第3章力矩与平面力偶系

1、3- 1 关于力矩的概念与计算关于力矩的概念与计算3- 2 关于力偶的概念关于力偶的概念3- 3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系本章研究关于本章研究关于 力矩和力偶的概念力矩和力偶的概念, , 力偶的性力偶的性质质, , 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡它们是研究平面一般力系的基础它们是研究平面一般力系的基础. .一、力对一、力对点点之矩的概念之矩的概念O 点：矩心点：矩心垂直距离垂直距离 d :力臂力臂.oAldF3-1 关于力矩的概念与计算关于力矩的概念与计算用力用力 F 的大小与的大小与 O 点到力点到力 F 作用线

2、的垂直距离作用线的垂直距离 d 的乘积，再冠以的乘积，再冠以适当的正负号，表示适当的正负号，表示 F 对对O 点的矩。点的矩。用以作为力用以作为力 F 使物体绕使物体绕 O 点转动效应的度量。点转动效应的度量。.oAldF.oFAld平面力矩为代数量平面力矩为代数量大小：大小：Fd符号规定符号规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，顺时针转动为负力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，顺时针转动为负FdFMO)(dFO+力矩的单位力矩的单位: N.m , kN.m-.oFAdFdFMO)(AFdFMOABO2)(的面积为三角形OABAOAB.oFAd(2) 力作用线通过矩心力作用线通过矩心时时, 则

3、力矩为零。反之则力矩为零。反之, 如果一个力其大小如果一个力其大小不为零不为零, 而它对某点之矩等于零而它对某点之矩等于零, 则此力的作用线必通过该点则此力的作用线必通过该点(1) 当力沿其作用线滑移时，并不改变力对点之矩。当力沿其作用线滑移时，并不改变力对点之矩。FdFMO)(F(4) 同一力对不同点的矩一般不同，因此必须指明矩心。同一力对不同点的矩一般不同，因此必须指明矩心。FdFMO)(3) 互相平衡的二力对同一点之的代数和为零互相平衡的二力对同一点之的代数和为零FFFFOd0)()(dFFdFMFMOO例题例题, 悬臂梁悬臂梁 AB 的自由端的自由端 B , 作用一个在作用一个在 xO

4、y 平面内平面内, 与与 x方向夹方向夹角角 300 的力的力 F = 2kN. AB 梁的跨度梁的跨度 l = 4m . 求力求力 F 对对 A 点的矩点的矩 .300FBAl解解: 用定义用定义FdFMO)(mkNFdFMA.430sin42)(0d例题例题：已知：已知 F，a, 。求求 F 力对力对 O 点之矩。点之矩。FOAa 解：由定义式：解：由定义式：sin)(FaFdFMOd 二，合力矩定理二，合力矩定理xyoFAdr FxFyyx)cossincos(sin)sin()(FrFrFdFMOFFFFxycos,sinyrxrsin,cosFyFxFMxyO)(FyFxFMxyO)

5、(xyoF1AyxFnF2如果作用在如果作用在 A 点上的是一个汇交力系点上的是一个汇交力系 ( F1, F2, , Fn ) , 则由上式求则由上式求出每一个力对矩心出每一个力对矩心 O 的矩的矩 , 加在一起可得加在一起可得FyFxyFxFFMxyxyO)(xyoF1AyxFnF2FyFxFMxyO)(汇交力系的合力汇交力系的合力FyFxFyFxFMxyRxRyRO)(FFFFyRyxRx,FyFxFMxyO)(FRFRxFRyxyoF1AyxFnF2)()(FMFMORO平面汇交力系平面汇交力系 的合力矩投影定理的合力矩投影定理: 平面汇交力系平面汇交力系 的合力对平面上任的合力对平面上

6、任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。FR.oAl=0.4mF=200N例例3-2 用合力矩定理计算力用合力矩定理计算力 F 对对 O点之矩点之矩600FyFxyx)()()(FMFMFMyOxOO60sin,60cos00FFFFyxmNFlFFMyO.3 .694 . 060sin0)(0例题例题, 悬臂梁悬臂梁 AB 的自由端的自由端 B , 作用一个在作用一个在 xOy 平面内平面内, 与与 x方向夹方向夹角角 300 的力的力 F = 2kN. AB梁的跨度梁的跨度 l = 4m . 求力求力 F 对对 A点的矩点的矩 .300FBAl30

7、0FBAl用合力矩定理用合力矩定理FyFx)()()(FMFMFMyAxAAmkNF.4)430sin(00练习题练习题：已知：已知 F，a，b， 。用。用合力矩定理求力合力矩定理求力 F 对对 O 点之矩。点之矩。bFaFFMFMFMyOxOOsincos)()()(FbOABa FxFy3-2 关于关于力偶力偶的概念的概念一，力偶一，力偶1，力偶：大小相等，力偶：大小相等 ，方向相反而不共线的一对平行力称为力偶。，方向相反而不共线的一对平行力称为力偶。力偶对物体产生力偶对物体产生纯转动效应纯转动效应.),(FFABFF ABFF 力偶作用面力偶作用面d 称为力偶臂称为力偶臂2，力偶三要素，

8、力偶三要素（1）力偶的大小称为力偶矩）力偶的大小称为力偶矩（2）力偶作用面的方位）力偶作用面的方位.（3）在力偶作用面内，力偶的转向）在力偶作用面内，力偶的转向FdFFM),(符号的规定符号的规定：使物体逆时针转动为正号，反之负为号。：使物体逆时针转动为正号，反之负为号。d(-)力偶没有合力，因此力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平力偶没有合力，因此力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。衡。力偶只能与力偶等效，也只能与力偶平衡力偶只能与力偶等效，也只能与力偶平衡。3，力偶的性质，力偶的性质 （1）力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和等于零。）力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和等于零

9、。FFdn(+)(-)（2）力偶中两力对力偶作用面内任一点的矩恒等于力偶矩）力偶中两力对力偶作用面内任一点的矩恒等于力偶矩 ，而与，而与所选矩心的位置无关。所选矩心的位置无关。FFdxO)()(FMFMMOOO),()(FFMFddxFFx推论推论1：力偶矩矢保持不变，力偶可以在其作用面内任意转移，而：力偶矩矢保持不变，力偶可以在其作用面内任意转移，而不会改变它对刚体的转动效应。不会改变它对刚体的转动效应。F1F1d=F1F1d同一平面内两个力偶等效的必要与充分条件：同一平面内两个力偶等效的必要与充分条件：两个力偶矩相等两个力偶矩相等。 二二, 同一平面内力偶的等效定理同一平面内力偶的等效定理

10、推论推论2：在：在保持力偶矩大小不变保持力偶矩大小不变的条件下，可以同时相应的改变力的条件下，可以同时相应的改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。F1F1d1F2F2d2dFdF2211一，合成一，合成dFM111 dFM222 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡F1F1d1F2F2d2(1) 两个力偶的合成两个力偶的合成dFM111 dFM222 dFM111 dFM222 dF11F11F22F22F1F1d1F2F2d2dFM111 dFM222 dF11F11F22F22dFRFRFFFF

11、FFRR 22112211,MMdFFdFMRR212211)(MMMMMini1力偶系：同时作用于同一物体上的若干力偶。力偶系：同时作用于同一物体上的若干力偶。平面力偶系：力偶系各力偶位于同一平面内。平面力偶系：力偶系各力偶位于同一平面内。平面力偶系实际上与一个力偶等效。平面力偶系实际上与一个力偶等效。平面力偶系可以合成为一个平面力偶系可以合成为一个力偶力偶（原力偶系的合力偶）。（原力偶系的合力偶）。合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代数和合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代数和(2) n 个力偶的合成个力偶的合成例例 : 已知已知 M1 = 10N.m , M2 = 20N.m , M

12、3 = 15N.m .求求:合力偶矩合力偶矩 M .M1M2M3mNMMi.25152010M平面平面力偶系平衡的必要、充分条件是：力偶系平衡的必要、充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。数和等于零。0M上式为平面力偶系的上式为平面力偶系的平衡方程平衡方程当作用在刚体上的主动力全是力偶时，约束反力一定形成力偶。当作用在刚体上的主动力全是力偶时，约束反力一定形成力偶。三，平衡条件三，平衡条件例例3-3 已知力矩为已知力矩为 Me = 300N.m ，l = 3m. 试求支座的约束反力试求支座的约束反力.MeBAlFBFA0, 0lFMMAeNlMFFeBABAM

13、e例例3-4 已知三个力偶矩的大小分别为已知三个力偶矩的大小分别为 M1=1.0 N.m, M2=1. 4 N.m, M3=2. 0 N.m, 求两定向螺栓所受的力求两定向螺栓所受的力.BAlM1M2M3BAM1M2M3解解: 取工件为研究对象取工件为研究对象, 画受力图画受力图FBFA0321MMMlFA 0MFNFBA 22BAlM1M2M3例题例题: 图示刚架，其上作用三个力偶，其中图示刚架，其上作用三个力偶，其中 F1= F1= 5 kN， M2= 20 kN.M , M3 = 9 kN.m , 试求支座试求支座 A、B 处的反力处的反力AB30oF1F1M31m1m1mM230oFA

14、30oFBABM3M1M2解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶A、B 处的约束反力一定形成力偶。处的约束反力一定形成力偶。mkNFM.5111AB30oF1F1M31m1m1mM230oFA30oFBABM3M1M2根据平面力偶系的平衡方程根据平面力偶系的平衡方程解得：解得： 0M0321dFMMMB0920560sin0ABFBkNFFBA.d60o练习题练习题 梁梁 AB 受一力偶作用受一力偶作用, 此力偶矩此力偶矩 M = 20kN.m , 梁的跨度梁的跨度 l= 5m, 倾角倾角 = 600. 试求试求 A, B 处的支座反力处的支座反力. 梁的自重

15、不计梁的自重不计.MBA解解: 取取 AB 为研究对象为研究对象. 画受力图画受力图 FBFAMBA lMBA FBFAMBA ld 0M平衡方程平衡方程0dFMA060cos0lFMAkNFFBA8思考题思考题3-2 ( P46 ) 在物体上作用有两个力偶在物体上作用有两个力偶 ( F1, F1) 和和 ( F2, F2 ), 其力的多边形封闭其力的多边形封闭. 问该物体是否平衡问该物体是否平衡? 为什么为什么?F1F1F2F2F1F2F1F2该物体不平衡该物体不平衡, 力的多边形法则只适用于平面汇交力系力的多边形法则只适用于平面汇交力系平面力偶系平衡的必要、充分条件是：平面力偶系平衡的必要、充分条件是：力偶系中所有各力偶矩力偶系中所