第05章恒定磁场(2)

1、5-3 磁磁 位位 矢量磁位与电位不同，它矢量磁位与电位不同，它没有没有任何物理意义，仅是一个任何物理意义，仅是一个计算辅助量计算辅助量。已知已知 ，那么，那么0A2AAA 求得求得2AB 2 0AJ 当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，需要导出矢量磁位应该满足的需要导出矢量磁位应该满足的微分方程微分方程。前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解特解自由空间中的解。自由空间中的解。20A可见，矢量磁位可见，矢量磁位 满足满足矢量泊松方程矢量泊松方程。A已知矢量

2、磁位已知矢量磁位 与磁感应强度与磁感应强度 的关系为的关系为 BAAB在在无源区无源区中，中， ，则上式变为下述，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 0J 一、矢量磁位一、矢量磁位 A ()SdSA已知磁通表达式为已知磁通表达式为 ，那么，那么 SB dS 0mB 式中标量式中标量 m 称为称为标量磁位标量磁位。因。因 ，由上式得，由上式得 0B0m2再利用斯托克斯定理，得再利用斯托克斯定理，得 lA dl二、标量磁位二、标量磁位 m 在在无源区无源区中，因中，因 ，得，得 。可见，无源区中磁感应强度。可见，无源区中磁感应强度 是无是无旋的。旋的。 因此，无源区中磁感应强度因此，无

3、源区中磁感应强度 可以表示为一个标量场的梯度，令可以表示为一个标量场的梯度，令 0B0J BB由此可见，利用矢量磁位由此可见，利用矢量磁位 计算磁通十分简便。计算磁通十分简便。 A 已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分坐标分量量的的标量标量方程。因此，前述的分离变量法可用于求解矢量磁位方程。因此，前述的分离变量法可用于求解矢量磁位 的各个直角的各个直角坐标分量所满足的坐标分量所满足的标量标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，泊松方程及拉普拉斯方程。此外，镜像法镜像法也可适用于也可适用于求解恒定磁场的求解恒定磁场的边值

4、边值问题。问题。A可见，可见，标量磁位标量磁位满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即求解标量磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。可求出磁感应强度。注意，注意，标量磁位的应用仅限于标量磁位的应用仅限于无源区无源区。5-4 介质的磁化介质的磁化 电子围绕原子核电子围绕原子核旋转旋转形成一个闭合的形成一个闭合的环形电流环形电流，这种环形电流相当于一个，这种环形电流相当于一个磁偶极子磁偶极子。电子及原子核本身。电子及原子核本身自旋自旋也相当于形成也相当于形成磁偶极子磁偶极子。媒媒 质质合

5、成场合成场Ba+ Bs磁磁 化化二次场二次场Bs外加场外加场Ba 当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种现象称为种现象称为磁化磁化。 由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零零，对外不显示磁性。对外不显示磁性。 与极化现象不同，磁化结果使媒质中的与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能合

6、成磁场可能减弱减弱或或增强增强，而介质极化总是，而介质极化总是导致合成电场导致合成电场减弱减弱。 根据磁化过程，媒质的磁性能分为根据磁化过程，媒质的磁性能分为抗磁性抗磁性 、顺磁性顺磁性、铁磁性铁磁性及及亚铁磁性亚铁磁性等。等。 抗磁性。抗磁性。 在正常情况下，原子中的合成磁矩为在正常情况下，原子中的合成磁矩为零零。当外加磁场时，电子除了仍然自。当外加磁场时，电子除了仍然自旋及轨道运动外，旋及轨道运动外，轨道还要围绕外加磁场发生运动，这种运动方式称为轨道还要围绕外加磁场发生运动，这种运动方式称为进动进动。 电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场的方

7、向向相反相反，导致媒质中合成磁场，导致媒质中合成磁场减弱减弱。因此，这种磁性能。因此，这种磁性能称为称为抗磁性抗磁性，如，如银银、铜铜、铋铋、锌锌、铅铅及及汞汞等。等。Bt 顺磁性。顺磁性。在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，宏观的合在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子成磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子进动进动以外，磁偶极子的磁以外，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场增强，这种磁性能称为矩方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场增强，这种磁性能称为顺磁顺磁性性。如。如铝铝、锡锡、镁镁、钨钨、铂

8、铂及及钯钯等。等。 铁磁性。铁磁性。内部存在内部存在“磁畴磁畴”，每个，每个“磁畴磁畴”中磁矩方向相同，但是各个中磁矩方向相同，但是各个“磁畴磁畴”的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个的磁矩方向杂乱无章，对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个“磁畴磁畴”方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生方向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生很强很强的磁性。例如的磁性。例如铁铁、钴钴、镍镍等。这种铁磁性媒质的磁性能还具有等。这种铁磁性媒质的磁性能还具有非线性非线性，且存在，且存在磁滞磁滞及及剩磁剩磁现象。现象。 亚铁磁性亚铁磁性。是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些，但剩磁

9、小，是一种金属氧化物，磁化现象比铁磁媒质稍弱一些，但剩磁小，且且电导率很低电导率很低，这类媒质称为，这类媒质称为亚铁磁媒质亚铁磁媒质。例如。例如铁氧体铁氧体等。由于其电导率很低，等。由于其电导率很低，高频电磁波可以高频电磁波可以进入内部进入内部，产生一些可贵的特性，使得铁氧体在，产生一些可贵的特性，使得铁氧体在微波器件微波器件中获中获得广泛的应用。得广泛的应用。 磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的单位体积中磁矩的矢量和称为矢量和称为磁化强度磁化强度，以，以 M 表示，即表示，即1 NiimMV式中式中 为为 中第中第 i

10、 个磁偶极子具有的磁矩。个磁偶极子具有的磁矩。 为物理无限小体积。为物理无限小体积。 imVV 0 0n( )( )( )dd44VSM reM rA rVSrrrr xPzyrdVOVrr - rS第一项为第一项为体分布体分布的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为面分布面分布的磁化的磁化电流产生的矢量磁位，因此两种电流产生的矢量磁位，因此两种磁化电流密度与磁化强度的关系为磁化电流密度与磁化强度的关系为 JM SnJMe 磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化电流磁化电流。形成磁化电流。形成磁化电流的电子仍然被束缚在原

11、子或分子周围，所以磁化电流又称为的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为束缚电流束缚电流。磁化。磁化电流密度以电流密度以 表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢量磁位与磁化表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢量磁位与磁化强度强度 的关系为的关系为JMxyzlP(0,0, z)0asJ解解 取圆柱坐标系，令取圆柱坐标系，令 z 轴与圆柱轴线一致，如图示。轴与圆柱轴线一致，如图示。 由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因此，此， ，即，即体分布体分布的磁化电流密度为零。的磁化电流密度为零。 0JM 又知又知表面表面磁化电流密度磁化电流密度

12、SnJMe 式中式中en 为表面的外法线方向上单为表面的外法线方向上单位矢量。因位矢量。因 ，所以表面磁化电流，所以表面磁化电流密度密度 仅存在于圆柱仅存在于圆柱侧壁侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此，上下端面的磁化电流密度为零。因此zMe MSJ例例 已知半径为已知半径为a，长度为，长度为 l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化均匀磁化。若磁化强度为若磁化强度为 ，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径 P 点处由磁化电点处由磁化电流产生的磁感应强度。流产生的磁感应强度。 M2 03dd2()za MBezzz那么

13、侧壁上全部磁化电流在轴线上那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z 处产生的合成磁感应强度为处产生的合成磁感应强度为 22 00322 0111d2()4()lzza Ma MBezezzzlzSnzrJMeMeeMe xyzlP(0,0, z)zdz0asJ显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于 z 处宽度为处宽度为dz 的环形电流为的环形电流为( dz) ，那么该环形电流在，那么该环形电流在轴线上轴线上 z 处处(z a)产生的磁感应强度产生的磁感应强度 为为 JSdB5-5 介质中的恒定磁场介质中的恒定磁场 0d()lBlII 0dlBM

14、lI考虑到考虑到 ，求得，求得 dIMl l 0BMH令令则有则有dlHlI利用斯托克斯定理，由上式求得利用斯托克斯定理，由上式求得 HJ该式称为该式称为媒质中媒质中安培环路定律的微分形式。它表明安培环路定律的微分形式。它表明媒质中媒质中某点某点磁场强度的旋磁场强度的旋度等于度等于该点该点传导电流密度传导电流密度。式中式中 称为称为磁场强度磁场强度，其单位是，其单位是A/m。上式称为。上式称为媒质中媒质中安培环路定律安培环路定律。它表明。它表明媒质中的磁场强度沿媒质中的磁场强度沿任一任一闭合曲线的环量等于闭合曲线包围的闭合曲线的环量等于闭合曲线包围的传导传导电流。电流。H 磁化媒质内部的磁场相

15、当于磁化媒质内部的磁场相当于传导传导电流电流 I 及及磁化磁化电流电流 I 在真空中产生的在真空中产生的合成磁场。这样，磁化媒质中磁感应强度合成磁场。这样，磁化媒质中磁感应强度 沿任一闭合曲线的环量为沿任一闭合曲线的环量为B 磁化电流并不影响磁场线处处磁化电流并不影响磁场线处处闭合闭合的特性，媒质中磁感应强度通过任一的特性，媒质中磁感应强度通过任一闭合面的通量仍为零，因而闭合面的通量仍为零，因而磁感应强度磁感应强度的散度仍然处处为零，即的散度仍然处处为零，即 d0BSS0B 磁场强度仅与磁场强度仅与传导传导电流有关，简化了媒质中磁场强度的计算，正如使用电流有关，简化了媒质中磁场强度的计算，正如

16、使用电通密度电通密度可以简化介质中静电场的计算一样。可以简化介质中静电场的计算一样。mMH式中比例常数式中比例常数 m 称为称为磁化率磁化率。磁化率可以是。磁化率可以是正正或或负负实数。实数。 考虑到考虑到 ，则由上式求得，则由上式求得 0BMH 0m(1)BH)1 (m0 令令BH则则m0 r 1式中式中 称为称为磁导率磁导率。 相对磁导率相对磁导率 r 定义为定义为 对于大多数媒质，磁化强度对于大多数媒质，磁化强度 与磁场强度与磁场强度 成正比，即成正比，即MH 但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱均很微弱，因此，可以，因此，可以认为

17、它们的相对磁导率基本上等于认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常显著，其磁。铁磁性媒质的磁化现象非常显著，其磁导率可以达到导率可以达到很高很高的数值。的数值。抗磁性抗磁性媒质磁化后使磁场媒质磁化后使磁场减弱减弱，因此，因此1 , , 0r 0 m顺磁性顺磁性媒质磁化后使磁场媒质磁化后使磁场增强增强，因此，因此1 , , 0r 0 mr r r 媒质媒质媒 质金金0.9996铝铝1.000021 镍镍 250银银0.9998镁镁1.000012 铁铁4000铜铜0.9999钛钛1.000180磁性合金磁性合金105 与介质的电性能一样，媒质的磁性能也有与介质的电性能一样，媒质

18、的磁性能也有均匀与非均匀均匀与非均匀，线性与非线性线性与非线性、各向同性与各向异性各向同性与各向异性等特点。等特点。 11 12 13 21 22 23 31 32 33BH 对于磁性能对于磁性能均匀均匀、线性线性、各向同性各向同性的媒质，由于磁导率与空间坐标无关，的媒质，由于磁导率与空间坐标无关，因此得因此得 d lBlI BJ d0HSB0H又知又知 ，由亥姆霍兹定理得，由亥姆霍兹定理得 BJ( )( )d4VJ rA rVrr 若媒质的磁导率若媒质的磁导率不随空间不随空间变化，则称为磁性能变化，则称为磁性能均匀均匀媒质，反之，则称为磁媒质，反之，则称为磁性能性能非均匀非均匀媒质。若磁导率

19、与外加磁场强度的媒质。若磁导率与外加磁场强度的大小大小及及方向方向均无关，磁感应强度均无关，磁感应强度与磁场强度成与磁场强度成正比正比，则称为磁性能，则称为磁性能各向同性各向同性的的线性线性媒质。磁性能媒质。磁性能各向异性各向异性的媒的媒质，其磁导率具有质，其磁导率具有9个分量，个分量， 与与 的关系的关系为为BH它所满足的微分方程式为它所满足的微分方程式为 2 AJ 上述结果表明，对于上述结果表明，对于均匀、线性、各向同性均匀、线性、各向同性媒质，只媒质，只要真空磁导率要真空磁导率 0 换为媒质磁导率换为媒质磁导率 ，各个方程即可适，各个方程即可适用。用。 5-6 恒定磁场的边界条件恒定磁场

20、的边界条件 推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下：推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下： 12B2H1B1H2en(1) 当边界上当边界上不存在表面电流不存在表面电流时，磁场强度时，磁场强度的切向分量是连续的，即的切向分量是连续的，即 2t1tHH对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，上式又可表示为媒质，上式又可表示为2 2t1 1tBB(2) 磁感应强度的磁感应强度的法向分量法向分量是连续的，是连续的， 即即 2n1nBB对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，由上式求得媒质，由上式求得n22 n11 HH 由上可见，边界两侧磁场强度及磁感应强度的由上可见，边界两侧磁场强度及磁

21、感应强度的大小大小及及方向方向均要发生变化。均要发生变化。这种不连续性是由于边界上存在的这种不连续性是由于边界上存在的表面磁化电流表面磁化电流引起的。引起的。边界上磁感应强度的切向分量与磁化电流的关系为边界上磁感应强度的切向分量与磁化电流的关系为 sJBB0 2t1t 考虑到回路方向与回路界定的有向面方向形成右旋关系，上式又可写成考虑到回路方向与回路界定的有向面方向形成右旋关系，上式又可写成矢量形式矢量形式12()nsMMeJ12enet1M2MsJsJMM2t1t得得 磁导率为磁导率为无限大无限大的媒质称为的媒质称为理想导磁体理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁。在理想导磁体中不可能存在磁

22、场强度，否则，由式场强度，否则，由式 可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。能的。 BH 边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，在理想边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，在理想导磁体表面上导磁体表面上不可能不可能存在磁场强度的切向分量，即存在磁场强度的切向分量，即磁场强磁场强度必须垂直于理想导磁体表面度必须垂直于理想导磁体表面。 H例例1 在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N 匝线圈，

23、如图匝线圈，如图示。当线圈中的恒定电流为示。当线圈中的恒定电流为 I 时，若忽略散逸在线圈外的时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求漏磁通，试求磁芯磁芯及及气隙气隙中的磁感应强度及磁场强度。中的磁感应强度及磁场强度。 解解 忽略漏磁通，磁感应强度的方向沿环形圆周。由边界条件知，气隙中磁忽略漏磁通，磁感应强度的方向沿环形圆周。由边界条件知，气隙中磁感应强度感应强度Bg等于磁芯中的磁感应强度等于磁芯中的磁感应强度Bf ，即，即0 gfgfBBHH 围绕半径为围绕半径为r0的圆周，利用媒质中的安培环路定律，的圆周，利用媒质中的安培环路定律，且考虑到且考虑到 r0 a ， 可以认为线圈中磁场均匀分布，则

24、可以认为线圈中磁场均匀分布，则 dHlNINIdrBdB) 2(0f0 g考虑到考虑到 ，得，得 gfBB 0 00 (2 )gfNIBBedrd 气隙中的磁场强度气隙中的磁场强度Hg 为为 gg 0 00 (2 )BNIHedrd磁芯中的磁场强度磁芯中的磁场强度 Hf 为为 0 00 (2 )ffBNIHedrd例例2 设一根载有恒定电流设一根载有恒定电流 I 的的无限长无限长导线与无限大的导线与无限大的理想导磁平面理想导磁平面平行放置，平行放置，如图示。导线与平面间的距离为如图示。导线与平面间的距离为 h ，试求上半空间任一点磁场强度。，试求上半空间任一点磁场强度。 Xhyx = 0IO解解 采用镜像法。设在镜像位置放置一根无采用镜像法。设在镜像位置放置一根无限长的恒定电流限长的恒定电流 I ，那么上半空间任一点，那么上半空间任一点合成磁场强度为合成磁场强度为 122 2 IIHHHeerr 理想导磁体表面的磁场强度的切向分量必须为零，为了满足这个边界条理想导磁体表面的磁场强度的切向分量必须为零，为了满足这个边界条件必须要求件必须要求 I