典型环节的频率特性

1、 5-2 典型环节频率特性的绘制典型环节频率特性的绘制一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图） 以角频率为参变量，根据系统的幅频特性 和相频特性 在复平面 上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率当角频率从从0 0到无穷变化时，矢量到无穷变化时，矢量 的矢的矢端在端在 平面上描绘出的曲线。平面上描绘出的曲线。 自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法（极坐标图和伯德图）。)(jG)(jG)(jGjejG)()(jG（一）（一） 放大环节（比例环节）放大环节（比例环

2、节）KjG)(KsG)(放大环节的传递函数为 其对应的频率特性是KjG)(0)(jG其幅频特性和相频特性分别为. 00mIKeR 放大环节的频率响应频率特性如图所示。放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。（二）（二） 积分环节积分环节 积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 ssG1)(jjG1)(11)(jjG0900)(arctgjG 积分环节的频率响应eRmI0G0901 频率特性如图所示。由图可知，积分环节的相频特性等于 -900 ，与角频率无关，表明积分环节对正弦输入信号有900的滞

3、后作用；其幅频特性等于 ，是的函数， 当由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。（三）（三） 惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性 幅频特性和相频特性分别是11)(TssG11)(jTjG2211)(TjGarctgTjG)(01)0(jG00)0(jGT1707.021)1(TjG045)1(TjG0)(jG090)(jG 当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的半个圆周)(jG222211111)(TTjTjTjG)(11)(Re22uTjG证明证明:)(1)(Im22vTTjG2222222222112111)(21)(TTTvu 是一个标准圆方

4、程，其圆心坐标是 ，半径为 。且当由 时， 由 ，说明惯性环节的频率特性在 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。0,21210)(jG900)(jG 惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为90 。推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即其频率特性是圆心为 ，半径为 的实轴下方半个圆周。1)(jTKjG0,2K2K 惯性环节的频率响应045010.5T/1mI G0eR ( (四）四） 振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数是 频率特性 幅频

5、特性和相频特性分别为2212)(TTarctgjG121)(22TssTsGTjTTjTjG2)1 (1121)(22222222224)1 (1)(TTjG)1(12180)(22TTTarctgjG)10(12)(22TTTarctgjG 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。1)0(jG21)1(TjG000)0(jGT1090)1(TjG0)(jG()180G j 振荡环节为相位滞后环节，最大滞后相角是1800。)(jG 当振荡环节传递函数的分子是常数K时， 对应频率特性 的起点为12)(22TssTKs

6、G000)0(,)0(jGKjGnrM0nnr0mIr1eR G 振荡环节的频率响应n)1(rrMMrr)(jGrM将 代入 得到谐振峰值 为)210(121)(2rrjGM2021arcsin9021)(arctgjGrr将 代入 得到谐振相移r为r)(jG041)(222222TTddjGdd)210(2121122nrT 阻尼比较小时，会产生谐振阻尼比较小时，会产生谐振 谐振峰值 和谐振频率 ，如何求？ 振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在 的范围内，随着的增加， 缓慢增大；当 时， 达到最大值 ；当 时，输出幅值衰减很快。)(Mr)(MrMr 当阻尼比 时，此时振荡环节可等效成两个不同时

7、间常数的惯性环节的串联， 即11111)(21sTsTsGT1，T2为一大一小两个不同的时间常数，小时间常数对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的影响较小。1)(M0rrM 振荡环节的频率响应1r0（五）（五） 一阶微分环节一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为 其中为微分时间常数、1为比例项因子，严格说，上式表示的是一阶比例微分环节，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比例项）是不存在的，故用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。1)(ssG1)(jjG幅频特性和相频特性分别为一阶微分环节的频率特性为1)(22jGarctgjG)(01)0(jG00)0(jG12)1(jG045)1

8、(jG)( jG090)(jG 频率特性如图所示。是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。1eR0mIG0G 一阶微分环节的频率响应当 时， ， 当 时， ， 当 时，（六）（六） 二阶微分环节二阶微分环节 频率特性 幅频特性和相频特性分别为 12)(22jjG22222241)(jG）（2212)(arctgjG01)0(jG00)0(jG12)1(jG090)1(jG )( jG0180)(jG 二阶微分环节频率特性图1)1(2mIeR00G 二阶微分环节是相位超前环节，最大超前相角为180o。)1(12180)(22arctgjG11)

9、(TssG11)(jTjG（七）（七） 不稳定环节不稳定环节 传递函数为 有一个正实极点，对应的频率特性是幅频特性和相频特性11)(22TjGarctgTTarctgjG01801)(01)0(jG0180)0(jGT121)1(TjG0135)1(TjG0)(jG090)(jG0ImRe0 不稳定惯性环节的频率特性与惯性环节比较与惯性环节比较 其对应的频率特性是jejG)(1)(jGsesG)(（八）（八） 滞后环节的传递函数滞后环节的传递函数 滞后环节的传递函数为0mIj0eR11jG 滞后环节频率特性图（度）弧度）3 .57()(jG滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。幅

10、频特性和相频特性分别为二、典型环节频率特性的伯德图二、典型环节频率特性的伯德图 伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性。 两个坐标平面横轴（轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，表示幅值的分贝数 对数相频特性的纵轴也是线性分度，表示相角的度数 )()(lg20)(dBjGL（度）)()(jG02040-40-20)(L0.010.1110100045o90o-90o-45o)(0.010.1110100dB两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相

11、角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。 （4） 横轴（轴）用对数分度，扩展了低频段，同时兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。 用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节） 的幅值和相角与频率之间的关系更清晰；)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)()()()()()()()()(212121jGjGjGjGLjGjGjGjGjGjGjGjGnnn （2） 幅值用分贝数表示，将串联环节的幅值相乘变为相加，简化计算；（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图简单方便； 放大环节的频率特性为 其幅频特性是 对数幅频特性为 )0()(KKjGKj

12、G)(KjGlg20)(lg20K1，20lgK0，位于横轴上方；K=1，20lgK=0，与横轴重合；K1，20lgK0，位于横轴下方。（一）放大环节（比例环节）（一）放大环节（比例环节） 放大环节的对数幅频特性如图，是一条与角频率无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。 当有n个放大环节串联时，即 幅值的总分贝数为 10101020Klog20dB)(L1010010001001000000900900180度）（10 放大环节的Bode图nKKKjG.)(21nKKKjGlg20.lg20lg20)(lg2021放大环节的相频特性是 如图所示，它是一条与角频率无关且与轴重合的直线。0

13、0)(jG（二）积分环节（二）积分环节 积分环节的频率特性是 其幅频特性为 对数幅频特性是 jjG1)(1)(jGlg201lg20)(lg20jG1 . 0)(201 .0lg20)1 .0(lg20dBjG1)(01lg20) 1(lg20dBjG10)(2010lg20)10(lg20dBjG设 ，则有 可见，其对数幅频特性是一条在=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec ）变化的直线。10lg202010lg20lg2001. 01 . 0110000900900180度）（ 积分环节的Bode图604002020dB)(L01. 0

14、1 . 01decdB/2010是一条与无关，值为-900且平行于轴的直线。积分环节的对数幅频特性和相频特性如图所示。090)(jG积分环节的相频特性是n个积分环节串联时，即 对数幅频特性对数幅频特性njjG)(1)(lg201lg20)(lg20njGn 两个积分环节串联的Bode图090001 . 010180090度）（01. 0040decdB/40dB)(L01. 01 . 0110是斜率为-n20dB/dec，在=1处过零分贝线（轴）的直线。090)(njG是一条与无关，值为-n900且与轴平行的直线。 相频特相频特性性当 时， 当 时， 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，

15、22221lg2011lg20)(lg20TTjGT1T1)(01lg20)(lg2022dBTjG)(lg201lg20)(lg2022dBTTjGT1T1 两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。（三）（三） 惯性环节惯性环节 惯性环节的频率特性是 其对数幅频特性是11)(jTjG)(32lg201lg20122dBTT 显然，距离转折频率 愈远 ，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。等于转折频率 时，误差最大，最大误差为T1)11(TT或T1渐近特性decdB/20精确特性 惯性环节

16、的Bode图)()(Ldb1001020T1201T1101T151T1T12T110T12000045090 时的误差是 时的误差是 误差曲线对称于转折频率 T121)(97. 025lg201lg2012122dBTTT12)(97. 02lg205lg20)lg20(1lg20121222dBTTTTT1db01234T1101T151T121T1T12T15T110误差修正曲线 惯性环节的相频特性为 当 时， 当 时， 当 时， 相频特性曲线如图, 是一条由00至-900范围内变化的反正切函数曲线，且以 和 的交点为斜对称。TarctgjG)(000)0(jGT1045)1(TjG09

17、0)(jGT1045)(jG渐近特性decdB/20精确特性)(Ldb1001020T1201T1101T151T1T12T110T120 惯性环节的Bode图)(00045090 对数幅频特性 如图，渐近线的转折频率为 ，此处渐近特性与精确特性的误差为 ，误差范围与惯性环节类似。 1)(jjG1lg20)(lg2022jG1)(01lg2022dB1)(lg201lg2022dB1arctgjG)(（四）（四） 一阶微分环节一阶微分环节 频率特性为dB32lg2011001101110111001)(度09004500 一阶微分环节的Bode图20100db)(L11001110111101

18、100decdB/20渐近特性精确特性一阶微分环节的相频特性如图，相角变化范围是 00 至 900，转折频率 处的相角为450。与惯性环节Bode 图相比，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性以横轴（轴）为对称。190)( jG45)1(jGT1, 00)0( jG相频特性TjTjG2)1 (1)(222222224)1 (lg20)(lg20TTjGT1)(04)1 (lg20222222dBTTT1)(lg404)1 (lg20222222dBTTT（五）（五） 振荡环节振荡环节振荡环节的频率特性是对数幅频特性为0decdB/404020dB)(L 高频渐近线T1101T1T11

19、0低频渐近线 振荡环节渐近线对数幅频特性 误差分析误差分析：当 时， ，它是阻尼比的函数；且以转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。误差曲线如图所示。T12lg204)1 (lg201222222TTT振荡环节的误差曲线经过修正后的对数幅频特性曲线如图所示。 由图可知，振荡环节的对数幅频特性在转折频率 附近产生谐振峰，这是该环节固有振荡性能在频率特性上的反映。前面已经分析过，谐振频率r和谐振峰Mr分别为 db)(L20040T1101T1T11005. 00 . 15 . 0decdb/40 振荡环节对数幅频率特性图T1)210(212nr2121)(rrjGM阻尼比愈小，谐振频率r愈接近无阻尼自然振荡频率n，当=0时，r=n 当 时， 当 时， 当 时， 振荡环节相频特性也是阻尼比的函数，随阻尼比变化，相频特性在转折频率 附近的变化速率也发生变化，阻尼比越小，变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比的相频特性如图所示。000)0(jGT1090)1(TjG0180)(jG000900180n101Tn1n1005. 00 . 1 振荡环节对数相频特性图221