更高更妙的物理 竞赛课件5：物系相关速度(去密码版)

1、 研究对象研究对象不发生形变的理想物体不发生形变的理想物体实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时时,即可将其视作刚体即可将其视作刚体具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的离是恒定不变的; 刚体运动的速度法则刚体运动的速度法则 刚体上每一点的速度都是与基点刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择可任意选择)速度相速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和. v=r，r是对基点的转动半径，是对基点的转动半径，是刚体转动角

2、速度是刚体转动角速度 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的而成的. 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关 ABCDv2v2ABv1v1CDO在同一时刻必具有相同的沿在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度杆、绳方向的分速度.沿接触面法向的分速度必定相沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同无相对滑动时相同.相交双方沿对方切向运动分速相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和度的矢量和.杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：杆或

3、绳约束物系各点速度的相关特征是：接触物系接触点速度的相关特征是：接触物系接触点速度的相关特征是：线状相交物系交叉点的速度是线状相交物系交叉点的速度是:v1v0v2v1vvtvnvnv1CDvOv2AB 如图所示，如图所示，AB杆的杆的A端以匀速端以匀速v运动，在运动时杆恒与一运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为，当杆与水平线的交角为时，求杆的角速度时，求杆的角速度及及杆上与半圆相切点杆上与半圆相切点C的速度的速度 这是杆约束相关速度问题这是杆约束相关速度问题考察杆切点考察杆切点C C, ,由于半圆由于半圆静止静止, ,C C点速度必

4、沿杆点速度必沿杆! !vCBRAv1v2vc杆杆A A点速度必沿水平点速度必沿水平! !以以C为基点分解为基点分解v:由杆约束相关关系由杆约束相关关系: :1cvv cosv v2是是A A点对点对C C点的转动速度点的转动速度, ,故故sincotvR 2sincosvR B2A1A2 如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3 2 1，顶点，顶点A3以速度以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点点2的速度的速度vB2 这是杆约束相关速度问题这是杆约束相关速度问题A0A1A2

5、A3B1B2B3vvA2vA1v2v1分析顶点分析顶点A A2 2、A A1 1的速度：的速度： 顶点顶点B B2 2，既是，既是A A1 1B B2 2杆上的点，杆上的点，又是又是A A2 2B B2 2杆上的点，分别以杆上的点，分别以A A1 1、A A2 2为基点，分析为基点，分析B B2 2点速度：点速度：1v v1v22v vB21122Avv 2222Avv 由图示知由图示知222122222BAAvvv 由几何关系由几何关系125,26AAvvvv 2176Bvv DCvxBAvBA这是绳约束相关速度问题这是绳约束相关速度问题 绳绳BD段上各点有与绳端段上各点有与绳端D相同相同的

6、沿绳的沿绳BD段方向的分速度段方向的分速度v；设设A右移速度为右移速度为vx，即相对于即相对于A，绳上，绳上B点是以速度点是以速度vx从动从动滑轮中抽出的，即滑轮中抽出的，即BAxvv 引入引入中介参照系中介参照系- -物物A ，在沿绳，在沿绳BD方向上，绳上方向上，绳上B点速度点速度v是其相对于参照系是其相对于参照系A的速度的速度vx与参照系与参照系A对静止参照系速度对静止参照系速度vxcos的合成，的合成， 即即vcosBAxvvv 由上由上1 cosxvv vxcos 如图所示，物体如图所示，物体A置于水平面上，物置于水平面上，物A前固定有动滑轮前固定有动滑轮B，D为定滑轮，一根轻绳绕过

7、为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在后固定在C点，点，BC段水平，当以速度段水平，当以速度v拉绳头时，拉绳头时，物体物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为沿水平面运动，若绳与水平面夹角为，物体，物体A 运动的速度是多大？运动的速度是多大？ 如图所示，半径为如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速的半圆凸轮以等速v0沿水平面沿水平面向右运动，带动从动杆向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，为凸轮圆心，P为其为其顶点求当顶点求当AOP=时，时，AB杆的速度杆的速度 这是接触物系接触点相关速度问题这是接触物系接触点相关速度问题PAOBv0vAv0 根据接触物系触点速度相关特

8、根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相征，两者沿接触面法向的分速度相同，即同，即 0cossinAvv 0tanAvv 如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子滑钉子A上，以恒定的速度上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成拉绳，当绳与竖直方向成角时，求线角时，求线轴中心轴中心O的运动速度的运动速度v0线轴的外径为线轴的外径为R、内径为、内径为r，线轴沿水平面做，线轴沿水平面做无滑动的滚动无滑动的滚动 RrOvAO考察绳、轴接触的切点考察绳、轴接触的切点B速度速度 轴上轴上B点具有与轴心相同的平动点具有与轴心相同的平动速度速度

9、v0与对轴心的转动速度与对轴心的转动速度r：v0 r 绳上绳上B点具有沿绳方向速度点具有沿绳方向速度v和和与轴上与轴上B点相同的法向速度点相同的法向速度vn：vn由于绳、轴点点相切，有由于绳、轴点点相切，有0sinvvr 线轴沿水平面做纯滚动线轴沿水平面做纯滚动0vR Cv00sinRrvRv 若若线轴逆时针滚动，则线轴逆时针滚动，则0sinRvrRv B 如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且线端线端A点速度为点速度为v，方向水平以铰链固定于，方向水平以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为线轴的内、外径分别为r

10、和和R试确定木板的角速度试确定木板的角速度与角与角的关系的关系 考察板、轴接触的切点考察板、轴接触的切点C速度速度 板上板上C点与线轴上点与线轴上C 点有相同的法向速度点有相同的法向速度vn,且板上且板上vn正是正是C点关于点关于B轴的转动速度轴的转动速度 ：CABCvnCvnnvBC cot2R 线轴上线轴上C点的速度：它应是点的速度：它应是C点对轴心点对轴心O的转动速度的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度和与轴心相同的平动速度vO的矢量和，而的矢量和，而vCn是沿是沿C点切向的，则点切向的，则C点法向速度点法向速度vn应是应是 ：v0vvCnv00sinnvv v线轴为刚体且作纯滚动，故

11、以线轴线轴为刚体且作纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有与水平面切点为基点，应有 D0vvR rR 0RvvR r 1 cosvR r Rr 如图所示，水平直杆如图所示，水平直杆AB在圆心为在圆心为O、半径为、半径为r的的固定圆圈上以匀速固定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环滑环M的速度，设的速度，设OM与竖直方向的夹角为与竖直方向的夹角为 这是线状交叉物系交叉点相关速度问题这是线状交叉物系交叉点相关速度问题BOM 将杆的速度将杆的速度u沿杆方向与圆圈切沿杆方向与圆圈切线方向分解线方向分解:u 滑环速度即交叉点速度滑环速度

12、即交叉点速度,方向沿方向沿圆圈切向圆圈切向; 根据交叉点速度是根据交叉点速度是相交双方沿相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和对方切向运动分速度的矢量和，滑环速度即为杆沿圆圈切向分速滑环速度即为杆沿圆圈切向分速度度:sinvu 如图所示，直角曲杆如图所示，直角曲杆OBC绕绕O轴在图示平面内转轴在图示平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动已知滑动已知OB=10 cm，曲杆的角速度曲杆的角速度=0.5 rad/s，求，求=60时，小环时，小环M的速度的速度 这是线状交叉物系交叉点相关速度问题这是线状交叉物系交叉点相关速度问题OABMC60由于刚性曲杆由于

13、刚性曲杆OBC以以O为为轴转动，故轴转动，故BC上与上与OA直直杆交叉点杆交叉点M的速度方向垂的速度方向垂直于转动半径直于转动半径OM、大小是、大小是:根据交叉点速度相关特征，该速度沿根据交叉点速度相关特征，该速度沿OA方向的分量即为小环速度，故将方向的分量即为小环速度，故将vBCM沿沿MA、MB方向分解成两个分速度方向分解成两个分速度:cos10cm/sBCMOBv vBCM小环小环M的速度即为的速度即为vMA： vMAvMB10 3 cm/s 30cot30MBCMvv OABCdO1O2 如图所示，一个半径为如图所示，一个半径为R的轴环的轴环O1立在水平面上，立在水平面上，另一个同样的轴

14、环另一个同样的轴环O2以速度以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点叉点A的速度的速度vA与两环中心之距离与两环中心之距离d之间的关系轴环很薄且第二个之间的关系轴环很薄且第二个轴环紧傍第一个轴环轴环紧傍第一个轴环 dO1AO2v本题求线状交叉物系交叉点本题求线状交叉物系交叉点A速度速度Av1v2v轴环轴环O2速度为速度为v，将此速度沿轴环，将此速度沿轴环O1、O2的交叉点的交叉点A处的切线方向处的切线方向分解成分解成v1、v2两个分量两个分量: O2 由线状相交物系交叉点相关由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点速度规律可知，交叉点A的速度的速度即

15、为即为沿对方速度分量沿对方速度分量v1! 由图示几何关系可得由图示几何关系可得:222sin22AvvRvdR 224RvRd RO 顶杆顶杆AB可在竖直滑槽可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮内滑动，其下端由凸轮M推推动凸轮绕动凸轮绕O轴以匀角速轴以匀角速转动，在图示时刻，转动，在图示时刻，OAr，凸轮轮缘与，凸轮轮缘与A接触处法线接触处法线n与与OA之间的夹角为之间的夹角为，试求顶杆的速度，试求顶杆的速度MnAKB杆与凸轮接触点有相同的法向速度杆与凸轮接触点有相同的法向速度!v杆杆rr 根据接触物系触点速度相关特根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相征，两者沿接触面法向的分

16、速度相同，即同，即 sincosrv 杆杆tanrv 杆杆 一人身高一人身高h ，在灯下以匀速率，在灯下以匀速率vA沿水平直线沿水平直线行走如图所示，设灯距地面高度为行走如图所示，设灯距地面高度为H，求人影的顶端，求人影的顶端点沿地面移动的速度点沿地面移动的速度 HMhsinsinAvvRr 影影借用绳杆约束模型借用绳杆约束模型 设人影端点设人影端点M移动速度为移动速度为v影影 ,以光源为基点以光源为基点,将将vA和和v影影分解为沿光线方向分解为沿光线方向“伸长速度伸长速度”和对基点的和对基点的“转动速度转动速度”vAnvv影影RHrHh rR 由几何关系由几何关系AHvHvh 影影Anv 由

17、一条光线上各点转动角速由一条光线上各点转动角速度相同：度相同：v0 如图所示如图所示,缠在线轴缠在线轴A上的线被绕过滑轮上的线被绕过滑轮B以恒定速率以恒定速率v0拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动求线轴中心拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动求线轴中心O点的速度随点的速度随线与水平方向的夹角线与水平方向的夹角的变化关系线轴的内、外半径分别为的变化关系线轴的内、外半径分别为R与与r ABOVVAV0考察绳、轴接触的切点考察绳、轴接触的切点A速度速度 轴上轴上A点具有对轴心的转动速度点具有对轴心的转动速度V=R和与轴心相同的平动速度和与轴心相同的平动速度V0：v0 V0C 绳上绳上A点具有沿绳方向速

18、度点具有沿绳方向速度v0和和与轴与轴A点相同的法向速度点相同的法向速度vn：vn由于绳、轴点点相切，有由于绳、轴点点相切，有00cosvRV 由于纯滚动，有由于纯滚动，有0Vr 0cosvrR 00cosrRVvr 图中的图中的AC、BD两杆以匀角速度两杆以匀角速度分别绕相距为分别绕相距为l的的A、两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出小环两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出小环M套在两杆上，套在两杆上，t=0时图中时图中=60，试求而后任意时刻，试求而后任意时刻t（M未落地）未落地）M运动的速度大小运动的速度大小 ABCDM因两杆角速度相同，因两杆角速度相同，AMB=6

19、0不变不变本题属线状交叉物系交叉点速度问题本题属线状交叉物系交叉点速度问题套在两杆交点的环套在两杆交点的环M所在圆周半径为所在圆周半径为60OlR2cos303llR 2杆杆D转过转过圆周角，圆周角，M点转过同弧上点转过同弧上2的圆心角的圆心角 环环M的角速度为的角速度为2! !环环M的线速度为的线速度为23Mlv 2 33l 如图如图,一个球以速度一个球以速度v沿直角斜槽沿直角斜槽ACB的棱角作无滑的棱角作无滑动的滚动动的滚动AB等效于球的瞬时转轴试问球上哪些点的速度最大？等效于球的瞬时转轴试问球上哪些点的速度最大？这最大速度为多少？这最大速度为多少？ 本题属刚体各点速度问题本题属刚体各点速

20、度问题ACB 球心速度为球心速度为v， 则对瞬时转轴则对瞬时转轴AB: O22vR 则球角速度则球角速度2vR 球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度! 根据刚体运动的速度法则根据刚体运动的速度法则:max212vR 21 v R45 如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R2，外，外环半径为环半径为R1，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r，外环以线速度，外环以线速度v1顺时针顺时针方向转动，而内环则以线速度方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球

21、中心围绕圆环的中心顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺时针转动的线速度顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度和小球自转的角速度，设小球与圆环之间无滑动发生，设小球与圆环之间无滑动发生 R1R2v滚珠球心速度为滚珠球心速度为v，角速度为，角速度为， v1v2Ar根据刚体运动的速度法则根据刚体运动的速度法则:Avvr 滚珠与内环接触处滚珠与内环接触处A速度速度 滚珠与外环接触处滚珠与外环接触处B速度速度 rBvvr B滚珠与两环无滑动，滚珠与两环无滑动，两环两环与珠接触处与珠接触处A、B切向速度相同切向速度相同1v 2v 122vvv 122vvr 本题属刚体各点速度及接触点速度问题本题属

22、刚体各点速度及接触点速度问题 一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上a 点速度和点速度和b点点速度相同：速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同时还发现板上，且方向均沿板面；同时还发现板上c点速度大小比速度点速度大小比速度v大一大一倍，倍，c点到点到a、b两点距离等于两点距离等于a、b两点之间距离试问板上哪些点的速度等于两点之间距离试问板上哪些点的速度等于3v？ 本题属刚体各点速度问题本题属刚体各点速度问题板上板上a、b两点速度相同，故两点速度相同，故a、b连线即为板瞬时转动轴连线即为板瞬时转动轴! vvcabl根据刚体运动的速度法则根据刚体运动的

23、速度法则,C点点速度为速度为:CCnvvvvc=2vvvcn= 222322vvl 2vl 板板角角速速度度同理同理,速度为速度为3v的点满足的点满足 V=3vvn=x 2223vvx 2xl xx32l 如图如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点的三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持运动，运动中始终保持A朝着朝着B，B朝着朝着C，C朝着朝着A试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？ ABC 由三位舞者运动的对称性可知，由三位舞者运动的对称性可知，他们会合点在三

24、角形他们会合点在三角形ABC的中心的中心OOOvn每人的运动均可视作每人的运动均可视作绕绕O转动的转动的同时向同时向O运动，运动， vt考虑考虑A处舞者沿处舞者沿AO方向分运动方向分运动,到达到达O点历时点历时23cos30AOltvv 由于舞者匀速率运动由于舞者匀速率运动,则则23slvt 如图所示，一个圆台，上底半径为如图所示，一个圆台，上底半径为r，下底半径为，下底半径为R，其母线其母线AB长为长为L，放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速，放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速度度旋转，整体绕旋转，整体绕点作匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转点作匀速圆周运动，若接触部分不打

25、滑，求旋转半径半径OA及旋转一周所需时间及旋转一周所需时间T ABLOrRxrLRr 设旋转半径为设旋转半径为x，则由几何关系，则由几何关系:接触处不打滑，则接触处不打滑，则A点（即接触点（即接触点）在水平地面移动速度即为点）在水平地面移动速度即为Avr vA2AxTv 则则 2 lRr r 如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为为R，放在与水平面成，放在与水平面成角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为度为(此时绳未松驰此时绳未松驰)，试求此刻圆筒与绳分离处，试求此刻圆

26、筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点的速度以及圆筒与斜面切点C的速度的速度 AO绳竖直时设圆筒中心速度为绳竖直时设圆筒中心速度为v0vO以以A为基点为基点,由由刚体速度法则刚体速度法则,O点速度是点速度是vAvnOAnvvv圆筒与绳分离处圆筒与绳分离处A速度速度vA如图如图:vAC cotAnvv cotR 考察圆筒与斜面切点考察圆筒与斜面切点C速度速度:vOvn以以O为基点为基点,由由刚体速度法则刚体速度法则,C点速度是点速度是COnvvvsinCORvvRR 即即1sinsinR 如图所示，长度如图所示，长度l10 cm的棒在光滑水平面上转动，同时，的棒在光滑水平面上转动，同时，以速度以

27、速度v10 cm/s滑动，离棒的中心距离滑动，离棒的中心距离L50 cm处有竖直的墙要使棒平着与处有竖直的墙要使棒平着与墙相撞，试问棒的角速度墙相撞，试问棒的角速度应为多少？应为多少？ Lv棒要平着与竖墙相撞应满足棒要平着与竖墙相撞应满足棒中心完成棒中心完成L位移时，棒与墙平行；位移时，棒与墙平行； 相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速度（即棒上所有点速度方向均向墙）度（即棒上所有点速度方向均向墙）.满足满足应有应有:5Lnnv 棒在向墙移动时每半周与墙平行一次棒在向墙移动时每半周与墙平行一次满足满足应有应有vv2nlv 02lv 1025 1n 时时5 2n 时时

28、25 3n 时时35 一块坯料夹在两导板之间，导板水平运动上板向右，速度一块坯料夹在两导板之间，导板水平运动上板向右，速度为为v1，下板向左，速度为，下板向左，速度为v2，若，若v12v2 ，某时刻切点和在同一条竖直线上，某时刻切点和在同一条竖直线上，如图所示请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为如图所示请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为v1和和 v2 的点的集合的点的集合 1(A)2(B)v1v2AB以以1 2截分截分AB得瞬时转动中心得瞬时转动中心O O刚体上与瞬时转动中心距离相刚体上与瞬时转动中心距离相同的点对中心的转动速度相同同的点对中心的转动速度相同1v2vABCDO O 如图所示，

29、两只小环如图所示，两只小环O和和 分别套在静止不动的竖直杆分别套在静止不动的竖直杆AB和和CD上，一根不可伸长的绳子一端系在上，一根不可伸长的绳子一端系在C点上，穿过环点上，穿过环 ，另一端系在环，另一端系在环O上若环上若环 以恒定速度以恒定速度v1向下运动，当向下运动，当AO =时，求环时，求环O的速度的速度 O O O O v1V绳对环绳对环= v1O vO对对v1+v2O 121cosvvv V绳对环绳对环O 设环设环O的速度为的速度为v2以以O为参照绳抽出速度大为参照绳抽出速度大小为小为v1,方向如示方向如示: v2则环则环O对环对环O的速度大小为的速度大小为v1+v2,方向如示方向如

30、示: 这个速度是这个速度是O对对O沿绳沿绳“抽抽出出”速度速度和对和对O转动速度转动速度的合成的合成121coscosvv 由绳约束特征由绳约束特征:在同一时刻必具有相在同一时刻必具有相同的沿绳方向的分速度同的沿绳方向的分速度. 如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为为h轨道上有两个物体轨道上有两个物体和和，它们通过一根绕过定滑轮，它们通过一根绕过定滑轮的不可伸长的轻绳的不可伸长的轻绳相连接物体相连接物体在下面的轨道上以匀速率在下面的轨道上以匀速率v运动在轨道间的绳子与轨道成运动在轨道间的绳子与轨道成30角的瞬间，绳子角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴段的中点处有一与绳相对静止的小水滴与绳子分离，设绳与绳子分离，设绳长长B