流动传热与燃烧的数值计算2差分

1、第一章：离散化方法第一章：离散化方法离散化就是将原微分方程在整个求解域内所考虑的离散化就是将原微分方程在整个求解域内所考虑的物理量求解问题，转化为对求解域内有限个位置物理量求解问题，转化为对求解域内有限个位置（网格结点）上物理量的求解问题。（网格结点）上物理量的求解问题。用各网格用各网格结点上定义的离散状态量来代替在求解域内连续结点上定义的离散状态量来代替在求解域内连续分布的状态量分布的状态量。对于给定的微分方程，对应有不同的离散化方程，对于给定的微分方程，对应有不同的离散化方程，它们之间的差别是由于所取的分布以及推导离散它们之间的差别是由于所取的分布以及推导离散化方程的方法不同造成的。化方程

2、的方法不同造成的。1.1有限有限差分法差分法差分法的基本思想是用差商代替微商。差分法的基本思想是用差商代替微商。用差分法离散微分方程的具体方法有很多种，用差分法离散微分方程的具体方法有很多种，对同一微分方程可以建立不同的差分方程。对同一微分方程可以建立不同的差分方程。1.1.1差分方程的建立差分方程的建立以一维问题为例，设以一维问题为例，设x3-x2=x2-x1=x由由Taylor级数展开可得：级数展开可得：2233322322222331223222(1)2!3!(2)2!3!ddxdxxdxdxdxddxdxxdxdxdx L LL L则则 可以表示为：可以表示为：2ddx 3222123

3、122ddxxddxxddxx 向向前前差差分分或或向向后后差差分分或或中中心心差差分分则则 可以表示为：可以表示为：222ddx 23212222ddxx 中中心心差差分分1.1.2网格划分网格划分离散过程包括两个方面：离散过程包括两个方面：微分方程的离散化；微分方程的离散化； 求解域的离散化。求解域的离散化。设微分方程有两个自变量设微分方程有两个自变量x，t 。微分方程的解应是微分方程的解应是x和和t的函数的函数u(x,t)，而而差分法差分法（数值方法）求的是若干个离散点（数值方法）求的是若干个离散点（x=j x，t=nt ）上上u(x,t)的近似值的近似值 因此，首先要在求解域上指定一系

4、列离散点。因此，首先要在求解域上指定一系列离散点。nju一般取时间步长一般取时间步长t =const.，空间步长空间步长x =const.对于二维和三维问题，不要求对于二维和三维问题，不要求x = y= z。 tn=nt 和和xj=jx 的直线为网格线，其交点的直线为网格线，其交点( xj , tn)称为网格结点。称为网格结点。网格设计好之后，就可以把连续求解域上的微分方网格设计好之后，就可以把连续求解域上的微分方程离散化为有限个网格结点上的差分方程。程离散化为有限个网格结点上的差分方程。例：用差分法求解抛物型方程例：用差分法求解抛物型方程221200( ,0)( )(0, )( )( , )

5、( )xluutxtTu xf xuttu l tt 设：设： tn=nt ，xj=jx ，n=0,1,2,.,N，j= 0,1,2,.,J 点点( xj , tn)可以用可以用(j ,n)表示表示 u( xj , tn)用用 表示表示令微分方程中的一阶导数用向前差分，二阶导数用令微分方程中的一阶导数用向前差分，二阶导数用中心差分，则与原微分方程对应的差分方程为：中心差分，则与原微分方程对应的差分方程为：nju1112001221,2,1()1,2,()0,1,2,()1,2,()1,2,nnnnnjjjjjjnnJuuuuujJtxnNuf j xjJun tnNun tnN L LVVLV

6、VLVLVLVLVLVLVL1112(2)()nnnnnjjjjjtuuuuuFTCSx V VV V将将上上述述方方程程改改写写成成便便于于计计算算的的形形式式：格格式式1112(2)()nnnnnjjjjjtuuuuux V VV V若若微微分分方方程程中中的的时时间间导导数数用用向向后后差差分分，空空间间导导数数用用中中心心差差分分，则则与与原原微微分分方方程程对对应应的的差差分分方方程程为为：全全隐隐式式格格式式111122(2)()nnnnnjjjjjtuuuuux V VV V若若微微分分方方程程中中的的时时间间导导数数用用中中心心差差分分，空空间间导导数数也也用用中中心心差差分分

7、，则则与与原原微微分分方方程程对对应应的的差差分分方方程程为为：RichardsonRichardson格格式式显式格式：解可以由明显的公式计算出来，不需显式格式：解可以由明显的公式计算出来，不需要求解方程组。要求解方程组。FTCS隐式格式：解不能简单地求出，需要求解代数方隐式格式：解不能简单地求出，需要求解代数方程组。全隐式格式程组。全隐式格式1.1.3 1.1.3 差分方程的相容性差分方程的相容性用差分方程代替微分方程之后产生了一个问题，即用差分方程代替微分方程之后产生了一个问题，即所采用的差分方程是否逼近原来的微分方程？所采用的差分方程是否逼近原来的微分方程？相容性是差分方程的一个基本特

8、性，它既反映了差相容性是差分方程的一个基本特性，它既反映了差分方程是否收敛到相应的微分方程，也反映了截分方程是否收敛到相应的微分方程，也反映了截断误差。断误差。截断误差截断误差：用：用ujn代替代替 u(xj, tn) 的差分方程与在点的差分方程与在点 (xj, tn)处的微分方程之差。处的微分方程之差。 E=O(tq+xp)差分方程的精度差分方程的精度：如果：如果E=O(tq+xp)，则称此差，则称此差分方程对分方程对t是是q阶精度，对阶精度，对x是是p阶精度。阶精度。相容性相容性：如果当网格步长：如果当网格步长x0, t0时，差分时，差分方程的截断误差也方程的截断误差也E0 ，此时在每一网

9、格结，此时在每一网格结点上的差分方程与原微分方程是等同的，则该点上的差分方程与原微分方程是等同的，则该差分方程与相应的微分方程是相容的。差分方程与相应的微分方程是相容的。 12112222FTCS()2()()()0,00nnnjjjnnnnjjjjuuuotttuuuuoxxxEotxxtEFTCS V VV VV VV VVVVVVVVV以以格格式式为为例例：当当时时格格式式是是相相容容的的1.1.4 差分方程的收敛性差分方程的收敛性 差分方程能否应用，要看差分方程的近似解能否差分方程能否应用，要看差分方程的近似解能否任意地逼近微分方程的准确解。任意地逼近微分方程的准确解。首先要考虑差分方

10、程理论上的精确解能否任意地首先要考虑差分方程理论上的精确解能否任意地逼近微分方程的准确解，其次还要考虑求解差逼近微分方程的准确解，其次还要考虑求解差分方程过程中产生的误差。分方程过程中产生的误差。离散误差离散误差：差分方程的精确解：差分方程的精确解ujn与微分方程与微分方程的准确解的准确解 u(xj, tn) 之差。之差。 ejn =ujn - u(xj, tn)收敛性收敛性：如果当网格步长：如果当网格步长x0, t0时，任时，任何网格结点上的离散误差何网格结点上的离散误差ejn 0 ，即，即 ujn u(xj, tn)，则该差分方程是收敛的。，则该差分方程是收敛的。离散误差的大小与方程的截断

11、误差有关。离散误差的大小与方程的截断误差有关。在网格步长相同的情况下，截断误差的阶数提高在网格步长相同的情况下，截断误差的阶数提高会使离散误差会使离散误差ejn 减小。减小。对同一离散格式，网格加密也会使离散误差对同一离散格式，网格加密也会使离散误差ejn 减小。减小。 收敛性是讨论当收敛性是讨论当 x0, t0 时，差分方程的精时，差分方程的精确解是否收敛于原微分方程的准确解。确解是否收敛于原微分方程的准确解。相容性是讨论当相容性是讨论当x0, t0 时，差分方程是否时，差分方程是否逼近原微分方程，相容并不能保证收敛。逼近原微分方程，相容并不能保证收敛。11121211111211FTCS(

12、12 )()(12 )()(12 )()(,nnnnjjjjnnnnjjjjnnnjjjnnnjjjnnnnnjjjjjjntusus ususxusus usuotxteuueuuseuuu xsteseotxt V VV V%VVVVVV% % % %V V% %VVVV以以格格式式为为例例，讨讨论论其其收收敛敛性性其其中中设设则则设设则则为为微微分分方方程程的的准准确确解解， 1211111212(12 )(),(12)()()102nnnnjjjjnnnnjjnnjnneses eset otxEMax eEMax eeEssst otxEEt otxs VVVVVVVVVVVVVVV

13、VVV令令当当时时，有有即即00001221200()()0,0,0,0,00102jjjnnnjuueEEt otxEn t otxtxEsEEFTCS% %VVVVVVLVVVLVVVVVLVVL设设微微分分方方程程的的准准确确解解与与差差分分方方程程在在范范围围的的内内精精确确解解初初始始条条件件相相同同，即即当当时时，格格式式是是即即e e故故，收收敛敛的的。举例：对于举例：对于FTCS格式，当格式，当S=1, 1/2, 1/6时，考察结时，考察结点点xj=0.4，tn=8处的数值解，并与微分方程在该处处的数值解，并与微分方程在该处的准确解的准确解 u(0.4, 8)=45.03963

14、比较。比较。其中其中=0.01，l=1.0J xuS=1S=1/2S=1/650.21005046.84500100.11220047.5479145.49047150.06197 * 10645.6153045.23979200.0545.6643645.15231250.0445.2473845.11174500.0245.1394745.057661000.0145.0645945.044141.1.5 差分方程的稳定性差分方程的稳定性 求解差分方程的过程中不可避免地会引入误差（舍求解差分方程的过程中不可避免地会引入误差（舍入误差、初始误差等），入误差、初始误差等），稳定性讨论差分方程解

15、稳定性讨论差分方程解的误差在计算过程中的发展问题的误差在计算过程中的发展问题。稳定性稳定性：如果求解差分方程过程中引入的数值误差：如果求解差分方程过程中引入的数值误差在以后计算步逐步消失或保持有界，则称此差分在以后计算步逐步消失或保持有界，则称此差分方程是稳定的；如果引入的数值误差在以后计算方程是稳定的；如果引入的数值误差在以后计算步被逐渐放大，以致物理问题的解被完全破坏，步被逐渐放大，以致物理问题的解被完全破坏，则称此差分方程是不稳定的。则称此差分方程是不稳定的。 1.直观法（离散摄动法）直观法（离散摄动法）在某计算步引入误差（离散摄动）后，直接在某计算步引入误差（离散摄动）后，直接考察在以

16、后各计算步中差分方程对误差发考察在以后各计算步中差分方程对误差发展所起的作用。展所起的作用。以以FTCS格式为例，讨论其稳定性格式为例，讨论其稳定性：00001111110,()(12 )()()jnnjjjjjnnnjjjnjnnnnnnnnjjjjjjjjtuwwuwuwus us us u 假假设设：边边界界条条件件不不存存在在误误差差，时时引引入入一一初初始始误误差差 以以后后计计算算步步不不再再引引入入新新的的误误差差。令令为为差差分分方方程程的的精精确确解解，为为差差分分方方程程的的数数值值解解则则由由于于满满足足差差分分方方程程，则则：1111110100012110001110

17、00112(12 )(12 )0(12 )(12 )(12 )(12 )njnnnnjjjjnnnnjjjjjmmmmmmmmmmmmuusus ususssjmjmssssssssssss 由由于于是是差差分分方方程程的的精精确确解解，则则故故 误误差差传传播播方方程程设设 则则 其其余余全全部部为为零零：122111222321221112112121112111(12 )1011(12 )(12 )(24)(12 )146jmmmmmmmmmmmmmmssssssssssssssssss 要要使使再再由由误误差差传传播播方方程程可可知知：（）其其余余全全部部为为零零：222212(24)

18、1031461jssssss M M要要使使这这个个过过程程可可继继续续下下去去，在在许许多多时时间间层层以以后后，各各处处的的误误差差趋趋于于相相等等，但但可可能能正正负负号号相相同同，也也可可能能正正负负号号相相反反。：1111111111(12 )(12 )14 )14 )1102nnnjjjnnnnjjjjnnnjjjnnnnjjjjtn tssssssssstn ts L LL LL LL LV VV V若若时时正正负负，即即= = =由由误误差差传传播播方方程程可可得得，即即= =- -= =由由误误差差传传播播方方程程可可得得（若若时时正正负负号号相相同同稳稳定定性性对对 没没作

19、作任任（何何限限号号相相反反稳稳定定条条件件为为制制：1412us 假假设设 时时引引入入一一个个误误差差 ，以以后后计计算算步步不不再再引引入入新新误误差差时时的的误误差差传传播播差差分分方方程程稳稳定定j x0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0n tn j12345678910000.511.021/201/21.531/401/401/42.041/803/803/801/82.5501/403/801/401/160:s=1s=1时时的的误误差差传传播播差差分分方方程程不不稳稳定定j x0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0n tn j12

20、345678910000.511.02- 1.53-2 3 -2 2.04-3 6 -7 6 -3 2.55-4 10-16 19 -16 10 -4 2.Von Neumann方法（傅里叶级数法、分离变量法）方法（傅里叶级数法、分离变量法） 优点优点：寻求一般稳定性判据最常用的方法，使用方便：寻求一般稳定性判据最常用的方法，使用方便 可靠。可靠。局限性局限性：只能在常系数的线性初值问题中求稳定的充分：只能在常系数的线性初值问题中求稳定的充分必要条件，在实际变系数的非线性问题以及各种不同必要条件，在实际变系数的非线性问题以及各种不同边界条件的问题中，应用受到限制。边界条件的问题中，应用受到限制

21、。：111(12 )mjmjnnnnjjjjnjik xnnjmnjmik xnnjmmFTCSsssA eA e 以以格格式式为为例例误误差差传传播播方方程程为为：若若误误差差传传播播方方程程是是线线性性的的，可可由由傅傅氏氏分分量量迭迭加加得得到到即即 如如果果其其中中每每一一个个傅傅氏氏分分量量在在传传播播过过程程中中都都不不增增大大，则则此此差差分分方方程程是是稳稳定定的的。故故，现现考考察察其其中中任任一一傅傅氏氏分分量量的的传传播播情情况况。：11111Von11 Neumann1mjmjnjnjnik xnnjmmik xnnnjmmnmnmAeAAA eAGGA 如如果果差差分

22、分方方程程要要保保持持稳稳定定，则则每每一一结结点点处处前前后后两两个个时时间间步步的的误误差差之之比比即即令令放放大大因因子子（稳稳定定性性条条件件为为子子）则则：过过渡渡因因：()()1122(12 )()(12 )14 sin214 sin12102mjjjjjik xnnjmmikxik xxikxik xxnnnnnikxikxnFTCSA eAesA es A esA eAkxGs eessAkxGss VVVVVVVVV VV V以以格格式式为为例例将将代代入入误误差差传传播播方方程程（将将m m简简化化掉掉）则则令令可可得得稳稳定定条条件件为为1.1.6 收敛性与稳定性的关系，

23、收敛性与稳定性的关系，Lax等价等价定定理理收敛性和稳定性是两个不同的概念，分别属于离散化收敛性和稳定性是两个不同的概念，分别属于离散化过程和离散代数方程的求解过程。过程和离散代数方程的求解过程。收敛性分析比稳定性分析更困难，而收敛性与稳定性收敛性分析比稳定性分析更困难，而收敛性与稳定性有密切联系。有密切联系。njnjnjwuu% %微微分分方方程程准准确确差差分分方方程程数数离离散散差差分分方方误误差差舍舍值值解解入入、解解程程精精确确解解初初始始误误差差Lax等价定理等价定理：对于一个适定的线性偏微分方程的：对于一个适定的线性偏微分方程的初值问题和它的一个具有相容性的差分方程来说，初值问题

24、和它的一个具有相容性的差分方程来说，稳定性是收敛性的必要和充分条件稳定性是收敛性的必要和充分条件。适定的初值问题：解存在、唯一、并且连续依赖适定的初值问题：解存在、唯一、并且连续依赖于初值。于初值。 1.1.7 非线性问题的有限差分法非线性问题的有限差分法 一般求解方法：一般求解方法：1给出所有结点上给出所有结点上T的试探值的试探值2用试探值计算离散方程中的系数用试探值计算离散方程中的系数3求解名义上的线性方程组，得到新的求解名义上的线性方程组，得到新的T值值4用新的用新的T值作为较好的试探值值作为较好的试探值25若若T值不再产生大的变化值不再产生大的变化收敛，否则发散收敛，否则发散 22TT

25、TTtxx 1.1.8 关于对流项的迎风差分关于对流项的迎风差分（upwind difference scheme） 1.迎风差分的基本思想迎风差分的基本思想 迎风迎风迎着来流（从上游）获取信息，来构迎着来流（从上游）获取信息，来构造对流项的离散格式。造对流项的离散格式。 11100(),iiiiuxxuxxEox V VV VV V当当时时，当当时时，上上述述两两种种差差分分格格式式是是一一阶阶迎迎风风格格式式。2.对流项离散格式的对流项离散格式的迁移性迁移性如果对流项的某种离散格式能使扰动仅沿着流动方如果对流项的某种离散格式能使扰动仅沿着流动方向传递，则称此离散格式具有迁移特性。向传递，则

26、称此离散格式具有迁移特性。000utx 例例：分分析析一一维维非非稳稳态态对对流流方方程程的的迁迁移移性性假假设设初初始始时时刻刻 处处处处相相等等，且且。从从某某一一时时刻刻（第第n n层层）开开始始，某某一一结结点点i i上上突突然然有有了了一一个个扰扰动动 ，而而其其余余各各点点的的扰扰动动均均为为 。1111111111110()110nnnniiiinnnniiiininniixuuEottxniutxu tu txx V VVVVVVVVVQ QVVVVVVVVV V扰扰动动随随时时间间推推移移的的传传递递情情况况是是由由差差分分方方程程决决定定的的。（ ）假假设设，一一阶阶迎迎风风差差分分对对层层结结点点的的影影响响：1111212111100nnnniiiinniininiutx VVVVQ Q同同样样， 对对层层结结点点的的影影响响：这这表表明明扰扰动动仅仅沿沿流流动动方方向向传传递递，即即对对流流项项的的一一阶阶迎迎风风格格：式式具具有有迁迁移移性性。12111112211120()2112022nnnniiiinnnniiiinniinniiuuEoxtxniutxu tu txx V VVVVVVVVVQ QVVVVVVVV（ ）假假设设，中中心心差差分分对对层层结结点点的的影影响响：11121211112022nnnniii