流体力学B课件 第三章(1)

1、流体力学流体运动学及动力学基础流体运动学及动力学基础描述流体运动的方法描述流体运动的方法流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念流体微元的运动分析流体微元的运动分析微分形式的基本方程微分形式的基本方程（质量守恒、动量守恒、能量守恒）（质量守恒、动量守恒、能量守恒）积分形式的基本方程积分形式的基本方程按流动分类作进一步的具体分析按流动分类作进一步的具体分析流体运动时的基本规律流体运动时的基本规律流体力学流动分析基础流动分析基础流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法拉格朗日法拉格朗日法描述流体运动的方法描述流体运动的方法欧拉法欧拉法 由于流体的易变形和易流动性，相对于固体而言，其由于流体

2、的易变形和易流动性，相对于固体而言，其运动形态更为复杂。运动形态更为复杂。 在研究流体的运动情况时，如果考察的着眼点不在研究流体的运动情况时，如果考察的着眼点不同，那么相应采取的研究方法也有所不同。同，那么相应采取的研究方法也有所不同。流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法：着眼于流体质点，力图描述出每个流体拉格朗日法：着眼于流体质点，力图描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。规律。 如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体对如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体对

3、象的运动状况也就确定了。象的运动状况也就确定了。 用拉格朗日法描述流体运动时，运动质点的位置坐用拉格朗日法描述流体运动时，运动质点的位置坐标标 x、y、z 是起始坐标是起始坐标 a、b、c 和时间和时间 t 的函数，即的函数，即 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t弹性力学中即弹性力学中即采用拉格朗日采用拉格朗日法来描述物体法来描述物体的变形的变形 注意在拉格朗日法中的注意在拉格朗日法中的 a、b、c 是区别不同流体质是区别不同流体质点的标识，而非变量。点的标识，而非变量。流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的

4、方法 在拉格朗日观点中，质点的位置坐标在拉格朗日观点中，质点的位置坐标 x、y、z是时间和是时间和质点初始标号的函数。质点初始标号的函数。 拉格朗日描述法中流体质点的速度和加速度：拉格朗日描述法中流体质点的速度和加速度： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xyzx a b c tuty a b c tutz a b c tut固定固定a、b、c改变改变t？改变改变a、b、c固定固定t？222222 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xyzx a b c taty a b c tatz a b c tat流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法

5、欧拉法欧拉法 欧拉法：着眼点不是流体质点，而是空间点，力图描欧拉法：着眼点不是流体质点，而是空间点，力图描述出空间中每个点处的流体运动随时间变化的情况。述出空间中每个点处的流体运动随时间变化的情况。 如果流经每一点的流体运动状况都知道，那么整个流体如果流经每一点的流体运动状况都知道，那么整个流体对象的运动状况也就确定了。对象的运动状况也就确定了。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t 注意在欧拉法中的注意在欧拉法中的 x、y、z 是空间中的位置坐标，是变量；是空间中的位置坐标，是变量；但对同一质点来说它们不

6、是独立但对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量，而是时间 t 的函数。的函数。什么物理量能够最直观的反映空间点上什么物理量能够最直观的反映空间点上流体运动的变化情况？流体运动的变化情况？ 速度速度流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法 在欧拉观点中，空间点上流体质点的速度在欧拉观点中，空间点上流体质点的速度 ux、uy、uz（当然也可以是其它表征流体运动状况的物理量，如压（当然也可以是其它表征流体运动状况的物理量，如压强、密度、温度等）是空间坐标和时间的函数。强、密度、温度等）是空间坐标和时间的函数。 欧拉描述法中流体质点的加速度：欧拉描述法中流体质点的加速度：固定固定x、y、z改

7、变改变t？改变改变x、y、z固定固定t？ xxxxxxxxxxxyzduuuuudxdydzadttxtytztuuuuuuutxyz迁移加速度迁移加速度当地加速度当地加速度流体力学描述流体运动的方法描述流体运动的方法两种方法的对比两种方法的对比拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法直接描述结果全面直接描述结果全面给出运动轨迹给出运动轨迹反映时间历史反映时间历史表达式复杂表达式复杂实例：敌机追踪实例：敌机追踪间接描述结果有限间接描述结果有限给出瞬时参数给出瞬时参数反映空间分布反映空间分布表达式简单表达式简单实例：气象观测实例：气象观测流体力学最常用：流体力学最常用：机翼的空气动力学特性机翼的空气动力

8、学特性两者可相互转换两者可相互转换拉格朗日观点重要性：拉格朗日观点重要性：定义物理学基本规律定义物理学基本规律流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例1 欧拉描述和拉格朗日描述的转换欧拉描述和拉格朗日描述的转换（由速度分布求质点轨迹）（由速度分布求质点轨迹）已知：已知：已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为求：求：在在 t=0 时刻位于点（时刻位于点（a, b）的流体质点的运动轨迹。）的流体质点的运动轨迹。解：解：对某时刻对某时刻 t 位于坐标点上位于坐标点上( (x, y) )的质点，有的质点，有 求解该一阶常微分方程组，可得求解该一阶常微分

9、方程组，可得xyuxtuyt/xyudx dtxtudy dtyt111222(1)1(1)1ttttttttttxe cte dte ctec etye cte dte ctec et c1 ，c2 为积分常数，由为积分常数，由t = 0 = 0时刻流体质点位于时刻流体质点位于 可确定可确定 , xa yb121, 1cacb流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例1 欧拉描述和拉格朗日描述的转换欧拉描述和拉格朗日描述的转换（由速度分布求质点轨迹）（由速度分布求质点轨迹）代入前式，可得拉格朗日法表示的流体质点轨迹方程为代入前式，可得拉格朗日法表示的流体质点轨迹方程为(1)1(

10、1)1ttxaetybet 讨论：讨论：本例说明，虽然题目给出的是速度分布式（欧拉法），即本例说明，虽然题目给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律，但仍可由此求出各空间点上速度分量随时间的变化规律，但仍可由此求出指定流体质点在不同时刻所处的空间位置，即运动轨迹指定流体质点在不同时刻所处的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。通过本例可看到这两种描述方法在数学（拉格朗日法）。通过本例可看到这两种描述方法在数学上是如何相互转换的。上是如何相互转换的。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流 根据流场中各运动要素是否随时间变化，可

11、将流体根据流场中各运动要素是否随时间变化，可将流体运动分为恒定流和非恒定流两类。若流场中各运动要素运动分为恒定流和非恒定流两类。若流场中各运动要素均不随时间变化，则称这种流动为均不随时间变化，则称这种流动为恒定流恒定流，否则称之为，否则称之为非恒定流非恒定流。 在恒定流中，一切运动要素都只是空间坐标在恒定流中，一切运动要素都只是空间坐标 x、y、z 的函数，而与时间的函数，而与时间 t 无关，故有无关，故有( )0t 在实际工程中，当非恒定流问题中所关注的运动要素随在实际工程中，当非恒定流问题中所关注的运动要素随时间变化非常缓慢时，即可将其近似作为恒定流处理。时间变化非常缓慢时，即可将其近似作

12、为恒定流处理。各类稳定的自然流动各类稳定的自然流动流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流 a. 定常流动；定常流动；b. 准定常流动准定常流动 c. 周期性谐波脉动流周期性谐波脉动流 d. 周期性非谐波脉动流周期性非谐波脉动流e. 非周期性脉动流；非周期性脉动流；f. 随机流动随机流动 恒定流与非恒定流的转换恒定流与非恒定流的转换流体力学一元流一元流二元流二元流三元流三元流流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念一元流、二元流与三元流一元流、二元流与三元流 根据流场中各运动要素与空间坐标的关系，可将流根据流场中各运动要素与空间坐标的关系，可将流

13、体运动分为体运动分为一元流一元流、二元流二元流和和三元流三元流。 实际工程中的流体力学问题一般都属于三元流。然而由于三实际工程中的流体力学问题一般都属于三元流。然而由于三元流的复杂性，在数学处理上存在相当大的困难，人们在研究时常元流的复杂性，在数学处理上存在相当大的困难，人们在研究时常常根据问题的具体性质将其简化为二元流或一元流处理。常根据问题的具体性质将其简化为二元流或一元流处理。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念 在了解流体运动的两类基本描述方法后，可以此出在了解流体运动的两类基本描述方法后，可以此出发进一步探讨流体运动的几何表示，这有助于更直观形发进一步探讨流体运动的几

14、何表示，这有助于更直观形象的分析流体运动。象的分析流体运动。迹线迹线 在拉格朗日方法中，是通在拉格朗日方法中，是通过描述各个流体质点运动规律的过描述各个流体质点运动规律的途径来描述整个流体运动。途径来描述整个流体运动。 某个流体质点在某一时段内运动时所描绘出的空间某个流体质点在某一时段内运动时所描绘出的空间曲线称为曲线称为迹线迹线。 迹线的概念是和拉格朗日迹线的概念是和拉格朗日观点相联系的，它是同一流体观点相联系的，它是同一流体质点运动规律的几何表示。质点运动规律的几何表示。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t

15、流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念 当流体运动是以欧拉描述的方式给出时当流体运动是以欧拉描述的方式给出时 此时要得到迹线的方程，必须先将欧拉描述转换为拉此时要得到迹线的方程，必须先将欧拉描述转换为拉格朗日描述，亦即迹线应满足的微分方程组。格朗日描述，亦即迹线应满足的微分方程组。( , , , ), ( , , , ), ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzdxuux y z tdtdyuux y z tdtdzuux y z tdt 其中其中 t 是自变量，是自变

16、量，x、y、z 是时间是时间 t 的函数，的函数，积分后所得的表达式实积分后所得的表达式实质上是流体质点空间运质上是流体质点空间运动曲线（轨迹）的参数动曲线（轨迹）的参数方程。方程。陨石的下坠陨石的下坠线线流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念流线流线 许多空间位置上的流体质点在同一时刻的速度矢量所许多空间位置上的流体质点在同一时刻的速度矢量所描绘的曲线称为描绘的曲线称为流线流线。 在欧拉方法中，是通过速度场来描述整个流体的运动。在欧拉方法中，是通过速度场来描述整个流体的运动。 流线的概念是和欧拉观点流线的概念是和欧拉观点相联系的，它是不同流体质点相联系的，它是不同流体质点速度分

17、布的几何表示。速度分布的几何表示。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t流线特点：不相交；流线特点：不相交；充满整个流场；疏密充满整个流场；疏密程度反映流速大小。程度反映流速大小。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念 根据定义，流线上任一点的切线方向即为该点的流速根据定义，流线上任一点的切线方向即为该点的流速方向，于是方向，于是 相应的分量形式为相应的分量形式为( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzux y z tux y z tux y z t 此即流线应

18、满足的微分方程组，其中此即流线应满足的微分方程组，其中 x、y、z 是相互独立是相互独立的空间变量，时间的空间变量，时间 t 是参数，在积分时当作常数处理。是参数，在积分时当作常数处理。机翼的绕流线机翼的绕流线0udsr uu r流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念迹线和流线的对比迹线和流线的对比迹迹 线线流流 线线同一流体质点同一流体质点不同时刻不同时刻描绘轨迹描绘轨迹拉格朗日法拉格朗日法时间是变量时间是变量不同流体质点不同流体质点同一时刻同一时刻描绘分布描绘分布欧拉法欧拉法时间是参数时间是参数恒定流情况下恒定流情况下 两者相同两者相同流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的

19、相关基本概念例例2 非恒定流的迹线和流线。非恒定流的迹线和流线。求：求：（1）质点）质点A的迹线方程；（的迹线方程；（2）t = 0 时刻过原点的流线方程；时刻过原点的流线方程；（3）t = 1时刻质点时刻质点A的运动方向。的运动方向。解：解：此流场属于非恒定流场。此流场属于非恒定流场。上两式分别积分可得上两式分别积分可得已知：已知：设速度场为设速度场为u = t+1，v = 1，t = 0 时刻流体质点时刻流体质点A位于原点。位于原点。（1）由迹线方程式，本例的迹线方程组为由迹线方程式，本例的迹线方程组为11dxtdtdydt2121(1) 2dxtdtxttcdydtytct = 0时质点

20、时质点A位于位于x=0，y=0处处，得，得 c1= c2= 0。质点质点A的的迹线方程为迹线方程为21, 2xttyt流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例2 非恒定流的迹线和流线。非恒定流的迹线和流线。消去参数消去参数 t 可得可得22111(1)222xyyy上式表明质点上式表明质点A的迹线是一条以的迹线是一条以（-1/2，-1）点为顶点，且通过）点为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。原点的抛物线（见图）。（2）由流线微分方程式，本例的流线）由流线微分方程式，本例的流线方程组为方程组为积分可得（此处积分可得（此处 t 可当作常数处理）可当作常数处理）11dxdyt1xyc

21、t在在 t = 0时刻，流线通过原点，即时刻，流线通过原点，即x = y = 0，因此，因此C = 0，相应的流，相应的流线方程为线方程为xy 上式表明初始时刻过原点的流线是上式表明初始时刻过原点的流线是一、三象限的角平分线（见图）。一、三象限的角平分线（见图）。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例2 非恒定流的迹线和流线。非恒定流的迹线和流线。（3）为了确定为了确定 t = 1 时刻质点时刻质点A的运动方向，需求出此时过质点的运动方向，需求出此时过质点A所在位置的流线方程。由迹线方程式可知，所在位置的流线方程。由迹线方程式可知，t =1时刻质点时刻质点A位于位于x =3/

22、2，y =1处处，代入流线方程，有，代入流线方程，有3 / 211 114cc t = 1时刻过流体质点时刻过流体质点A所在位置的所在位置的流线方程为流线方程为122xy这是一条与流体质点这是一条与流体质点A的迹线相切于的迹线相切于（3/2，1）点处的斜直线，此时）点处的斜直线，此时A的运的运动方向为：沿该直线，动方向为：沿该直线，x, y 增大的方向。增大的方向。讨论：讨论： 本例说明，非恒定流中，迹线与流线明显不相同。本例说明，非恒定流中，迹线与流线明显不相同。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念脉线脉线 在某一瞬时将某一时段内相继通过某固定点的流体质在某一瞬时将某一时段内

23、相继通过某固定点的流体质相连，所得的曲线称为相连，所得的曲线称为脉线脉线。 除迹线与流线外，还可能运用其它的除迹线与流线外，还可能运用其它的手段来对流场中的流体运动进行几何描述。手段来对流场中的流体运动进行几何描述。 定常流动中脉线的形状不变，且与流线、迹线重合，定常流动中脉线的形状不变，且与流线、迹线重合，故常用它来表示流线，原因在于脉线在流动实验中易于故常用它来表示流线，原因在于脉线在流动实验中易于观察。观察。 在流场中某固定点在流场中某固定点施放染色源，则经过施放染色源，则经过该点的所有流体质点该点的所有流体质点均会染上色，因此脉均会染上色，因此脉线也称线也称染色线染色线。流体力学 例例

24、B2.3.3B2.3.3不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与脉线脉线解：解：此流场是周期性变化的不定常流动。设此流场是周期性变化的不定常流动。设t = 0时刻起，每隔时刻起，每隔1s1s从坐从坐 标原点出发的质点依次编号为标原点出发的质点依次编号为a, b, c, d, e, f，每过每过6s重复循环一次。重复循环一次。 将每个质点每隔将每个质点每隔1s的位置数据列表如下，每行的数据构成每个质的位置数据列表如下，每行的数据构成每个质 点的迹线，每栏的数据构成每一时刻的脉线。点的迹线，每栏的数据构成每一时刻的脉线。 已知：已知：设速度场为设速度场为 （0t3s） t6s重复循环。重复循环。0m/

25、s1vum/s10vu（3st6s） 求：求： 试画出：（试画出：（1 1）0-6s内每隔内每隔1s从坐标原点出发的迹线；从坐标原点出发的迹线； （2 2）7-12s内每隔内每隔1s的时刻从坐标原点发出的脉线。的时刻从坐标原点发出的脉线。流体力学t (s)0123456789101112a(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)b(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)c (0,0)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2

26、,3)(3,3)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)d(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)e (0,0)(0,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)f (0,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4) 例例B2.3.3B2.3.3不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与脉线脉线流体力学 在不定常流场中从某点发出的脉线形状在不同时刻可以不同。本例中在不定常流场中从某点发出的脉线形状在不同时刻可以不同。本例中 在在712s内的每一瞬时的脉线均不相同，但在下一个内的每一

27、瞬时的脉线均不相同，但在下一个6 6秒内重复出现。秒内重复出现。 例例B2.3.3B2.3.3不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与脉线脉线(a)中分别为质点中分别为质点a, b, c, d, e, f 的迹线的迹线(0-6s) ，随时间增长不断延伸；随时间增长不断延伸； (b)为从原点每隔为从原点每隔1s时刻时刻(7-12s) 流出的不同质点在每一瞬时连成的线流出的不同质点在每一瞬时连成的线 （以后重复循环），即从坐标原点发出的脉线。（以后重复循环），即从坐标原点发出的脉线。迹线迹线脉线脉线流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念流束、元流、总流和流管流束、元流、总流和流管 在流场

28、中，过任意指定区域的所有流线的总和称为在流场中，过任意指定区域的所有流线的总和称为流束。流束。流束可大可小，如果指定区域取得无限小，这种流束可大可小，如果指定区域取得无限小，这种情况下的流束称为微元流束，也称情况下的流束称为微元流束，也称元流；元流；如果指定区域如果指定区域到达流场周界，所得流束称为到达流场周界，所得流束称为总流总流。 流束的外表面称为流束的外表面称为流管流管，由于流线不能相交，所以，由于流线不能相交，所以，在各个时刻流体质点都只能在流管内部或外部流动，而在各个时刻流体质点都只能在流管内部或外部流动，而不能穿越。不能穿越。 这四个都是假想这四个都是假想的概念，对于直观理的概念，

29、对于直观理解问题以及理论上处解问题以及理论上处理某些问题有帮助。理某些问题有帮助。流体力学过流断面、流量与平均流速过流断面、流量与平均流速 与流束中所有流线正交的截面称为与流束中所有流线正交的截面称为过流断面过流断面。过流。过流断面不一定是平面，其形状与流线的分布情况有关。断面不一定是平面，其形状与流线的分布情况有关。 断面平均流速断面平均流速是一个假想的等效流速，是指在假想是一个假想的等效流速，是指在假想的均匀分布流速下，流体流经过流断面的流量与实际情的均匀分布流速下，流体流经过流断面的流量与实际情况相等。况相等。流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念 过流断面上各点的运动要素一般过流

30、断面上各点的运动要素一般是不相同的。是不相同的。元流的元流的情况情况 单位时间内通过过流断面的流体量称为单位时间内通过过流断面的流体量称为流量流量，一般可分为体积流量和质量流量。，一般可分为体积流量和质量流量。 VVAdqudAqudAVAUAqudA 引入断面平均流速后，引入断面平均流速后，有助于在某些情况简化问题。有助于在某些情况简化问题。不是过流断不是过流断面的情况面的情况流体力学 例例B2.2.1B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-1)(2-1)求：求：两种速度分布的（两种速度分布的（1 1）流量）流量Q的表达式；（的表达式；（2 2）

31、截面上平均速度）截面上平均速度U。解：解：（1 1）流量计算时）流量计算时dA = 2rdr，抛物线分布的流量为，抛物线分布的流量为已知已知: :粘性流体在圆管（半径粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布，内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布， 一种是抛物线分布一种是抛物线分布, ,另一种是另一种是1/71/7次幂分布：次幂分布：2m111Rruu7/12m21Rruu上式中上式中um1、um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 AQ(1RRrRrrurrRru02301m221md2d21 vn )dA =21m02421m

32、5 . 0422RuRrruR流体力学1 / 7次幂分布的流量为分布的流量为AQ(2RrrRru07/12md2)1 ( vn )dA RRrRrRu07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772RuRuuR（2 2）抛物线分布和）抛物线分布和1 / 7次幂分布的平均速度分别为次幂分布的平均速度分别为11m1210.5QUuR22m2220.8167QUuR讨论：讨论： 抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而1/71/7次幂分布次幂分布的截面平均速度为最大速度的的截面平均速度为

33、最大速度的0.81670.8167倍，这是后者的速度廓线中部更倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。平坦，速度分布更均匀的缘故。 例例B2.2.1B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-2)(2-2)流体力学流动修正因子流动修正因子 使用假想的平均流速代替实际的变化流速分布，能使用假想的平均流速代替实际的变化流速分布，能够给某些问题的考虑和求解带来方便，但在使用时也应够给某些问题的考虑和求解带来方便，但在使用时也应注意，这种简化给其它物理量计算可能带来的误差。注意，这种简化给其它物理量计算可能带来的误差。流体运动的相关基本概念流体

34、运动的相关基本概念 如过流断面动能和动量的计算偏差如过流断面动能和动量的计算偏差 常使用常使用动能修正因子动能修正因子和和动量修正因子动量修正因子来衡量这种来衡量这种偏差。偏差。221212Au u dAUA UAu udAUA U流体力学 例例B2.2.2B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(1) (1) 按单位质量流体的动能计算，按动能修正因子的定义按单位质量流体的动能计算，按动能修正因子的定义解：解：已知已知: :粘性流体在直圆管（半径粘性流体在直圆管（半径R）内作定常流动。圆截面上有两种速度分布，内作定常流动。圆截面上

35、有两种速度分布，一种是抛物线分布一种是抛物线分布, ,另一种是另一种是1/71/7次幂分布：次幂分布：2m111Rruu上式中上式中um1，um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 7/12m21Rruu求：求：（1 1）关于平均速度的动能修正因子）关于平均速度的动能修正因子 ； （2 2）关于平均速度的动量修正因子）关于平均速度的动量修正因子。2211()dA()22AuuUUA上式中上式中V为平均速度，设为平均速度，设= = 常数常数, ,截面积截面积 A =R2，微元圆环面积，微元圆环面积 。rrAd2d流体力学，d2dvdqu Aur r332

36、012() d() dRAuuAr rAURU对抛物线分布对抛物线分布3432211220010216d1d2 12RRRurrr rr rRURRR 对对1/71/7次幂分布次幂分布333/7222200222120d1d1.0583898RRurr rr rRURR（2 2）按单位质量流体的动量计算，动量修正因子）按单位质量流体的动量计算，动量修正因子定义为定义为dAAu uU U相应有相应有 例例B2.2.2B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子流体力学可得可得222012ddRAuuAr rAURU抛物线分布抛物线分布2

37、221122001284d1d1.3333RRurr rr rRURR1/71/7次幂分布次幂分布22/7222220022212050d()1d1.0209849RRurr rr rRURR讨论：讨论：将例将例B2.2.1B2.2.1和本例的结果列表和本例的结果列表说明说明1/71/7次幂分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量次幂分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取时，可取= =1=1，即不必修正。，即不必修正。表表B2.2.1B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子m/Uu动能修正因子1.0201.0580.81671/7次幂分布1.3332.0

38、0.5抛物线分布动量修正因子速度分布类型平均速度/中心速度 例例B2.2.2B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念均匀流与非均匀流、渐变流与急变流均匀流与非均匀流、渐变流与急变流 根据位于同一流线中各质点的流速是否随沿程变化，根据位于同一流线中各质点的流速是否随沿程变化，可将流体运动分为均匀流和非均匀流。若流场中同一流可将流体运动分为均匀流和非均匀流。若流场中同一流线上各质点的流速随沿程保持不变，这种流动称为线上各质点的流速随沿程保持不变，这种流动称为均匀均匀流流，否则称为，否

39、则称为非均匀流非均匀流。 均匀流中各流线是彼此平行均匀流中各流线是彼此平行的直线，过流断面为平面且其上流的直线，过流断面为平面且其上流速分布沿程不变，无迁移加速度；速分布沿程不变，无迁移加速度；但不同流线上的流体质点速度可以但不同流线上的流体质点速度可以不相同。不相同。xyO1u2uR 实际工程中的流体运动大多为非均匀流。为了便于实际工程中的流体运动大多为非均匀流。为了便于研究，常常按流线变化的缓急程度，又将非均匀流分研究，常常按流线变化的缓急程度，又将非均匀流分为为渐变流渐变流和和急变流急变流。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念质点导数质点导数 质点物理量随时间的总变化率质

40、点物理量随时间的总变化率称为称为质点导数质点导数，流体运动学中关，流体运动学中关注的是欧拉法表示的质点导数。注的是欧拉法表示的质点导数。质点的物理量质点的物理量 B 的欧拉表示的欧拉表示相应的，其导数的欧拉表示相应的，其导数的欧拉表示B = B x ( t ), y ( t ), z ( t ), t DDxyzBBBBBuuuttxyz物理意义：当地变化率物理意义：当地变化率 + 迁移变化率迁移变化率xuyuzu( , )u r t 位置坐标位置坐标 x、y、z 均会随时间发生变化。均会随时间发生变化。流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念质点导数质点导数 前式中的质点物理量前

41、式中的质点物理量 B 可以是标量，也可以是向量。可以是标量，也可以是向量。当当 B 为标量（如密度）时，质点导数表示式为为标量（如密度）时，质点导数表示式为当当 B 为向量（如速度）时，质点导数表达式为为向量（如速度）时，质点导数表达式为xyzDuuuuDttxyztr u rDuuuuDttrrr u r r( )xyzu ru r 其中其中 为为梯度算子梯度算子 相应的，相应的， 定义为定义为梯度梯度运算，运算， 为为散度散度运算运算 u r u r流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念例例3 由速度场求加速度由速度场求加速度求：求：（1）加速度场；（）加速度场；（2）在原点

42、和（）在原点和（1, 1, 1）点处的加速度。）点处的加速度。解：解： 由质点导数的表达式可得由质点导数的表达式可得已知：已知：设速度场为设速度场为u = x+t，v = ty，w = xz221() 100100(1)0()0()xyzuuuuauvwxtxttxyzvvvvauvwyty ttytxyzwwwwauvwxtzxz xxxt ztxyz 在原点在原点 在（在（1, 1, 1）点）点100 xyzataa 2212xyzatatat 流体力学流体运动的相关基本概念流体运动的相关基本概念系统与控制体系统与控制体 从理论角度分析研究流体的运动规律时，要用到系统从理论角度分析研究流体

43、的运动规律时，要用到系统和控制体的概念。和控制体的概念。 所谓系统，就是包含确定不变的物质的集合。在工程所谓系统，就是包含确定不变的物质的集合。在工程流体力学中，流体力学中，系统系统就是指由确定的流体质点所组成的流就是指由确定的流体质点所组成的流体对象。显然，使用系统作为考察对象，意味着采用拉体对象。显然，使用系统作为考察对象，意味着采用拉格朗日方法来研究流体运动。格朗日方法来研究流体运动。 所谓所谓控制体控制体，在工程流体力学中，是指相对于某个坐，在工程流体力学中，是指相对于某个坐标系而言，有流体流过的固定不变的空间区域，控制体标系而言，有流体流过的固定不变的空间区域，控制体的边界面称为控制

44、面，它总是封闭的。由此可见，使用的边界面称为控制面，它总是封闭的。由此可见，使用控制体作为考察对象，是与欧拉方法相对应的研究手段。控制体作为考察对象，是与欧拉方法相对应的研究手段。形状改变形状改变追踪的流体质点不变追踪的流体质点不变AA形状不变形状不变内部的流体质点改变内部的流体质点改变AAAA流体力学流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体运动流体运动速度速度相互关联相互关联流体微团的运动分析流体微团的运动分析以平面流动为例，流场中邻近两点的速度以平面流动为例，流场中邻近两点的速度关系关系xxxxyyyyuuuudxdyxyuuuudxdyxy流体力学 前式可写成矩阵形式前式可写成矩阵形式

45、，其中，其中 F 称为称为速度梯度矩阵。再将速度梯度矩阵分解为一个速度梯度矩阵。再将速度梯度矩阵分解为一个对称对称矩矩阵和一个阵和一个反对称反对称矩阵之和，有矩阵之和，有将其代入前述速度关系式，整理得将其代入前述速度关系式，整理得流体微团的运动分析流体微团的运动分析速度分解表达式速度分解表达式uuF dr()/2()/2TTFFFFF11()()2211()()22yyxxxxxyyyxxyyuuuuuuudxdydyxyxyxuuuuuuudxdydxxyyxy 任意矩阵均可任意矩阵均可作此分解。类比：作此分解。类比：将函数分解为奇函将函数分解为奇函数和偶函数之和。数和偶函数之和。流体力学

46、取流场中的一个矩形微元（取流场中的一个矩形微元（ABCD）为考察对象，其）为考察对象，其上各点的瞬时速度如图所示。上各点的瞬时速度如图所示。流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体微团运动的组成分析流体微团运动的组成分析dydxxxuudxxxuyuyyuudxxxxuudyyyyuudyyxxxuuudxdyxyyyyuuudxdyxyABCDOxy 以以 A 为基准为基准点，分析经过点，分析经过 dt 时间后流体微元时间后流体微元的位置和形状变的位置和形状变化。化。流体力学平移运动平移运动： 因各点均有相同的速度部分因各点均有相同的速度部分 ux、uy，经过时间，经过时间 dt 后，后，流

47、体微团流体微团 ABCD 将随基准点将随基准点 A 平移至平移至 A1B1C1D1。流体微团的运动分析流体微团的运动分析xu dtABCDOxy1A1B1C1Dyu dt流体力学拉伸变形拉伸变形：线元：线元 dx、dy 分别沿分别沿 x、y 方向的局部相对方向的局部相对伸长速率（线应变率）伸长速率（线应变率）相对面积变化率相对面积变化率相对体积变化率相对体积变化率（三维）（三维）流体微团的运动分析流体微团的运动分析/xxxyyyux dxdtxuy dydty/xyuxuy /xyzuxuyuzu u r rxuxdxdtx1A1B1C1DOxy2A2B2C2Dyuydydty对应对应速度散度

48、速度散度流体力学 例例B2.5.2B2.5.2膨胀流动：线应变率与面积扩张膨胀流动：线应变率与面积扩张率率解：解：(1)(1)按流线微分方程式，因按流线微分方程式，因v =0 得得dy = 0，积分可得流线方程为积分可得流线方程为 已知：已知：设平面流场为设平面流场为 （k 0 0，为常数），为常数）0vkxu说明流线是平行于说明流线是平行于x 轴的直线族。线应变率为轴的直线族。线应变率为kxuxx0yvyy 求：求：（1 1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；）流线、线应变率和面积扩张率表达式；y = C ( C为常数为常数 ) ) （2 2）设）设k =1,t =0时刻边长为时刻边长为1的

49、正方形流体面的正方形流体面abcd位于图中所示位于图中所示 位置位置, ,求求 t = t 时刻点时刻点a(1,3)到达点到达点a(3,3)时流体面时流体面abcd 的位置和形状。的位置和形状。流体力学说明说明x方向的线元以恒速率方向的线元以恒速率k 伸长，伸长，y方向的线元长度保持不变。方向的线元长度保持不变。面积扩张率为面积扩张率为uvkxy 说明面元的瞬时面积相对扩张率为常数。任何单位面积的流体面均以说明面元的瞬时面积相对扩张率为常数。任何单位面积的流体面均以恒速率恒速率k 扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k 0，为常数），为常数） 求：求：试分析该流

50、场的运动学特征。试分析该流场的运动学特征。0uk yv 流场流场速度分布如图所示。由流线微分方程速度分布如图所示。由流线微分方程 dy = 0, 积分得流线方程积分得流线方程 y = C (C为常数为常数)， 说明流线是平行于说明流线是平行于x 轴的直线族。轴的直线族。0,0,2()xxyyxyuvvukxyxyx, y方向的线应变率和方向的线应变率和 xOy 平面内的角变形率分别为平面内的角变形率分别为流体力学221kyuxv说明一点邻域内的流体作顺时针旋转（形成速度线形增长的基础）。说明一点邻域内的流体作顺时针旋转（形成速度线形增长的基础）。面积扩张率为面积扩张率为0uvxy图中四边形流体

51、面在运动过程中面积保持不变，对角线与图中四边形流体面在运动过程中面积保持不变，对角线与x 轴的夹角不轴的夹角不断减小，流体面不断被切向扯动，进而变窄。断减小，流体面不断被切向扯动，进而变窄。线元既不伸长也不缩短，互相正交的线元随时间增长夹角不断变化。本线元既不伸长也不缩短，互相正交的线元随时间增长夹角不断变化。本例中例中k 0 ，即流体自左向右流动时正交线元的夹角不断减小。流体的，即流体自左向右流动时正交线元的夹角不断减小。流体的旋转角速度为旋转角速度为 例例B2.5.3B2.5.3线性剪切流：角变形率与旋转角速度线性剪切流：角变形率与旋转角速度流体力学 例例B2.5.3AB2.5.3A 刚体

52、旋转流：角变形率与旋转角速度刚体旋转流：角变形率与旋转角速度 解：解：该问题的物理来源是盛水圆筒绕中心轴作匀角该问题的物理来源是盛水圆筒绕中心轴作匀角速度旋转运动，由第二章知识可知，流体处于相对速度旋转运动，由第二章知识可知，流体处于相对静止状态，但这里仅讨论它的运动学特性。静止状态，但这里仅讨论它的运动学特性。 已知：已知：设平面流场为设平面流场为 （k 0，为常数），为常数） 求：求：试分析该流场的运动学特性。试分析该流场的运动学特性。uk yvk x x2 + y2= C (C为常数为常数) 0,0,20 x xy yx yuvvukkxyxy x, y方向线应变率和方向线应变率和 xO

53、y 平面内角变形率分别为平面内角变形率分别为在图示坐标系中速度分布如图。由流线微分方程在图示坐标系中速度分布如图。由流线微分方程 k y dy = k x dx, 积积分得流线方程，为圆周线分得流线方程，为圆周线流体力学 例例B2.5.3AB2.5.3A 刚体旋转流：角变形率与旋转角速度刚体旋转流：角变形率与旋转角速度 说明在说明在x, ,y方向无线变形，在方向无线变形，在xOy平面内无角变形。平面内无角变形。面积扩张率为面积扩张率为 以上结果表明，该流动在平面上流体处处无变形，运动与刚体无异（这以上结果表明，该流动在平面上流体处处无变形，运动与刚体无异（这也与相对静止的概念吻合）。也与相对静

54、止的概念吻合）。0uvxy1122vukkkxy 说明流体象刚体一样绕中心轴作匀角速度旋转，故称为刚体旋转流动说明流体象刚体一样绕中心轴作匀角速度旋转，故称为刚体旋转流动. .相应的，流体的旋转角速度为相应的，流体的旋转角速度为 流体力学流体微团的运动分析流体微团的运动分析速度分解表达式的物理意义速度分解表达式的物理意义 0 0 xxxyxxzyyxyyyzuudxdxuudydy平移速率平移速率变形速率变形速率旋转速率旋转速率拉伸拉伸剪切剪切弹性力学中的弹性力学中的几何方程几何方程 类似的，可定义三维情况下的线应变率类似的，可定义三维情况下的线应变率zzzuz1()2yzyzzyuuyz1()2xzzxxzuuzx角变形率角变形率1()2yzxuuyz1()2xzyuuzx 旋转旋转角速率角速率流体力学 0 0 0 xxxyxzzyxxyyxyyyyzzxyxzzxzyzzzuudxdxuudydydzdzuu 流体微团的运动分析流体微团的运动分析亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度