双曲线的简单几何性质时双曲线的简单几何性质学习教案

1、双曲线的简单双曲线的简单(jindn)几何性质时双曲线几何性质时双曲线的简单的简单(jindn)几何性质几何性质第一页，共23页。 我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，其形状就像照片(zhopin)中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”是怎样建成的呢？冷却(lngqu)通风塔第1页/共23页第二页，共23页。如果(rgu)你是设计师你将如何设计？第2页/共23页第三页，共23页。1.会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察 其图象有何几何特征.(重点)2.会类比(lib)椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取

2、双曲线的简单几何性质，并能初步应用.（难点）第3页/共23页第四页，共23页。探究(tnji)点 双曲线的简单几何性质2222100(,)xyabab回忆一下双曲线的标准(biozhn)方程： 如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法(fngf)来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？第4页/共23页第五页，共23页。1.1.范围范围(fnwi)(fnwi)221因因为为， xaxyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22xa 即即，所所以以或或 .xaxa1A2A2.2.对称性对称性 以-x代x方程(fngchng)不变，故图象关于 轴对称；以-y代y方程不变，

3、故图象(t xin)关于 轴对称；以-x代x且以-y代y方程不变，故图象关于 对称yx原点y的范围是什么？轴对称中心对称yR第5页/共23页第六页，共23页。3.顶点(dngdin)（1）令y=0，得x=a,则双曲线与x轴的两个交点为A1(-a,0),A2(a,0)，我们(w men)把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但我们(w men)也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上.（2）如图，线段(xindun)A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做双曲线的半实轴长；线段(xindun)B1B2叫做双曲线的虚轴，它的

4、长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长.xyo1B2B1A2AF2F1ab第6页/共23页第七页，共23页。4.渐近线 下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐(zhjin)靠拢.方案(fng n)2：考查同横坐标的两点间的距离 .MN方案1：考查点到直线的距离 .MQyB2A1A2 B1 xOb aM NQ 由双曲线的对称性知，我们只需证明(zhngmng)第一象限的部分即可.2222100(,)xyabab第7页/共23页第八页，共23页。22 ( , ),()(. )bM x yyxaxaabbN xYyxYxaa设设是是双双曲曲线线上上面面的的点点 则则，是是直直线线上上有有

5、相相同同横横坐坐标标的的点点，则则XMYOQN(x,y)(x,Y)2221因因为为 ，( )bbabyxaxxYaaxa22所所以以 ()bMNYyxxaa222222()().bxxaxxaaxxa 22ab.xxa第8页/共23页第九页，共23页。00.bMQMyxMQMNxaMNxMNMQ因因为为是是点点到到直直线线的的距距离离，且且当当 逐逐渐渐增增大大时时，逐逐渐渐减减小小， 无无限限增增大大，接接近近于于 ，也也接接近近于于22221.xybyxaba 对对于于双双曲曲线线，直直线线叫叫做做双双曲曲线线的的渐渐近近线线注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定(judng)着双曲线张

6、口的开阔与否.22221yxab对对于于双双曲曲线线，渐渐近近线线方方程程是是什什么么呢呢？ayxb 第9页/共23页第十页，共23页。222222212 , .xyababxyaa在在方方程程中中，如如果果，那那么么双双曲曲线线的的方方程程为为它它的的实实轴轴和和虚虚都都等等于于长长轴轴 , . xa yayx 这这时时，四四条条直直线线围围成成正正方方形形，渐渐近近线线方方程程为为它它们们互互相相垂垂直直，并并且且平平分分双双曲曲线线实实轴轴和和虚虚轴轴所所成成的的角角实轴和虚轴等长的双曲线叫做(jiozu)等轴双曲线.第10页/共23页第十一页，共23页。5.离心率(xn l)：01 ,

7、 .,.cacacea与与椭椭圆圆类类似似 双双曲曲线线的的焦焦距距与与实实轴轴长长的的比比叫叫做做因因为为所所以以双双曲曲线线的的离离心心率率双曲线的离心率双曲线的离心率思考：椭圆的离心率可以刻画(khu)椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画(khu)双曲线的什么几何特征？第11页/共23页第十二页，共23页。，由222)(1ababaace 因此，e越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口(zhng ku)越开阔，e越小，渐近线斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口(zhng ku)越扁狭. 所以双曲线的离心率是反应(fnyng)双曲线开口大小的几何量.第12页/共23页第十三页，共2

8、3页。xa 或xa ya ya 或0(, )a 0( ,)a byxa ayxb cea 222222( (其其 中中c =a +b )c =a +b )关于(guny)坐标轴和原点都对称性质(xngzh)双曲线2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab范围(fnwi)对称 性 顶点 渐近 线离心 率图象【总结提升】双曲线的简单几何性质.xyxy第13页/共23页第十四页，共23页。【例】求双曲线9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率(xn l)、渐近线方程【解析】把方程(fngchng)9y2-16x2=144化为标准方程(fngchng)222

9、2143.yx2222435.cab由此可知，半实轴长a=4,半虚轴长b=3;焦点(jiodin)坐标是(0,-5),(0,5);54;cea离离心心率率43.yx 渐渐近近线线方方程程为为第14页/共23页第十五页，共23页。【变式练习(linx)】A【方法规律(gul)】双曲线的焦点到渐近线的距离为半虚轴长b.第15页/共23页第十六页，共23页。B第16页/共23页第十七页，共23页。A第17页/共23页第十八页，共23页。12第18页/共23页第十九页，共23页。4与双曲线 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准(biozhn)方程是 221312xy2 22 21 14 4y

10、 yx x 第19页/共23页第二十页，共23页。5求中心在原点，对称轴为坐标轴且经过(jnggu)点P(1，3)，离心率为 的双曲线的标准方程【解析】因为离心率为 ，所以e2 即ab，所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准 方程为x2y2(0)，又点P(1，3)在双曲线上，则198，所以所求双曲线的标准方程为2222222212 cabbaaa ，22yx1.882第20页/共23页第二十一页，共23页。xyoax 或axayay 或)0 ,( a), 0(axabyxbayace 222222( (其其 中中c =a +b )c =a +b )关于(guny)坐标轴和原点都对称性质(xngz