大学物理上,质点运动学1-2 描述运动的物理量

1、12描述运动的物理量描述运动的物理量r r drdt 22d rdt 位置矢量位置矢量 位移矢量位移矢量 速度矢量速度矢量 加速度矢量加速度矢量3OP运动学的第一个问题就是描述质点的空间位置。运动学的第一个问题就是描述质点的空间位置。选择参照系，选择参照系，选择一个参照点，标记为选择一个参照点，标记为O。 连接连接O 与此时被考察质点的位置与此时被考察质点的位置P 41 ） 位置矢量位置矢量 （Position Vector ) *Pxyzxzyokzj yixr222rrxyz位矢位矢 的的大小大小为为r 确定质点确定质点P某一时刻在某一时刻在坐标系里的位置的物理量称坐标系里的位置的物理量称

2、位置矢量位置矢量, 简称简称位矢位矢 。r式中式中 、 、 分别为分别为 x、y、z 方向的方向的单位矢量单位矢量。ijk(x, y, z)ijkr在直角坐标系中：在直角坐标系中：5rxcosrzcosrycos位矢位矢 的的方向方向余弦：余弦：rPPrxzyoxzyo2） 运动方程运动方程)(tr)(tx)(ty)(tz运动方程运动方程：质点位置坐标：质点位置坐标随时间变化的函数关系。随时间变化的函数关系。cos2 + cos2 + cos2 = 1 它包含了质点运动的全部信息。它包含了质点运动的全部信息。 )(=trr6例：例：斜抛运动斜抛运动 分量（投影）式：分量（投影）式：( )( )

3、( )xx tyy tzz t00200cos1sin2xxv tyyv tgt 例例: 匀速率圆周运动：匀速率圆周运动：cossinxRtyRt 从中消去参数从中消去参数 得得轨迹方程。轨迹方程。 tktzjtyitxtrr)()()()( 在直角坐标系中，在直角坐标系中，运动方程运动方程为：为：71） 位移位移（Displacement ）xyoBBrArArArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy rrrABABrrr 经过时间间隔经过时间间隔 后，质点位置发生变化，后，质点位置发生变化， 由始由始点点 A 指向终点指向终点 B 的有向线段的有向线段 AB 称为称为点点 A

4、 到到 B 的位的位移矢量移矢量 。 位移矢量位移矢量也简称也简称。 tr2 位移和速度位移和速度()( )rr ttr t 8222zyxr位移的大小位移的大小为：为：ArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy jyixrAAAjyixrBBBjyyixxrABAB)()(ABrrr所以所以位移位移： 若质点在若质点在三维三维空间中运动，空间中运动，则在直角坐标系则在直角坐标系 中其位中其位移为：移为：OxyzkzzjyyixxrABABAB)()()( 路程路程（ ）：质点实际运动轨迹的长度。）：质点实际运动轨迹的长度。s又：又： S9222zyxrrr212121zyx222

5、222zyxr位移的物理意义位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间确切反映物体在空间位置的变化位置的变化, 与路径无关，与路径无关，只决定于质点的始末位置。只决定于质点的始末位置。B）反映反映了运动的矢量性了运动的矢量性和叠加性。和叠加性。s),(1111zyxP),(2222zyxP)(1tr1P)(2tr2Pr注意注意位矢长度的变化位矢长度的变化xyOzkzj yi xrr10位移与路程位移与路程 （B） 一般情况一般情况, 位移位移大小不等于路程。大小不等于路程。rs （D）位移是矢量）位移是矢量, 路程是标量。路程是标量。s（C）什么情况）什么情况 ？sr或当或当 时时 。0tsr讨

6、论讨论 （A）P1P2 两点间的路程两点间的路程 是是不唯一的不唯一的, 可以是可以是 或或 而位移而位移 是唯一的。是唯一的。rss不改变方向的直线运动不改变方向的直线运动;srP1P2即，即，drds112） 速度（速度（Velocity ）（1）平均速度）平均速度)()(trttrr 在在 时间内时间内, 质点从点质点从点A 运动到点运动到点 B, 其位移为其位移为tt时间内时间内, 质点的质点的平均速度：平均速度：2121rrtt rvtr)(ttrB)(trAxyos与与 同方向。同方向。rv平均速度是矢量，平均速度是矢量，平均速率：平均速率：tsv是标量。是标量。显然：显然： 12

7、（2） 瞬时速度（瞬时速度（Instantaneous Velocity ） 当当 时平均速度的极限值叫做时平均速度的极限值叫做瞬时速度瞬时速度, 简称简称速度速度。0ttrtrtddlim0v方向：方向：为为 的极限方向的极限方向r 当质点做曲线运动当质点做曲线运动时时, 质点在某一点的质点在某一点的速度速度方向方向就是沿该点就是沿该点曲线的曲线的切线方向。切线方向。13xyij vvddddxyijtt 若质点在若质点在三维三维空间中运动，其速度为：空间中运动，其速度为：ddddddxyzijkttt v在直角坐标中：在直角坐标中：ddrt vxyovyvxvxyijk zvvv222 d

8、tdzdtdydtdx 速度的大小为速度的大小为：14速度速度 的大小为的大小为：vdddrrtdt vsrdd当当 时时,0ttddets vddstv，瞬时速率瞬时速率为为 t 0 时时平均速率平均速率的极限，简称的极限，简称速率速率。tststdd=lim=0 15讨论讨论 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点的端点处，其速度大小为：处，其速度大小为：),(yxrtrddtrdd（A）（B）（B）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）16例：例： 设质点的运动方程为设质点的运动方程为 其中其中求：求：1） 时的速度。时的速度。2） 质点的质点的轨迹

9、方程。轨迹方程。( )2,x tt 21( )24y tt 3st ( )( )( ) ,r tx t iy t j 解：解： 1）由题意可得速度分量分别为：由题意可得速度分量分别为：速度速度 与与 轴之间的夹角：轴之间的夹角：vx1.5arctan56.31 11.5ijv3 st 时速度为：时速度为：（SI）,/1smdtdxx tdtdyy21 速度的大小为：速度的大小为：,/8 . 1=5 . 1+1=+=2222smyx17（2） 运动方程：运动方程：( )2x tt 214( )2y tt由运动方程消去参数由运动方程消去参数 可得可得轨迹方程轨迹方程为：为：t/mx/my0轨迹图轨

10、迹图246- 6- 4- 22460ts2ts2ts4ts4t213(m)4yxx 18h0vl 例：例：湖中有一小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船。湖中有一小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船。已知：滑轮距水面高度为已知：滑轮距水面高度为h，到原船位置的绳长为，到原船位置的绳长为 l0 ，试求：试求：人以恒定速率人以恒定速率v0 拉船时，船的运动方程。拉船时，船的运动方程。解：解：选地面参照系，选地面参照系，建立直角坐标系。建立直角坐标系。寻找几何关系：寻找几何关系：222lxh oxx v运动学说到底是几何问题。运动学说到底是几何问题。2200) ()(htltx 坐标表示为：坐标表示为：依题意

11、有：依题意有：tltl )(00 19h0vl 例：例：湖中有一小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船。已湖中有一小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船。已知滑轮距水面高度为知滑轮距水面高度为h，到原船位置的绳长为，到原船位置的绳长为 l0 ，试求：试求：人以恒定速率人以恒定速率v0 拉船时，任一时刻船运动的速度。拉船时，任一时刻船运动的速度。解：解：选地面参照系，选地面参照系，建立直角坐标系。建立直角坐标系。寻找几何关系：寻找几何关系：对几何关系式微分：对几何关系式微分： 确认变量确认变量(L，x)确认各导数的物理意义确认各导数的物理意义 绳长在缩短绳长在缩短 222lxh 0 dtdldtdlldtd

12、xx22 oxx v（运动学说到底是几何问题）（运动学说到底是几何问题）20收绳速度：收绳速度： 船速：船速： 回代到微分式：回代到微分式： 则：则： （负号说明船沿（负号说明船沿 x 轴负向运动）轴负向运动）idtdlidtdlivv 0idtdxv dtdlldtdxx22 22000000)(htvltvlvxlvdtdlxldtdxvihtvltvlvv2200000)(收绳速率只是船速沿绳方向的分量，即：收绳速率只是船速沿绳方向的分量，即：0cosvv 21xxHhH1 1xhHHx,=,=10dtdxvdtdxvM0vhHHvM解：解：设任意时刻设任意时刻t，人所在的，人所在的点的

13、坐标为点的坐标为 x1 其头顶在地其头顶在地面的投影点面的投影点M的坐标为的坐标为x，例：例： 路灯距地面高路灯距地面高 H ，一身高，一身高 h 的人在灯下以的人在灯下以匀速率匀速率 v0 沿直线行走。沿直线行走。求：求：他的头顶在地面上的他的头顶在地面上的影子影子M 点沿地面的移动速度。点沿地面的移动速度。由几何关系：由几何关系：hHx1xOM故影子故影子M点运动速度为：点运动速度为：22伽利略（伽利略（Galileo Galilei，15641642） 关于两门新科学的对话和数学证明对话集关于两门新科学的对话和数学证明对话集一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学一书，总结了他的科学

14、思想以及在物理学和天文学方面的研究成果。方面的研究成果。 伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学的新纪元。的新纪元。 伽利略杰出的意大利物理学家和伽利略杰出的意大利物理学家和天文学家，实验物理学的先驱者。天文学家，实验物理学的先驱者。 他提出著名的相对性原理、惯性他提出著名的相对性原理、惯性原理、抛体的运动定律、摆振动的等原理、抛体的运动定律、摆振动的等时性等。时性等。231） 平均加速度平均加速度v 与与 同方向。同方向。vaxyOatv 单位时间内的速度增单位时间内的速度增量即量即平均加速度。平均加速度。2）（瞬时）加速度）（瞬时）加速度0dlim

15、dtatt vv四四 加速度加速度（Acceleration）A1vB2v1v2v加速度的方向：加速度的方向： t0时速度增量的极限方向；时速度增量的极限方向； 在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。 24222222ddddddddddddxxyyxattyattattzzvvvz加速度大小为：加速度大小为：222xyzaaaakdtdjdtdidtdzyx+=在直角坐标系中，在直角坐标系中，加速度的表示式为：加速度的表示式为：kajaiaazyx+=22dd=dd=trta25 吗？吗？ vv()( )ttt vvvaccbv( ) tv()ttvvOabc讨

16、论讨论)()(tttvvvoaoc 在在Ob上截取上截取有有cbv tnvv速度方向变化速度方向变化acnv速度大小变化速度大小变化cbtv26Oddaatv问问 吗？吗？ dv( ) tv(d )ttv讨论讨论( )(d )tttvv因为因为d0dtv所以所以0aa而而例例 匀速率圆周运动匀速率圆周运动所以所以taddv27)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分( ) tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一、一、 由质点的由质点的运动方程运动方程可以求得质点在可以求得质点在任一时刻的任一时刻的位矢、速度和加速度位矢、速度和加速度； 二、二、 已知质点的已知质点的加速度

17、加速度以及以及初始速度和初始速度和初始位置初始位置, 可求质点可求质点速度及其运动方程速度及其运动方程 。28ttvvdtavddtavd00,ttrrdtvrddtvrd00, 一、一、 已知质点的已知质点的运动方程，运动方程，可以求得质可以求得质点在任一时刻的点在任一时刻的位矢、速度和加速度位矢、速度和加速度； 二、二、 已知质点的已知质点的加速度以及初始速度和加速度以及初始速度和初始位置初始位置, 可求质点可求质点速度及其运动方程速度及其运动方程 。 22dtrddtvdadtrdvtrr，29解：解：)/(322smjti tdtrdv 0202rrr )/(1240202smjivv

18、v jji)6(24)(84mji )/(62202smjitva )() 6(32SIjtitr 例例：用矢量表示二维运动用矢量表示二维运动，设：设：求求：质点在头两秒的质点在头两秒的位移位移和和平均加速度平均加速度。30例：例：一质点作直线运动，其加速度为一常量一质点作直线运动，其加速度为一常量 a0 ，已知在已知在 t = 0 时刻，时刻，x = x0， v = v0，试求：试求：1）速度与时间的关系；速度与时间的关系；2）位置与时间的关系；位置与时间的关系；3）速度与位置的关系速度与位置的关系。解：解：1）,dtdva dtaadtdvttvv0000tavv00,00tavv,dtd

19、xv dttavvdtdxttxx)(00000200021tatvxx 2）31dxdvvdtdxdxdvdtdvavdvdxa0)(21)(20200vvxxadvvdxavvxx000注意：注意：这都是匀加速这都是匀加速直线运动公式，它们直线运动公式，它们不具有一般意义！不具有一般意义！（变量变换）（变量变换）（分离变量）（分离变量）)(200202xxavv（两边同时积分）（两边同时积分）tavv0020021attvxx3）32例：例：质点沿质点沿 x 轴作直线运动，加速度轴作直线运动，加速度 a = 2t 。t = 0 时，时， x = 1m，v = 0，求：求：任意时刻质点的速度

20、和位置。任意时刻质点的速度和位置。解：解： 质点作非匀加速的运动。质点作非匀加速的运动。 dtdva tdtdv2积分：积分： tvtdtdv0022tv 即有：即有： 2tdtdxtxdttdx021可得：可得： 3311tx33例：例：设某质点沿设某质点沿 x 轴运动，在轴运动，在 t = 0 时时x = 0， v = v0，其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为为k ( k 0 )，试求：试求：1）质点速度随时间变化的关系式；质点速度随时间变化的关系式；2）运动方程运动方程 ；3）质点最终停止的位置质点最终停止的位置? 解：解：dtdvkva 分离变量：分离变量： kdtvdv 积分：积分： tvvkdtvdv00得