流体力学_07不可压缩流体动力学基础

1、2022-6-271第七章第七章 不可压缩流体动力学基础不可压缩流体动力学基础71 流体微团运动分析流体微团运动分析73 不可压缩流体连续性方程不可压缩流体连续性方程74 以应力表示的粘性流体运动微分方程式以应力表示的粘性流体运动微分方程式76 N-S方程方程 77 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分78 流体流动的初始条件和边界条件流体流动的初始条件和边界条件79 不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程 及封闭条件及封闭条件2022-6-2727-17-1 流体微团运动分析流体微团运动分析 由理论力学可知，刚体有平移和旋转两由理论力学可知，

2、刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体运动则不同。由于流体种运动形式，而流体运动则不同。由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保持微团在流场中各点的速度不同，但又要保持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还有变形运动。下面将分析和旋转运动外，还有变形运动。下面将分析流体微团的三种运动形式。流体微团的三种运动形式。 yxuu , 如图如图71所示的平面运动中的流体微团。设方形流体微团中所示的平面运动中的流体微团。设方形流体微团中心点心点M的流速为的流速为 ，则微团个侧边的中点，则微团个侧边的中点ABCD的速度分量的速度分量分别为：分别为：2

3、022-6-273 各点的速度中均包含有各点的速度中均包含有 ，由图，由图71可见，可见， 是平移速度。是平移速度。yxuu ,yxuu ,dxxux 以以AC为例。因为角点为例。因为角点C沿沿 x 方向的速度比角点方向的速度比角点A快（或快（或慢）慢） ，所以经过，所以经过 时段后，时段后，AC边在边在 x 方向的伸长（方向的伸长（或缩短）量为或缩短）量为 。单位时间单位长度的线变形称为。单位时间单位长度的线变形称为线线变形速度变形速度，并记为，并记为 ，则，则dtdtdxxuxzyxii,1、平移运动、平移运动2、变形运动、变形运动xxxxuudx dtdx dtxxyyyuyzzzuz（

4、7-1-1）同理（1）线变形）线变形2022-6-274（2）旋转运动和角变形运动）旋转运动和角变形运动2022-6-275旋转角速度旋转角速度yuxu21xuzu21zuyu21xyzzxyyxx 将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团的旋转角速度，团的旋转角速度，记为记为 ，根据流体微团旋转角，根据流体微团旋转角速度的定义得速度的定义得zyxii, 如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，即转运动，即 ，则称该流动为无旋流动（势流）。，则称该流动为无旋流动

5、（势流）。 0zyxzyx, 若流体微团有旋转运动，即若流体微团有旋转运动，即 三者中至少有一个不三者中至少有一个不 等于零，则称为有旋流动（有涡运动）。等于零，则称为有旋流动（有涡运动）。2022-6-276 将平面上角变形速度之半定义为流体微团的角速度将平面上角变形速度之半定义为流体微团的角速度，记，记为为 ，由图，由图7-2可知，可知，EMF点的角度变化为点的角度变化为zyxii,1212yzyzxzxzuuyzuuzx角变形速度角变形速度1122yyyyxxxyzuuuuuuxxxyxy同理有：同理有：2022-6-277 在一般情况下，流体微团的运动是由上述四种基本运动形在一般情况下

6、，流体微团的运动是由上述四种基本运动形式复合而成的。设流体微团内某点式复合而成的。设流体微团内某点M0(x，y，z)的流速分量为的流速分量为ux0，uy0，uz0(图图73)，邻近于，邻近于M0点的另一点点的另一点M(x+dx、y+dy、z+dz)的流速分量为的流速分量为2022-6-278同理有：同理有：2022-6-27973 不可压缩流体连续性方程不可压缩流体连续性方程 和一元流连续性方程相似，三元流连续性微分方程的推和一元流连续性方程相似，三元流连续性微分方程的推导，是在流场中选取边长为导，是在流场中选取边长为dx、dy、dz的矩形微元控制体，的矩形微元控制体，写出流出和流入该空间的质

7、量流量平衡条件。由于流体不可写出流出和流入该空间的质量流量平衡条件。由于流体不可压缩，质量流量平衡条件可压缩，质量流量平衡条件可用体积流量平衡条件来代替用体积流量平衡条件来代替，即在，即在dt时间内流出和流入时间内流出和流入微元控制体的净流体体积为微元控制体的净流体体积为零。零。 在在dtdt时间内，沿时间内，沿x x轴轴方向流出和流入微元控制方向流出和流入微元控制体的净流体体积为：体的净流体体积为：()()22xxxxxuuudxdxudy dz dtudy dz dtdx dy dz dtxxx2dxxuuxx2dxxuuxx2022-6-2710yudx dy dz dtyzudx dy

8、 dz dtz()0yxzuuudx dy dz dtxyz0yxzuuuxyz 同理，在同理，在y y轴和轴和z z轴方向流出和流入微元控制体的净流体轴方向流出和流入微元控制体的净流体体积为：体积为： 根据不可压缩流体连续性条件，根据不可压缩流体连续性条件，dtdt时间内沿时间内沿x x、y y、z z方向方向流出和流入微元控制体的净流体体积之和应为零，即：流出和流入微元控制体的净流体体积之和应为零，即：因而因而此式即为不可压缩流体的连续性微分方程。此式即为不可压缩流体的连续性微分方程。2022-6-2711()() ()0udAu dAudsdAdsss()0u dAs 对于对于一元流动一

9、元流动，单位时间内流进和流出微小段，单位时间内流进和流出微小段dsds内的流体内的流体体积之和为：体积之和为：略去高阶微项后，上式简化为：略去高阶微项后，上式简化为：即即 u dA常量常量此式为一元流动的连续性方程此式为一元流动的连续性方程2022-6-271274 以应力表示的粘性流体运动微分方程式以应力表示的粘性流体运动微分方程式xxpxyxz 粘性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，粘性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。因此粘性流体的表面力不垂直于还有切向应力。因此粘性流体的表面力不垂直于作用面。如在任一点取一微小正六面体，如图作用面。如在任一点取一微小正六面体，如图7-

10、87-8，作用在平面，作用在平面ABCDABCD的应力有法向应力的应力有法向应力 与切向与切向应力应力 和和 。应力符号的第一个脚标表示作。应力符号的第一个脚标表示作用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。可以证明，流场内任一点的应力状况，即该点流可以证明，流场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可用通体微团在任一方向的作用面上的应力，都可用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示，即：量来表示，即：xxxyxzyxyyyzzxzyzzppp一、粘性流体的内应力一、粘性

11、流体的内应力2022-6-2713二、以应力表示的运动微分方程（动量方程）二、以应力表示的运动微分方程（动量方程）2022-6-2714xxpyypzzp 在粘性流体中取一边长为在粘性流体中取一边长为dx，dy，dz的长方体，见图的长方体，见图7-9。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标，读者可自行写出。注意的是各应力面上的应力符号未标，读者可自行写出。注意的是各应力的值均为代数值，正值表示应力沿相应坐标抽的正向，反的值均为代数值，正值表示应力沿相应坐标抽的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此之亦然。由于流体不能

12、承受拉力，因此 、 、 必必为负值。由牛顿第二定律，为负值。由牛顿第二定律，x方向的运动微分方程如下：方向的运动微分方程如下： 2022-6-2715化简后，得化简后，得2022-6-27167-6 7-6 纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 设图7-10所示流体微元的密度为 ，则微元质量为 有势的质量力为,dxdydzdxdydzkZjYiXdxdydzF设微元的速度为 ，则质点的加速度为ukdtdujdtduidtdudtudzyx 根据 ，列出微元在 x 方向上的运动方程式为amFdxdydzdtdudxdydzzdxdydxdzdyydxdzdydzdxxppdydzpdxdydzXxz

13、xzxzxyxyxyxxxxxxx2022-6-2717yzxzzpzxxyyypyzyxxxpxzxy图 710 粘性流体的应力分量A2022-6-27181)-6-(7 )(31)(31)(31222uzvuvzpZdtduuyvuvypYdtduuxvuvxpXdtduzzyyxx向量式为：)(31)(2uvuvpFuutudtud 式（7-6-1） 是在 条件下对一切牛顿流体都普遍适用的运动微分方程式，亦称之为纳维斯托克斯方程。Const2022-6-2719方程的物理意义：胀力。位质量流体粘性体积膨为作用在流体微团上单力；位质量流体粘性剪切合为作用在流体微团上单；位质量流体的压强合力

14、为作用在流体微团上单位质量的质量力；为作用在流体微团上单右边；位质量流体的惯性力）为流体质点加速度（单左边)(312uvuvpFdtud2022-6-2720zuuyuuxuutudtduuvzpZzuuyuuxuutudtduuvypYzuuyuuxuutudtduuvxpXzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx222111（7-6-3） 这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，通常称为纳维斯托克斯方程式（NS方程）。式中2222222zyx上述方程组的另一种写法为：2022-6-2721同理，在柱坐标中dtduuvzpFruudtduruuruvrpFrudtduruuruv

15、rpFzzzrrrrrr2222222212121（7-6-4）式中zururutdtdzrrrrzr111222222222022-6-2722在球坐标中，运动方程式cotsinsincotsin2sinsin11cotsinsincot2sin21sincos2cos222122222222222222222222ruuruuuruururuutuururruuvprFruruuuruururuutuurruuruvprFruuuruururuutuururururuvrpFrrrrrrrrrrrrrR（7-6-8） 式中22222222sin1sinsin11rrrrrr2022-6-2

16、72377 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分111xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzuuuupuuuXtxyzxuuuupuuuYtxyzyuuuupuuuZtxyzz0 当流体为理想流体时，运动粘性系数 ，纳维斯托克斯方程简化为： 这就是理想不可压缩流体的运动微分方程。第三章中的元流能量方程等均可由此式积分导得。上述方程可以写成下列向量形式：pfdtUd12022-6-2724101010pXxpYypZz0 xyzuuu如果流体处于静止状态， ，则上式简化为此即欧拉平衡方程流体平衡微分方程式。2022-6-2725dATdVfdAnuudVtudVUdtdn

17、DDD)()(*理想流体运动积分方程，我们可以采用下式描述：2022-6-272678 流体流动的初始条件和边界条件流体流动的初始条件和边界条件 粘性流体的基本方程是二阶偏微分方程，联系高等数学中的微分方程知识，对于某一特定流动，在建立求解的数学模型时，除了根据流动的特点对一般性的基本方程进行简化外必须同时确定方程的定解条件，也就是流动的初始条件和边界条件。目前，计算流体力学已广泛地应用于解决工程中的流动问题，如何正确合理地给出初始条件和边界条件对于解的正确性和唯一性等尤为重要。但是初始条件和边界条件是有赖于具体的流动的，因此，我们仅介绍一般情况下，涉及较多的初边值条件。我们以粘性不可压缩流体

18、流动为例。 2022-6-2727初始条件00000000()()()()()()()()xxyyzxuxyztuxyzuxyztuxyzuxyztuxyzp xyztp xyz、 、 ；、 、 、 ；、 、 、 ；、 、 、 ；、 、 方程组的解在初始时刻应满足的条件。在初始时刻t=t0，给出：式中各量均为已知函数。2022-6-2728 所谓边界条件是指在流场的边界上，方程组的解应满足的条件。边界大致包括固体壁面，两种流体介质(流动介质和周围介质)的分界而(气气，气液，液液)和管道的出入口等。 边界条件在流动介质与固体接触而上若固壁静止，则 实际的流体都具有粘性，但在研究某些流动时，可忽略粘性，将流体看成为无粘性的理想流体，此时固壁的边界条件则是2022-6-2729 不同液体的分界面，在一般情况下，分界面两侧液体的速度、压强保持连续下标1，2分别表示工作流体和周围流体。 液体和蒸汽的界面，在不考虑液面上饱和蒸汽中的动量，热量和质量交换时，界面上的边界条件可写成 vn1是液体在平均液面垂直方向上的速度，是液面在垂直于平均液面方向上的高度。2022-6-2730 自由液面，即液体与大气的分界面。如可忽略表面张力的影响，则液体在界面上的压强应与气体压强力p0相等，而切应力为零 流