上海科技版（沪科版）初中数学八年级下册全套教学课件

1、16.1 二次根式二次根式理解二次根式的概念.（重点）掌握二次根式有意义的条件.（重点）会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）123问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.25的平方根是_；5的算术平方根是_.思考14的平方根是_；0的平方根是_.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)若面积为3 的正方形,则边长为 _m；若面积 为S 的正方形的边长为_m (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面

2、积为130m2， 则它的宽为_m （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m） 满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ， 那么t为_问题1 这些式子分别表示什么意义？根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？探究一探究一 二次根式的定义二次根式的定义一般地，形如 （a0）的式子叫做二次根式,其中a是被开方数.具有两个特征：外貌特征：含有“ ”.内在特征：被开方数a 0.注意：a可以是数，也可以是式子.二次根式的定义探究二探究二 二次根式的性质二次根式的性质问题1 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它

3、本身的值又是什么？当a0， 表示a的算术平方根的平方，因此 =a；当a=0, 表示0的算术平方根的平方，因此 =0；这就是说，当a0时， = a.总结：探究二探究二 二次根式的性质二次根式的性质问题2 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的值又是什么？当a0, 表示的算术平方根，因此 =a；当a=0, 表示0的算术平方根，因此 =0；当a0, 表示的算术平方根，因此 =-a；这就是说，当a0时， =a; 当a0时， =-a. 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：23(1)3 2 ;(2 ) 6;(3)1 2 ;(

4、4 )-0(5),;(6 )1;(7 )5 .mmxyxya；异 号 例11.下列各式是否二次根式？说明理由（1） ；（2） （3） ； （4） .（a0）（4）（a0）是二次根式解：（1）是二次根式；（2）根号下小于零，不是二次根式；（3）是三次根式； 当x是怎样的实数时, 下列在实数范围内有意义?例2(1)(2).解：(1)要使有意义,必须x+30.解这个不等式,得x-3.即当x-3时,在实数范围内有意义.(2)因为x为任何实数时都有0,在实数范围内都有意义.所以当x为一切实数时, . 例3计算:例4 先化简再求值:,其中x=4.当x=4时， = x- = 4- =4-.当x=4时， =4

5、-.解：= x- ，(1) ； (2) . 解:(1) = =5 或 = -5|=5； (2) = 1- =-（1- ）= -1. 3.先化简，再求值已知a ，求2- +（a+1）（a1）的值解：2 +（a+1）（a1）2 + -1 2|a2|+ -1当a 时，原式2（2 ）+ -1=2-2+ +2-1= +1. 1.在 、 、 、 中，二次根式有 35552a52a2.当分别取什么实数时，下列各式有意义？（1）a312 （2）21a （3）12a 解：（1）12-3a0，a4；（2）a+20，a2；（3） 3.计算：（1）2)10(（2）2)25. 0(（3）（4）243）（232）（ 解：

6、（1）10 （2）0.25 （3） （4）-6 4.化简22212）（xxx （1）当1x时， （2）当时， 时.（3）当21 x2x 4.解： + = + . . （1）当1x时,x-10, x-20,原式=1-x+2-x=3-2x;（2） 当21 x时，x-10, x-20, 原式=x-1+2-x=1;（3）当2x时, x-10, x-20, 原式=x-1+x-2=2x-3.5.(1)已知a为实数，求代数式 + + 的值.(2) 已知a为实数，求代数式+的值.解：(1)由题意得：a+20, -4-2a0a=-2.+=2.(2) 由题意得：- 0 ， =0，a=0.0, = + =2+3=5

7、.二次根式定义带有二次根号确定在实数范围内二次根式有意义的条件抓住被开方数必须为非负数，建立不等式求出其解集被开方数为非负数谢谢大家16.2 二次根式的运算二次根式的运算第 16章 二次根式第第1课时二次根式的乘法与积的算术平方根课时二次根式的乘法与积的算术平方根理解二次根式的乘法法则.（重点）12会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.（难点）理解积的算术平方根的性质.31.二次根式的概念：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”叫做二次根号，a叫做被开方数.2.二次根式的性质：(1) 的性质：，即二次根式的被开方数非负；，即二次根式的值非负.(2)的性质： (0

8、);(0).a aa a|a| 问题1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.2=_;计算下列各式:=_;= _.236366452040020563090030观察两者有什么关系？ 二次根式的乘法1观察三组式子的结果，我们得到下面三

9、个等式：49 =49；1625 =1625；2536 =2536 .(1) (2) (3) 思考：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测： 你能证明这个猜测吗？求证：证明：根据积的乘方法则，有就是ab算术平方根.0,0 .ababab也可以说成：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则:二次根式相乘，_不变，_相乘.根指数被开方数注意：a，b都必须是非负数. 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数反过来：（a0，b0）（a0，b0）一般地，这个性质常称为这个性质常称为“积的算术积的算术平方根的性质平方根的性质”我们可以运用它来

10、进行二次根式的解题和化简.语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.积的算术平方根的性质2二次根式的乘法法则的推广：二次根式的乘法法则的推广：多个二次根式相乘时此法则也适用，即0,0,0,0abcnabcnabcn当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根 号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即0,0ma nbm nabab 计算: 归纳归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 .0,0,0)abka bkabk （可先用乘法结合律，再运用二次根式的

11、乘法法则例1解：1.计算：跟踪训练跟踪训练57(1) ； (2) ； 139(3) ； 9(4) . 126.解：5 735 57(1) = ；(2) = = ； 1393(3) = = =18 ； 9(4) = = . 1261623 计算:解:问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？试回顾如何计算3a22a3= .6a5提示：可类比上面的计算哦例22.计算：跟踪训练跟踪训练.（2） .解： =9；（2） = .（-3） 2 =-6=-6=-30. 化简：例3解：（1）（2）(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.(3). (3) = = =45

12、.3. 计算：解： (2)(2)(3)(3)（2） = =616=96；（3） = = =1 =5 跟踪训练跟踪训练1.把被开方数分解因式(或因数) ；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因 式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：归纳：1.若 ，则 （） Ax6 Bx0 C0 x6 Dx为一切实数 A2.下列运算正确的是 （ ）A.222253535315B.22225353532C.(4 )(1 6 )41 6(2 )(4 )8D.21835680D 3. 计算： 3 56 22 6 3. 计算： 3 56 22 64.化简： (1) ；（2） ；（3） ；（4） . 2

13、0182 42212a b (a0,b0) 205解：(1) =2 ； 182(2) = 3 ；246(3) =2 ； 2212a b3(4 ) 2ab .5.计算：6.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a、b.二 次 根式 乘 法法则性质拓展谢谢大家16.2 二次根式的运算二次根式的运算第16章 二次根式第第2课时二次根式的除法与商的算术平方根课时二次根式的除法与商的算术平方根理解二次根式的除法法则.（重点）会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.（难点）12一般地，二次根式的乘法法则是二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则:二次根式相乘，_不变，_相乘.根指数被开方数注意：a，b都必须是

14、非负数.问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？二次根式的除法该怎样算呢？思考：乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？(1) _=_;= _;49计算下列各式:1625364949(2) _=_;(3) _=_;3649= _;= _.1625234567观察两者有什么关系？ 234567234567二次根式的除法1观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：44=99；16162525=；3636.4949(1) (2) (3) 特殊一般a0，b0,

15、当b=0时，等式两边的二次根式就没有意义啦！二次根式的除法法则二次根式的除法法则: :文字叙述文字叙述: :算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.(0,0).aaabbb我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:2商的算术平方根的性质3最简二次根式计算：（1）；（2）解：（1） = = = ； （2） = = = =2

16、. 分母有理化分母有理化二次根式的除法运算二次根式的除法运算,通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行中的根号的方法来进行,把分母中的根号化去把分母中的根号化去,就是分母有理化就是分母有理化.3最简二次根式1. 最简二次根式满足的条件最简二次根式满足的条件 (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2.化简时注意：化简时注意：（1）有时需将被开方数分解因式；（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化.计算：解:除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算.例1归纳：类似(4)

17、中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.跟踪训练1.计算：(1) ；123(2) ； 14116(3) . 648解：(1) = = 12312342 . (2) = = = =2 ； 141161141611644(3) = = =2 . 64864882化简:解:还有其他解法吗?补充解法：例2解法1：解法2：2.化简：解：跟踪训练例3比较比较 2 和和3 的大小的大小. 解：解：2 = = = ；3= .1218， . 思考：你还有其它的证明方法吗？思考：你还有其它的证明方法吗？方法方法1： = ， .方法方法2： = = 1，归纳：比较两个二次根式

18、大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用作差法、作商法、平方法.跟踪训练跟踪训练3.比较大小解：方法1：两个负数比较大小，绝对值大的反而小BCBA.k1 B.k2 C. 1k2 D. 1k2 C4.下列根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C.D.5.把下列根式中化成最简二次根式：（1） ；（2） ；（3） . 23解：（1） = ；（2） =3 ；（3） =2 . 23636.化简：(1) ；（2） ；（3） ；（4） . 4830.723 16565解：(1) = =

19、4； 483(2) = ； 0.77010(3) = = +1；23 13(4) = 11-2 . 6565307.计算：2 12 343 2解：2 12 343 21234 11861622.二次根式二次根式的 除 法的 除 法法则商的算术平 方 根拓 展谢谢大家16.2 二次根式的运算二次根式的运算第 16章 二次根式第第3课时课时 二次根式的加减二次根式的加减了解二次根式的加、减运算法则.（重点）会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）23 理解同类二次根式的概念理解同类二次根式的概念. .11.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.2.合并同

20、类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.3.合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.3.最简二次根式：（1）二次根式被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2.4. 化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用 |a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简. 2a问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式?问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点

21、?（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.化简后被开方数相同探究点一同类二次根式探究点一同类二次根式同类二次根式：同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式像这样的二次根式称为同类二次根式.例如（1）中各式化简后得到（2）中各式化简后得到探究点二二次根式的加减探究点二二次根式的加减同类二次根式：同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式同类二次根式.例如（1）中各式化简后得到（2）中各式化简后得到思考：思考：

22、（化成最简二次根式）（结合律）你发现了什么？ 在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.+ - = +4 -5 =（3+4-5）=2+ - 阅读教材P10的内容，完成下面的练习.（学生互学） 二次根式的加减一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.总结总结 归纳：确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可.例1跟踪训练跟踪训练1.2.下列二次根式中，与下列二次根式中，与 是同类二次根式的有哪些？是同类二次根式的有哪些？23 2

23、 ， ， ， ， .823224解：与 2是同类二次根式的有 ， ， .83 22(1)化将非最简二次根式的二次根式化简； 二次根式的加减的运算步骤：二次根式的加减的运算步骤：(2)找找出被开方数相同的二次根式； (3)合把被开方数相同的二次根式合并. 计算:解：例2跟踪训练跟踪训练2.计算：（1） ；（2） . 【解】（1） =（3-2） （2） =7 . 计算:解：有括号，先去括号.例3跟踪训练跟踪训练3.计算：（1） + + ； （2）3 + - + . 27131224883（3）.解：（1） + + =3 + +2 = ；271312333316333（2）3 + - + =3 +4

24、 -2 + = +5 ； 2488323223（3） .D2.下列计算正确的是（） C1（2）（4）（4）7.计算:8.计算:解:二 次 根 式的加减法则注意运算顺序运算原理一般地，二次根式相加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并运算律同实数的加 减 一 样 适 用与实数的运算顺序一样谢谢大家16.2 二次根式的加减二次根式的加减第 16章 二次根式第第4课时课时 二次根式的混合运算二次根式的混合运算掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）121.二次根式的化简包括的两个主要方面二次根式的化简包括的两个

25、主要方面（1）如果被开方数中含有完全平方的因数（或因式），可利用积的算术平方根的性质，将它们“开方”出来 ；（2）如果被开方数中含有分母，通常可利用分数（或分式）的基本性质将分母“配”成完全平方，再将它们“开方”出来.（3）化简的关键是把被开方数中的完全平方因数（或因式）开出来.2.同类二次根式同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式.3.二次根式的乘除运算法则是什么？在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？0,0abab ab（）0,0aaabbb（）需要注意的是：运算结果要化成最简形式.思考： 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法

26、则法则分别是什么? 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(ma+mb+mc)m=a+b+c.问题1问题2分配律 单项式多项式 转化 前面两个问题的思路是：思考 若把字母a、b、c、m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单项式单项式二次根式的加减运算法则是什么？二次根式的加减运算法则的依据是什么？加减法则的依据是：乘法分配律.cbacbca)( 问题3问题4在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.二次根式的混合运算1二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，

27、体现在：运算律、运算顺序、运算法则仍然适用. 整式乘法运算中的乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 2利用乘法公式进行二次根式的运算思考：同样适用例1(2) ；(3)-6(3-).解：(2)=(3)-6(3-).=6-12+12-18+6=6 .跟踪训练1.计算：解:(1)运用平方差公式计算运用完全平方公式计算例2（3）.类比单项式乘多项式法则计算类比多项式除以单项式法则计算（3）=（把二次根式化成最简二次根式）（把二次根式化成最简二次根式）（运用分配

28、律）（运用分配律）跟踪训练跟踪训练2.二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳：例3计算:解:跟踪训练跟踪训练3.计算： 解：原式=1.下列计算中正确的是（ ）B. )2( ;2 ) 1 (2222yxyxyx22222(1) 2() ( 32)( 32) (2 2) 8.xxyyxy解：3.计算：（1）（2）解： （1）=-17-；（2）224(7 ) 解：4.计算：5.计算：解：(1)=二次根式的混 合 运 算乘 法 公 式合并被开方数相同 的 二 次 根 式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (

29、a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab整式乘法运算法则m(a+b+c)=ma+mb+mc谢谢大家第 17章 一元二次方程17.117.1一元二次方程一元二次方程理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）123理解一元二次方程的概念.（难点）根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.18m2 幼儿园活动教室矩形地面的长为幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为，宽为5m，现准备在地面正中间铺，现准备在地面正中间铺设一块面积为设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？的地毯，

30、四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？8m 问题情境问题情境1解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_,长表示为_,则方程列为_ ，整理得_. (5-2x)m(8-2x)m(8-2x)(5-2x)=184x2 -26x+22 05m桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？ 变式变式： 1515 2525（25-225-2x）（）（15-215-2x ）= = 300,300, 300cm24x2 -80

31、 x+75 0.设剪去的正方形边长为x cm，则无盖方盒的底面的长为（25-2x） cm ，宽为（ 15-2x ） cm ，根据题意，可列方程为整理得7m如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙m,根据题意，可得方程：72(x6)2 102，(x 6)如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？10m数学化问题情境问题情境2 2ABC1mDE整理得 x2 +12x-15 0.6m要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队

32、参加比赛?分析分析: :全部比赛共4 47=287=28场. .设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场. .1(1)282x x即即( (x-1)-1)问题情境问题情境3 32560.xx思考思考探究探究 这四个方程都不是一元一次方程.那么这四个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;只含一个未知数;未知数的最高次数是2.4x2 -26x+22 04x2 -80 x+75 0 x2 +12x-15 02560 xx 一元二次方程的概念一元二次方

33、程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程. （1） 只含一个未知数; （2） 未知数的最高次数是2； （3） 整式方程.满足的条件: 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式想一想想一想为什么要为什么要限制限制a b c a x 2 + b x + c = 0(a 0)二次项系数一次项系数常数项二次项一次项当 a = 0 时bxc = 0 当 a 0 ， b = 0时 ax2c = 0 当 a 0 ， c = 0时 ax2bx = 0 当 a 0 ，b = c =0时 ax2 = 0 总结总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a 0 ，b ，

34、 c 可以为任意实数.为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a0，b、c 可以为零呢？当b 0时，为一元一次方程一元二次方程05212 xx)(013422 yx)(0214 )()(xx0152aa)(1)2)(3(2m是分式是分式y22（8） =0(7)4 7x20(6)x22x31x2例1提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.(1)ax2-x=2x2；解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2

35、-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程. (2)由 a +1 =2，且a-1 0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值 a为何值时，下列方程为一元二次方程？例2解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.注意：（1 1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、一元二次方程的二次项、二次项系数、一次

36、项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；常数项等都是针对一般形式而言的；（2 2）系数和项均包含它前面的符号. 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.例3 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.练一练：练一练： 下面哪些数是方程 x2 4x +3 = 0 的解? -2 0 ,1,2,3 ,4.解：1和3.你注意到了吗？一元二次方程的根可能不止一个.解：由题意，得2220,aa 222.即 aa 方法总结：方法总结：已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程

37、，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值3(a2+2a)+2 019=32 +2 019=2 025. 3a2+6a+2019= 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根, 求 3a2+6a+ 2 019的值. 例421)0,0.abcaxbxc若则一元二次方程必有一解为22)0,0.abcaxbxc若则一元二次方程必有一解为-1 -11 123)420,0.abcaxbxc若则一元二次方程必有一解为2 2 知识拓展知识拓展 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意，得2110,abc 0.abc 即即

38、思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗? 解：由题意,得2110.即 abc 0.abc 方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根是1.2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗? x=2或x=-1例51.判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x-x=2 ( ) (2)2(x-1)=3y ( )(3)3x-2x+5 ( ) (4) ( )(5)(m+5)x+7x-1=0 ( ) 02112xx2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次

39、方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解： 若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程，则二次项系数不为零，2a-4 0，解得a2，即当a2时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程；若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，2a-4 =0且-2b 0，解得a2，b0,即当a2，b0时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程.3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少：(1) 2x2=3x-1；(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.解：（1） 2x2=3x-

40、1化为一般形式为 2x2-3x+1=0， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1.(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为 -x2+2x-4=0, 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4.4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0,即9+4a=0, 4a=-9，9.4a 本课件是在本课件是在Micorsoft PowerPoint的平台上制作的，可以在的平台上制作的，可以在Windows环境下独立环境下独立运行，集文字、符号、图形、图像、动画、声音于一体，交互性强，

41、信息量大，能多路运行，集文字、符号、图形、图像、动画、声音于一体，交互性强，信息量大，能多路刺激学生的视觉、听觉等器官，使课堂教育更加直观、形象、生动，提高了学生学习的刺激学生的视觉、听觉等器官，使课堂教育更加直观、形象、生动，提高了学生学习的主动性与积极性，减轻了学习负担，有力地促进了课堂教育的灵活与高效。主动性与积极性，减轻了学习负担，有力地促进了课堂教育的灵活与高效。 作品整理不易，作品整理不易， 仅供下仅供下载者本人使用，载者本人使用，禁止转载！禁止转载！5.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程得m

42、2-4=0，解得m= 2. m+2 0， m -2，综上所述，综上所述，m =2.6.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？解：设第一个数为x，则另两个数分别为x1, x2，依题意得方程：x (x 1) x(x 2) (x 1) (x 2) 242.x2 2x800.整理得一元二次方程概念是整式方程；含一个未知数；最高次数是2一 般 形 式一 般 形 式对于ax2+bx+c=0 (a 0)，其中a0 是一元二次方程的必要条件；确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式根使方程左右两边相等的未知数的值谢谢大家第 17章 一元二次方程17.

43、2 17.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法第第1 1课时直接开平方法课时直接开平方法12会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p0)的方程.(重点）如图，在ABC中，B=90，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后PBQ的面积等于8平方厘米？ 问题情境问题情境ABCPQ 试一试试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1) x2=4；(2) x2=0；(3) x2+1=0.解:

44、根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解. 直接开平方法的概念直接开平方法的概念 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.（2）当p=0 时，方程x2 = p有两个相等的实数根 =0；（3）当p0 时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等的实数根 ， ；1px 2px12xx(1) x2=25；(2) x2900=0.解： （1） x2=25，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得 x= 30，x1=30, x2=30.5,x1

45、255.xx ， 利用直接开平方法解下列方程:例1 用直接开平方法解方程在解方程例1(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+2)2=5 ，解得解得对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？25,x 2525 .xx 或1237.xx 或于是，方程（x+2）2=25的两个根为上面的解法中 ，由方程 得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解. 分析：只要将（x2）看成是

46、一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：（1）x+2是7的平方根，7.x+2=12=-2+ 7, =-2- 7.xx即 解下列方程： （x2）2= 7 ； 例2（2）（2x+3）2 = 16；解：解：2x+3是16的平方根， 2x+3 =4.即2x+3 =4或2x+3 =-4 x1= ，234.3 x2=(3) 2（ 13x ）218 = 0.分析：先将18移到方程的右边，再两边都除以2，再同第（1）小题一样地去解，然后两边都除以-3即可. 解：移项，得2（ 13x ）2=18，两边都除以2，得（ 13x ）2=9. 13x是9的平方根， 13x =3.即13x =3或13x =-3.1.采

47、用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=p或（mxn）2= p（p0）的形式的方程，可得方程的根为x= 或mxn=2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 注 意p.p1下列方程可用直接开平方法求解的是( )A x24 B4 x24x 30C x23x 0 D x22x 19CA4关于x的一元二次方程x2a0没有实数根，则实数a的取值范围是 3.若(a2b22)225，则a2b2 7a0(2)(3x2)225；(3)(x1)240; 解：移项，得(2x)29，开平方，得2x

48、= 3，即 2x=3或2x=-3， x1-1，x25.(4)(2x)290.5.用直接开平方法解一元二次方程4(2x1)225(x1)20.小明的解答如下：移项，得4(2x1)225(x1)2.直接开平方，得2(2x1)5(x1)小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程直接开平方法概念利用平方根的定义求方程的根的方法步骤关键要把方程化成x2=p(p 0)或（x+n)2=p（p 0)基本思路一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法谢谢大家第 17章 一元二次方程17.2 17.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法第第2 2课时课时 配方法配方法12了解配方的概念

49、.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点） 复 习解下列方程 （1）3x2-1=5；（2）（x-1）2-9=0 ；（3）x2+8x+16=9.方程（1)(2）可转化成x2=p或（xn）2= p（p0）的形式，由直接开平方法可得方程的根为x= 或xn= .pp方程x2+8x+16=9能不能转化成（xn）2= p（p0）的形式？想一想方程（3）怎么解呢？ 配方的方法配方的方法你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1) a2+2ab+b2=( )2；a+b(2) a2-2ab+b2= ( )2.a-b探究交流做一做：填上适当的数，使下列等

50、式成立1.1.x2 2+12+12x+ + =(=(x+6)+6)2 2；2.2.x2 2-6-6x+ + =(=(x-3)-3)2 2；3.3.x2 2-4-4x+ + =(=(x - - ) )2 2；4.4.x2 2+8+8x+ + =(=(x + + ) )2 2. .问题：上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？6232222424222)2()2(axaaxx先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方的求解方法，叫做配方法.对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 用配方法解方程探究交流怎样解

51、方程x2+6x+4=0？1.把方程变成（x+n)2=p （p0）的形式.x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.(x+3)2=5配方2.用直接开平方法解方程 (x+3)2=5(x+3)2=5开方求解u配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.u方程配方的方法u配方法解方程的基本步骤一般步骤一般步骤方法方法一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边二

52、化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开开平方利用平方根的意义直接开平方231416x即 解下列方程：例1 x1 x2 -2. （1）x2+4x+4 0 ；解：移项，得x2+4x -4. 配方，得x2+4x+22 -4+22， 即（x+2）20， 方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以将方程各项的系数除以二次项系数移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得二次项系数化为1，得 2 33640.xx3x2

53、6x=-4,x22x= ,x22x+12= +12，即即(x1)2= . 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k24k5的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以k24k5的值必定大于零.例2 配方法的应用 类别 解题策略求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值完全平方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4利用配方构成非负数

54、和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2 1将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完

55、全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或9B BC4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.2330,24xx2321().416x12321321,.44xx解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.解：5.如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它

56、们的速度都是1m/s，问几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半？ 解：设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半所以2秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半ACBPQ整理，得x2-14x+24=0,即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2， x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去6.应用配方法求最值.(1) 2x2 - - 4x+5的最小值；(2) -3x2 + 5x +1的最大值.解：（1） 2x2 - - 4x +5 = 2(x - - 1)2 +3 , 所以所以当x =1时，有最小值，为3. （2） - -3x2 + 12x - - 16 = - -3(x

57、 - - 2)2 - - 4 , 所以所以当x =2时,有最大值，为-4.配方法定 义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法方 法步 骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p (p 0);四直接开平方五解两个一元一次方程22一次项系数（）特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应 用求代数式的最值或证明在方程两边都配上一次项系数一半的平方谢谢大家第 17章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法第第3 3课时课时 公式法公式法12经历求根公式的推导过程.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）复习交流24- -90.x x1、如何用配方法解下列方

58、程： （2）（1）2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？ 23650;xx一般步骤方法一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方四开开平方利用平方根的意义直接开平方五解解两个一元一次方程移项，合并 求根公式的推导求根公式的推导任何一元二次方程都可以写成一般形式20 0axbxca（）.你能否也用配方法得出的解呢？2.axbxc 2.bcxxaa 二次项系数化为1，得配方,得222,22bbcbxxaaaa 即2224.24bbacxaa移项，得用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0

59、(a0).因为a0, 4a20, 当b24ac0时，2240,4baca24,22bbacxaa 24.2bbacxa 即221244,.22bbacbbacxxaa 所以由式得2224.24bbacxaa对于由上可知，一元二次方程 的根由方程的 20 0axbxca（）系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将a，b，c代入式子240bac2 0axbxc242bbacxa 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 提示：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.方

60、程是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0); 2.b2-4ac0. 用公式法解方程 用公式法解下列方程：例2-2 210 xx ；1,-2 2,1abc解： ，224( 2 2)4 1 140bac ，( 2 2)42 2221,2 12x 1221,21.xx 原方程的根是2+4 -1-10-8 xxx（2）4；2+12 +9=0 xx解：原方程变形，得4，224124 4 9=0bac ，1203-,2 42x 123.2xx 原方程的根是4,12,9abc ，2+42 5 .xx（3）622-2 5 +4=0- 5 +2=0 xxxx解：原方程变形，得6，即3，224(5