第三章测量误差基本知识

1、第三章第三章 测量误差基本知识测量误差基本知识3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律3.4 3.4 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差3.5 3.5 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类一、观测误差基本概念一、观测误差基本概念 1 1、观测误差：、观测误差：某量的各观测值之间，或各观测值与其理论上的应某量的各观测值之间，或各观测值与其理论上的应有值有值( (或最或然值或最或然值) )之间的不符值，统称为观测误差。之间的不符值，统称为观测

2、误差。 2 2、真值与真误差、真值与真误差 真值：真值：观测量在理论上的应有值称为观测量的真值。观测量在理论上的应有值称为观测量的真值。 真误差：真误差：观测量的真值与观测值之差称为真误差，即观测量的真值与观测值之差称为真误差，即 3 3、最或然值与改正数、最或然值与改正数 最或然值：最或然值：根据某量观测值求得的该量的最终结果称为根据某量观测值求得的该量的最终结果称为最或然最或然值值，或最可靠值、最或是值、平差值等。，或最可靠值、最或是值、平差值等。 改正数：改正数：观测量的最或然值与观测值之差称为改正数即观测量的最或然值与观测值之差称为改正数即 LLLLV二、观测误差产生的原因二、观测误差

3、产生的原因 1. 1.人的原因人的原因 由于观测者感觉器官的鉴别力的局限性，由于观测者感觉器官的鉴别力的局限性，在进行仪器的安置、瞄准、读数等工作时，都在进行仪器的安置、瞄准、读数等工作时，都会产生一定的误差会产生一定的误差。 与此同时，观测者的技术水平、工作态度与此同时，观测者的技术水平、工作态度也会对观测结果产生不同的影响。也会对观测结果产生不同的影响。3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类2.2.仪器的原因仪器的原因 观测所使用仪器都具有一定的精密度，而使观测观测所使用仪器都具有一定的精密度，而使观测结果受到相应的影响。结果受到相应的影响。 例如使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，就难

4、以例如使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，就难以保证估读厘米以下的尾数的准确性。再说仪器本身也保证估读厘米以下的尾数的准确性。再说仪器本身也含有一定的误差，例如水准仪的视准轴不平行于水准含有一定的误差，例如水准仪的视准轴不平行于水准管水准轴、水准尺的分划误差等等。显然，使用这些管水准轴、水准尺的分划误差等等。显然，使用这些仪器进行测量也就给观测结果带来误差。仪器进行测量也就给观测结果带来误差。 3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类 3.3.外界环境的影响外界环境的影响 在观测过程中所处的外界自然环境，如地形、温度、湿度在观测过程中所处的外界自然环境，如地形、温度、湿度、风力、大气折射等因素

5、都会给观测结果带来种种影响。而且、风力、大气折射等因素都会给观测结果带来种种影响。而且这因素随时都有变化，由此对观测结果产生的影响也随之变化这因素随时都有变化，由此对观测结果产生的影响也随之变化，这就必然使观测结果带有误差。，这就必然使观测结果带有误差。 无论无论观测条件观测条件如何，都会含有误差。但是各种因素引起的如何，都会含有误差。但是各种因素引起的误差性质是各不相同的，表现在对观测值有不同的影响，影响误差性质是各不相同的，表现在对观测值有不同的影响，影响量的数学规律也是各不相同的。因此，有必要将各种误差影响量的数学规律也是各不相同的。因此，有必要将各种误差影响根据其性质加以分类，以便采取

6、不同的处理方法。根据其性质加以分类，以便采取不同的处理方法。 3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类三、观测误差的分类与处理原则三、观测误差的分类与处理原则 1.1.系统误差系统误差 在相同观测条件下对某个固定量所进行的一系列观测中，在相同观测条件下对某个固定量所进行的一系列观测中，在在数值和符号上固定不变，或按一定的规律变化的误差数值和符号上固定不变，或按一定的规律变化的误差，称为，称为系系统误差统误差。 系统误差对观测结果的危害性很大，但由于它有系统误差对观测结果的危害性很大，但由于它有规律性规律性而而可以设法将它消除或减弱。如在水准测量中，可以用前后视距离可以设法将它消除或减弱。如

7、在水准测量中，可以用前后视距离相等的办法来减少由于仪器不水平造成的误差相等的办法来减少由于仪器不水平造成的误差 。 系统误差具有系统误差具有累积性累积性，所以要尽量采取合适的仪器、合理，所以要尽量采取合适的仪器、合理的观测方法来消除其影响。的观测方法来消除其影响。 3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类 2.2.偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下对某个量进行重复观测中，在相同的观测条件下对某个量进行重复观测中，如果单个误差的出现如果单个误差的出现没有一定的规律性没有一定的规律性，也就是说单，也就是说单个误差在大小和符号都不固定，表现出个误差在大小和符号都不固定，表现出偶然性偶然性，这种

8、，这种误差称为误差称为偶然误差偶然误差，或称为，或称为随机误差随机误差。 在测量中，除不可避免的误差之外，还可能发生在测量中，除不可避免的误差之外，还可能发生错误错误。例如在观测时读错读数、记录时记错等等，在。例如在观测时读错读数、记录时记错等等，在观测结果中是不允许存在错误的。观测结果中是不允许存在错误的。3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类 3.3.粗差粗差 由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为粗差，如瞄错目标、读错大数等。的误差称为粗差，如瞄错目标、读错大数等。 4.4.误差处理原则误差处理原则 粗差粗差是大于限差的误差，是由

9、于观测者的粗心大是大于限差的误差，是由于观测者的粗心大意或受到干扰造成的错误。错误应该可以避免，包意或受到干扰造成的错误。错误应该可以避免，包含有错误的观测值应该舍弃，并重新进行观测。含有错误的观测值应该舍弃，并重新进行观测。 系统误差系统误差可通过采取适当的观测程序，或加以改可通过采取适当的观测程序，或加以改正消除或削弱。正消除或削弱。 偶然误差偶然误差则是不可避免则是不可避免的！的！3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类四、偶然误差的特性四、偶然误差的特性iiLLL)(180321（以两组三角形闭合差为例以两组三角形闭合差为例）纵坐标：频率除以间隔纵坐标：频率除以间隔横坐标：误差大小

10、横坐标：误差大小+2+ +1 1-1-2 通过大量实验统计结果表明，特别是当观测次数通过大量实验统计结果表明，特别是当观测次数较多时，可以总结出偶然误差具有如下的较多时，可以总结出偶然误差具有如下的规律性规律性： 1.1.在一定的观测条件下，偶然误差有界，即绝对值不会在一定的观测条件下，偶然误差有界，即绝对值不会超过一定的限度；超过一定的限度；（界限性）（界限性） 2.2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要大；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要大； （聚中性）（聚中性） 3.3.绝对值相等的正误差与负误差，基其出现的机会基本绝对值相等的正误差与负误差，基其出现的机会基本相等。相

11、等。 （对称性）（对称性） 4.4.当观测次数无限增多时、偶然误差的算术平均值趋近当观测次数无限增多时、偶然误差的算术平均值趋近于零。于零。（ E E（）（）= 0 = 0 ）3.1 3.1 观测误差的分类观测误差的分类3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准表征精度特征的量有如下几种：表征精度特征的量有如下几种： 一、方差一、方差 当观测次数足够多时，误差分布符合正态分布，在当观测次数足够多时，误差分布符合正态分布，在一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定的误差一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定的误差分布。描述这种分布的方程为分布。描述这种分布的方程为： 式中参数：式中参数：

12、22221)( ef )(lim22nnnn或其中：其中： 称为观测误差的方差，称为观测误差的方差， 称为观测误差的标准差称为观测误差的标准差（方根差或均方根差），当（方根差或均方根差），当 愈小时，误差分布比愈小时，误差分布比较密集，表示该组观测质量好些；当较密集，表示该组观测质量好些；当 愈大时，误愈大时，误差分布比较分散，表示该组观测质量差些差分布比较分散，表示该组观测质量差些 。 由此可见，参数由此可见，参数 的值表征了的值表征了误差扩散的特征误差扩散的特征。 精度：是指误差密集或离散的程度。精度：是指误差密集或离散的程度。2 3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 二、中误差二

13、、中误差 由于一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观由于一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。所以测结果的精度。所以在评定观测精度时，只要设法计算出该组误在评定观测精度时，只要设法计算出该组误差所对应的标准差的值差所对应的标准差的值。在测量工作中，观测个数总是有限的，。在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述公式：为了评定精度，一般采用下述公式： m m 称为中误差。这里的方括号表示总和，称为中误差。这里的方括号表示总和， （i i=1=1，2,2,n n）为一）为一组同精度观测误差。组同精度观测误差。 从二者的公式可以看出，从二者的公式可

14、以看出，中误差实际上是标准差的近似值（中误差实际上是标准差的近似值（估值）；随着估值）；随着n n 的增大，的增大，m m 将趋近于将趋近于 。)1VV(nmnmiiii或3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 三、相对中误差三、相对中误差 有时中误差不能很好的体现观测结果的精度。有时中误差不能很好的体现观测结果的精度。例如，观测例如，观测50005000米和米和10001000米的两段距离的中误差都是米的两段距离的中误差都是0.50.5米。从总的距离来看它们的精度是相同的，但这米。从总的距离来看它们的精度是相同的，但这两段距离单位长度的精度却是不相同的。为了更好的两段距离单位长度的精度

15、却是不相同的。为了更好的体现类似的误差，在测量中经常采用相对中误差来表体现类似的误差，在测量中经常采用相对中误差来表示观测结果的精度。示观测结果的精度。3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 所谓所谓相对中误差相对中误差就是利用中误差与观测值的就是利用中误差与观测值的比值比值 来评定精度，通常称此比值为相对来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为中误差。相对中误差都要求写成分子为1 1的分的分式，即式，即1 1N N。 与相对误差相对应，与相对误差相对应，真误差、中误差、容真误差、中误差、容许误差等许误差等都称为都称为绝对误差绝对误差。iiLm3.2 3.2 衡量

16、精度的标准衡量精度的标准四、容许误差（极限误差）四、容许误差（极限误差） 由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就称为这个限值就称为容许误差容许误差。经计算，绝对值大于一。经计算，绝对值大于一倍、二倍、三倍中误差的偶然误差的概率分别为倍、二倍、三倍中误差的偶然误差的概率分别为31.731.7，4.64.6，0.30.3；即大于二倍中误差的偶然；即大于二倍中误差的偶然误差出现的概率很小，误差出现的概率很小，大于三倍中误差的偶然误差大于三倍中误差的偶然误差出现的

17、概率近于零出现的概率近于零，属于小概率事件。，属于小概率事件。3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 在实际测量工作中，以在实际测量工作中，以三倍中误差三倍中误差作为偶然误差的作为偶然误差的极限误差，即容许误差：极限误差，即容许误差： 在精度要求较在精度要求较高高时，以时，以二倍中误差二倍中误差作为偶然误差的作为偶然误差的容许值，即容许值，即 ，在测量上将，在测量上将大于大于2 2倍或倍或3 3倍中误差的偶然误差作为粗差倍中误差的偶然误差作为粗差，即错误来看待。，即错误来看待。3 m容2 m容3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律 阐述观测值

18、中误差与观测值函数中误差之间关系的阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为定律，称为误差传播定律。误差传播定律。一、一、 误差传播定律一般形式误差传播定律一般形式 设设Z Z为独立变量为独立变量 （即独立（即独立观测值）的函数，即观测值）的函数，即 若已知独立观测量若已知独立观测量 具有真误差具有真误差 相应的中相应的中误差为误差为 ，而，而Z Z的真误差为的真误差为Z Z，相应的中误，相应的中误差差 ，即，即 12, ,nx xx12( , ,)nZf x xx,(1,2, )ixini ,(1,2, )iminzm1122(,)znnZf xxx 这些真误差都是一个小量，将上

19、式在处展开成级数，并取其这些真误差都是一个小量，将上式在处展开成级数，并取其近似值（取至一次项）为：近似值（取至一次项）为： 即：即： 若对各独立观测量进行了若对各独立观测量进行了k k次观测，每次所得方程自乘，然次观测，每次所得方程自乘，然后相加可得：后相加可得：121212( ,)()znnnfffZf x xxxxx 1212znnfffxxx 3131212122222112122xfxfxfxfxfxfxfnnnzz 上式中，当上式中，当 时，上式中各偶然误差时，上式中各偶然误差的交叉项总和为零，又有的交叉项总和为零，又有: : 则则 或或 上式就是函数中误差与观测值中误差的一般关系

20、式，上式就是函数中误差与观测值中误差的一般关系式，即即误差传播律的一般形式误差传播律的一般形式。 k22 ,iiizzzmkmk22222221212znnfffmmmmxxx2222221212znnfffmmmmxxx 二、 测量中常见的形式测量中常见的形式 1.1.倍数的函数倍数的函数 设有函数：设有函数： 式中式中Z Z为观测值的函数，为观测值的函数，f f为常数（无误差，下同），为常数（无误差，下同），x x为观测值，已知其中误差为为观测值，已知其中误差为m mx x，现在求，现在求Z Z的中误差的中误差m mz z，则，则有：有： kxz xzxzkmmmkm 2223.3 3.3

21、 误差传播定律误差传播定律 2.2.和或差的函数和或差的函数 设有函数设有函数 式中式中Z Z 是是 的和或差的函数，的和或差的函数， 为独立观测值，已知它们的中误差为为独立观测值，已知它们的中误差为 现在求现在求Z Z的中误差的中误差 , ,则有则有 若各观测值是同精度时，即若各观测值是同精度时，即 ，则有，则有nxxxz 21nxxx, ,21 nxxx, ,21 nmmm,21 zm222212nzmmmm mmmmn 21mnmz 3.3.线性函数线性函数 设有函数设有函数 式中式中 为独立观测值，已知为独立观测值，已知 它们的中误差为它们的中误差为 ，现在求，现在求Z Z的中的中误差

22、误差 ，则有，则有 对于任意非线性的函数都可以展开成级数，变换成对于任意非线性的函数都可以展开成级数，变换成线性形式，再利用误差传播律进行计算。线性形式，再利用误差传播律进行计算。nnxaxaxaz 2211nxxx, ,21 nmmm,21 zm22222221212nnzmamamam 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律 3.4 3.4 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测了n n次，观测值为次，观测值为 。 现在要根据这现在要根据这n n个观测值确定出该未知量的最或然值。个观测值确定出该未知量的最或

23、然值。 设未知量的真值为设未知量的真值为X X，则可写出观测值的真误差公式为，则可写出观测值的真误差公式为 将上式相加得将上式相加得 123,nL L LL1122nnLXLXLX 1212nnLLLnX 设以设以x表示上式观测值的算术平均值，则有表示上式观测值的算术平均值，则有 其中其中 将上式两边取极限，得将上式两边取极限，得 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，趋近由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，趋近于零，即于零，即 nXnLx12 n lim0nn nXnXxnnnlim)(limlim 可见：可见：n n趋近无穷大时，算术平均值即为真值趋近无穷大时，算术平均值

24、即为真值。在实际应用中，在实际应用中，不论观测次数的多少均以算术平不论观测次数的多少均以算术平均值均值 x 作为未知量的最或然值作为未知量的最或然值，这是误差理论中，这是误差理论中的一个公理。的一个公理。 这种这种只有一个未知量只有一个未知量的平差问题，在传统的的平差问题，在传统的平差计算中称为平差计算中称为直接平差直接平差。3.4 3.4 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差 现在来推导算术平均值的中误差公式：现在来推导算术平均值的中误差公式： 式中，式中， 为常数。由于各独立观测值的精度相同为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为，设其中误差均为m m。以。以 表

25、示算术平均值的中误差，表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为：则可得算术平均值的中误差为： 故故 nmnmnmnmmx22222222xm1 xmmn 1nnLnLnLnx11121 可以看出，随着可以看出，随着n n的增大，的增大，x x的精度不断提高，那么的精度不断提高，那么，随意增加观测个数对，随意增加观测个数对L L的精度都有利而经济上又合的精度都有利而经济上又合算的呢？算的呢？ 设观测值精度在一定时，例如设设观测值精度在一定时，例如设m=1m=1时，当时，当n n取不取不同值时，可得同值时，可得m mx x值如表值如表3.4-13.4-1：n123456102030405

26、0100mx1.000.710.580.500.450.410.320.220.180.160.140.10表表3.4-13.4-1 可以看出，随着可以看出，随着n n的增大，的增大，m mx x值不断减少，值不断减少，即即x x的精度不断提高。但是，的精度不断提高。但是，当观测次数增加当观测次数增加到某一定的数目以后，再增加观测次数，精到某一定的数目以后，再增加观测次数，精度就提高得很少度就提高得很少。可见，要提高最或然值的。可见，要提高最或然值的精度，单靠增加观测次数是不经济的，需要精度，单靠增加观测次数是不经济的，需要考虑采考虑采用适当的仪器、改进操作方法用适当的仪器、改进操作方法等。等

27、。3.4 3.4 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差3.5 3.5 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定 一、一、 广义算术平均值广义算术平均值 设对未知量进行了设对未知量进行了n次同精度观测，得次同精度观测，得 ； 。 现将现将n个观测值分成两组，其中第一组有个观测值分成两组，其中第一组有n1个观个观测值，第二组有测值，第二组有n2个观测值，则个观测值，则 。将两组观测值分别进行平。将两组观测值分别进行平差计算。分别求得两组观测值的算术平均值，并以差计算。分别求得两组观测值的算术平均值，并以 及及 表示为：表示为： （1）121,nlll1 11 212,nnnnl

28、ll12nnn1L2L21212211211121121111111nllllnLnllllnLnnnjjnnnnniin 设观测值的中误差为设观测值的中误差为m m，则它们的中误差可求得，为：，则它们的中误差可求得，为： （2 2） 根据全部同精度观测值求该未知量的最或然值为：根据全部同精度观测值求该未知量的最或然值为： （3 3） 得得 （4 4）1212LLmmnmmn21111211nnllnlxninnnjji112212n Ln Lxnn 从上式可见，如果将从上式可见，如果将 及及 看成两个不同精度观测值，则为求看成两个不同精度观测值，则为求被观测量的最或然值时，在本例的情况下，只

29、要考虑求得它们的观测被观测量的最或然值时，在本例的情况下，只要考虑求得它们的观测次数次数n n1 1和和n n2 2，并代入（，并代入（4 4）式就可求得。为了得出由不同精度观测值求）式就可求得。为了得出由不同精度观测值求被观测量的最或然值的一般公式，可将（被观测量的最或然值的一般公式，可将（2 2）式代入（）式代入（4 4）式，即：）式，即： （5 5） 从上式可见，如果将上式中的从上式可见，如果将上式中的m m2 2换成另一常数，并不影响换成另一常数，并不影响x x的值。的值。在测量工作中，令在测量工作中，令 （6 6）1L2L12122212222222LLLLmmLLmmxmmmm22

30、0iimmP 1212LLmmnmmn112212n Ln Lxnn 则则 （7） 可以看出，可以看出， 的精度愈高，则的精度愈高，则mi愈小，而愈小，而 愈大，相愈大，相应的应的 在在x中的比重就大。反之，中的比重就大。反之， 的精度愈低，即的精度愈低，即mi愈大愈大，而，而 愈小，相应的愈小，相应的 在在x中的比重就小。所以，也可以中的比重就小。所以，也可以说：说： 值的大小，权衡了观测值值的大小，权衡了观测值 在在x中所占比重的大小，中所占比重的大小，故称故称 为为 的的权权。 对于对于同精度观测值同精度观测值的算术平均值的算术平均值L L来说，来说，其权就是参与其权就是参与计算的观测值

31、的次数计算的观测值的次数。112212p Lp LxppiLipiLipipiLipiLiL 当对某未知量进行了当对某未知量进行了n n次不同精度观测，得次不同精度观测，得 ，其相应的权为，其相应的权为 ，求该量的最或然值，求该量的最或然值时，可将（时，可将（7 7）式扩充为：）式扩充为： 称上式为称上式为广义算术平均值广义算术平均值，或，或带权平均值带权平均值。12,nLLL12,nppp112212 nnnp Lp Lp LpLxpppp3.5 3.5 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定 二、二、 权权 求权的基本公式为（求权的基本公式为（6）式，即）式，即 （8） 式中式中 是任意常数。这个是任意常数。这个 值含有什么意义呢？值含有什么意义呢？ 可见：当可见：当 时，时， 所以所以 是权等于是权等于1的观测的观测值的中误差，通常称等于值的中误差，通常称等于1的权为单位权，权为的权为单位权，权为1的观测的观测值为单位权观测值。而值为单位权观测值。而 为单位权观测值的中误差，简为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。称为单位权中误差。 1ip nimmPii, 2 , 1,2200m0m0m0m1