二元函数微积分——偏导数和全微分

1、推广推广一元函数微分学一元函数微分学 二元函数微分学二元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同二元函数微积分二元函数微积分 一、区域一、区域二、二元函数的概念二、二元函数的概念二元函数的基本概念二元函数的基本概念 区域区域平面上满足某个条件的一切点构平面上满足某个条件的一切点构成的集合。成的集合。平面点集：平面点集：平面区域：平面区域：由平面上一条或几条曲线所围成由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，的部分平面点集称为平面区域，通常记作通常记作D。0 xy1边界边界闭区域闭区域开区域开区域0 xy)(1xy)(2xyab0 xycd)(1yx)(2yxX

2、型区域Y型区域常见区域ax bx )(1xy)(2xy由四条曲线围成cy dy 由四条曲线围成)(1yx)(2yx邻域邻域:0 xy1),(000yxP二元函数的概念二元函数的概念一元函数一元函数二元函数二元函数定义域定义域自变量个数自变量个数一个：一个：x两个：两个：yx,在数轴上讨论在数轴上讨论（区间）（区间）在平面上讨论在平面上讨论（区域）（区域）一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏导数),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;

3、),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数x),(; ),(00100yxfyxfx;),(00yxxzxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y或 y 偏导数存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如,

4、三元函数三元函数 u = f (x , y , z) 在点在点 (x , y , z) 处对处对 x 的的 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出)223yyxxz解：解：xz)2, 1 (xz在点(1 , 2) 处的偏导数.,32yxyzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213 由偏导数的定义可以看出，要求二元函数对某个自变量的偏导数，只需将另一个自变量看做常量，然后利用一元函数求导公式和求导法则即可。，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏

5、导数 . 解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry偏导数记号是一个求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,练练 习习设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是则称它们是z = f ( x , y ) 的的

6、二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxz解：解： yxxyxeyxexz)(yxyyxeyxeyz)()(22xzxxz)(2xzyyxz)(2yzxxyz)(22yzyyzyxxyxeyxe)(yxyyxeyxe)(yxxyxeyxe)(yxyyxeyxe)(222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrz