形状确定/iI Alicrscrab22crE00Pp2ppE0sabcrcrFA 临界载荷的计算临界载荷的计算100 p 例例 两根直径均为两根直径均为d的压杆，材料都是的压杆，材料都是Q235钢，但二者长钢，但二者长度和约束条件各不相同。度和约束条件各不相同。1.比较两根压杆的柔度比较两根压杆

58、的柔度2. 已知：已知：d =160 mm，E =200GPa , 求：两根杆的临界载荷。求：两根杆的临界载荷。il 44/64/24dddAIi 1. 比较两杆柔度比较两杆柔度dmdma204/51 dmdmb184/95 . 0 显然显然ba 2. 计算两杆临界载荷计算两杆临界载荷1251602000020 dma 5 .1121601800018 dmb 100 p 两杆都是大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。两杆都是大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。22 Ecr AFcrcr 22)( lEIFcr 或或1、压杆稳定条件ststcrFnFF 稳定安全系数稳定安全系数临界载荷临界载荷稳定许

59、用压力稳定许用压力轴向载荷轴向载荷压杆的稳定校核压杆的稳定校核解解： 1、求、求AB杆的内力杆的内力以以CD梁为研究对象，有梁为研究对象，有0CM150030sin2000NFF26.7kNNF 得 例例 已知托架已知托架D处承受载荷处承受载荷F10KN。AB杆的外径杆的外径D50mm，内径，内径d=40mm，材料为，材料为Q235钢，钢，E=200GPa。p100， 060，稳定安全系数，稳定安全系数nst=3。试校核试校核AB杆的稳定性。杆的稳定性。2、求、求AB杆的柔度，并判断压杆类型杆的柔度，并判断压杆类型il1m732. 130cos5 . 1l26.7kNNF mmdDdDdDAI

60、i164464222244P1081610732. 113得AB为大柔度杆。为大柔度杆。kN11822lEIFcrNcrFFn 342. 46 .26118stnAB 杆满足稳定性要求。杆满足稳定性要求。3、稳定性校核、稳定性校核 因为因为 AB杆为大柔度杆，则可用欧拉公式计算其临界杆为大柔度杆，则可用欧拉公式计算其临界载荷。即载荷。即则则第第15章章 结构的计算简图结构的计算简图15.3 杆系结构的分类杆系结构的分类（1） 梁梁是一种受弯构件，轴线常为一直线，可以是单跨梁，也可以是多跨连续梁，其支座可以是铰支座、可动铰支座，也可以是固定支座。如图 (a)为单跨梁，图 (b)为多跨连续梁。 平