第七章静定结构影响线

1、西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授基本要求：掌握影响线的概念和绘制影响线的方 法。 熟练掌握静定梁的反力和内力影响线 绘制。 了解桁架影响线和结点荷载作用下梁 的影响线绘制。 掌握影响量的计算和三角形影响线最 不利荷载位置的确定。 了解内力包络图和绝对最大弯矩概念Influence line of statically determinate structure影响线的概念影响线的概念静力法作影响线静力法作影响线结点荷载下的影响线结点荷载下的影响线机动法作影响线机动法作影响线影响线的应用影响线的应用简支梁的内力包络图简支梁的内力包络图西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授7.1 移动荷载和影响线的

2、概念移动荷载移动荷载结构内力随荷载的移动而变化结构内力随荷载的移动而变化,为此需要为此需要研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。荷载的最不利位置）。研究方法：研究方法： 先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律，先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律， 再根据叠加原理再根据叠加原理解决移动荷载作用下的内力计算问题解决移动荷载作用下的内力计算问题,以及最不利荷载的位置问题。以及最不利荷载的位置问题。影响线的定义：当P=1在结构上移动时，用来表示某一量值Z变化规律的图形，称为该量值Z的影响线

3、。在Z的影响线中,横标表示的是P=1的作用位置； 竖标表示的是量值Z的值。 如在RB影响线中的竖标yD表示的是： 当P=1移动到 点时，产生的 支座反力。Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力 的影响线无 量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。DB作用下内力计算特点：作用下内力计算特点：P=1xy=RB1P=1RBRB影响线DyD返回返回西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授 以自变量以自变量x x表示表示P=1P=1的作的作用位置，通过平衡方程，建用位置，通过平衡方程，建立反力和内力的影响线函数立反力和内力的影响线函数 并作影响线。并作影响线。1、支座反力影响线11RB.影响线RA.

4、影响线2、剪力影响线当P=1在AC上移时取CBa/l当P=1在CB上移时取ACRAb/l+QC. 影响线7.2 静力法作单跨静定梁的影响线llxlRMllxRMABBA, 0/0, 0/0CabRAARB.BxP=1l), 0/0alxRQYBC,(/0lalxlRQYAC,弯矩影响线CBbACaab/lMC.影响线MCQCRB QCMC西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授 单跨静定梁的影响线特点单跨静定梁的影响线特点:反力影响线是一条直线；反力影响线是一条直线；剪力影响线是两条平行线；剪力影响线是两条平行线；弯矩影响线是两条直线组弯矩影响线是两条直线组 成的折线。成的折线。a/lb/l+QC.

5、I.Lab/lMC.I.LRB.B11RB.I.LRA.I.LCabxP=1lRAA西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授CabxP=1lab/lM图(kN.m)P=1kNCabLab/lMC.I.L(m)弯矩影响线与弯矩图的比较影响线弯矩图荷载位置 截面位置横坐标竖坐标yD不变变不变变单位移动荷载位置截面位置 yDDyDD单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载作用下,产生的D截面的弯矩西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授当P=1在EC上时：QC=RB=x/l l1，a）当P=1在CF上时： QC=RA=（lx）/l （a，l+l2RB=x/l l1，l+l2 伸臂梁的影响线由平衡

6、条件可得: 故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。l1abll2P=1xABCRARBEF伸臂梁支座反力及支座间内力影响线方程与简支梁对应量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。RB=x/l 0 ,l 当P=1在AC上移动 QC=x/l 0，a）当P=1在CB上移动 QC=（lx）/l( a, l CabxP=1lRAABRB.西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授+1RB.I.La/lb/l+QC.I.Lab/l+_Mc.I.LD当P=1在D以里移动时D截面内力等于零， 故伸臂上截面内力影响线在该截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D

7、以外移动时D截面才有内力d+ 1QD.I.Ll1abll2P=1xABCRARBEF伸臂梁的影响线 故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。LIQB.左+西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授d 8 5d 4 3d1615横梁纵梁主梁AB CE FRARB l=4dd/2 d/2DP=1 MD影响线P=1 P=1 DxP=1P=1 dxd dxdxddxddMD4385 结点荷载下影响线特点 1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同. 2、相邻结点之间影响线为一直线。 结点荷载下影响线作法 1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。 2、以实

8、线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。MD.I.LQCE. I.L1/21/4LIMC.43d7-3 结点荷载作用下梁的影响线(Influence line under joint load)西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授l=6dACBDEFGh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。7-4静力法(static method)作桁架的影响线 桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授4d/(3h)d/h4d/h2d/h7-4静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFG

9、acbdefgh任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。11NbcRARGNbc=RA2d/h (P=1在以右时） NCD同理：NCD=+Mc0/h平行弦桁架弦杆影响线可由相应梁结点的弯矩影响线竖标除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。4d/3/hI.L.NCDI.L.Nbc4d/34d/3/hP=1或：Nbc=MC0/hNbc=R4d/h (P=1在C以左时）西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授7-4静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFG22RARGRARGP=1P=1I.L.YbC0BCbCQY1/62/3NbC平行弦桁架斜杆轴力的Y

10、bC影响线就是梁的节间剪力QBC0影响线。右下斜为正，右上斜为负。P=1在C以右时 YbC=RAP=1在B以左时 YbC=R可概括为一个式子0BCQ0BCQ西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFGRARGRARGP=1P=10CDcCQNNcC111/21/3I.L.NcC1/6竖杆轴力NcC影响线就是负的梁的节间剪力QCD0影响线。作桁架影响线时要注意区分是上弦承载，还是下弦承载。下承上承0bccCQN2/3I.L.NcCP=1在D以右时 NcCRAP=1在C以左时 NcCRG可概括为一个式子在CD之间为直线0CDQ0CDQ西华大学土木工

11、程学院 舒志乐 讲授l=6dACBDEFGacbdefghI.L.NdD=0下承上承I.L.NdD1P=1ACBDEFGacbdefghP=1P=1P=1P=1P=1任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。单跨梁式平行弦桁架 弦杆内力影响线（由力矩法作出）可由相应简支梁结点（力矩法的矩心）弯矩影响线除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。 斜杆轴力的竖向分力和竖杆轴力影响线（由投影法作出）是梁的被切断的载重弦节间剪力影响线。作桁架影响线时要注意区分是上承，还是下承。 静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。 西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授作图示桁架指定杆的内力影响线解：求N1需取

12、截面-，建立矩方程Me=0先作出简支梁的Me影响线如图(a)，再将其竖标除以桁架高度 a 即得N1影响线如图(b) 。下承上承P=1l=6aACBDEFacdefba12345P=1I.L.Me4a/3+(a)I.L.N1+4/3(b)西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授l=6aACBDEFacdefba12345求N2需取截面-， 建立投影方程Y=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QE右影响线，而 Y2=QE右，且在相邻节点之间为一直线，得N2影响线如图(b) 。P=1I.L.QE右+1/62/31/3(a)下承上承I.L.N2+6/23/22(b)P=1当桁架上下

13、弦节点上下对齐时，绘制弦杆及斜杆内力影响线不需分上承和下承。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授l=6aACBDEFacdefba12345求N3需取截面-， 建立投影方程Y=0先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QE右影响线，而 :N3=QE右，且在相邻节点之间为一直线，得N3影响线如图(b) 。P=1I.L.QE右+1/62/31/3(a)上承I.L.N3+6/13/2(b)P=1下承如为上承，被截载重弦节间是de，影响线如图(b)中的虚线所示。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授l=6aACBDEFacdefba12345求N4需取截面-， 建立投影方程Y=0先作出简

14、支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QC右影响线，而 :Y4=QC右，且在相邻节点之间为一直线，得N4影响线如图(b) 。P=1I.L.QC右+1/22/31/3(a)上承+3/22/2I.L.N4(b)P=1下承如为上承，被截载重弦节间是cd，影响线如图(b)中的虚线所示。6/2西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授l=6aACBDEFacdefba12345求N5需取截面-， 建立矩方程MC=0先作出简支梁MC影响线如图(a)所示，再将其竖标除以桁架高度 a 即得N5影响线如图(b) 。P=1P=1如为上承，cd节间影响线要为直线，如图(b)中的虚线所示。I.L.N2(b)+上

15、承下承4/3绘制竖杆内力影响线，和当桁架上下弦节点上下不对齐时，绘制各杆内力影响线，需区分上承和下承。I.L.MC4a/3(a)+西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授绘制影响线的方法静力法:由平衡条件列影响线方程,作影响线.机动法:根据虚功原理,将作影响线的静力问 题转化为作位移图的几何问题。 机动法的优点：不经计算快速的绘出影响线的形状。从而确 定荷载的最不利位置。也可用它来校核静力 法绘制的影响线。 7-5机动法(kinematic method)作影响线西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授P=1xP=1xailCZ(x)()(0)(11)(xxZxxZPP 1 1P(x) 要求量值Z（支座反

16、力RA）影响线，将与Z相应的约束解除，代以未知力Z，得到有一个自由度的机构。 然后让机构沿Z的正方向发生单位虚位移。 列出刚体虚功方程，力与位移同向时虚功为正。 Z 的影响线，的影响线，基线以上的竖基线以上的竖标为正标为正P=1 作用点的竖作用点的竖向虚位移图，向向虚位移图，向下为正（与下为正（与P=1同同向）。向）。 于是得到：所得虚位移图即 Z 的影响线。基线以上的虚位移图是正影响线，基线以下的虚位移图是负影响线。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授b/la/lI.L.QCP=1CQCP=1xablCP=1CP=1xablC1bab/lI.L.MC所作虚位移图要满足支承连接条件！如有竖向支撑

17、处，不应有竖向位移。定向连接处左右杆段位移后要互相平行。11西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1 1m1/43/49/49/29/4作I.L.MKI.L.Mk(m)1/43/49/49/29/4用机动法作图示多跨静定梁的影响线。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授Qk11/43/41/43/43/23/4I.L.QKMC11作I.L.QK作I.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)1西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授121RD11.51m3m1m3m1m2m2

18、m1mP=1HAKBECFDG作I.L.QE作I.L.RDI.L.QE121I.L.RD1.5QE西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授多跨静定梁的影响线绘制要点： 附属部分上的量值影响线，在附属部分上与相应单跨静定梁的影响线相同；在基本部分上竖标为零。 基本部分上的量值影响线，在基本部分上与相应单跨静定梁的影响线相同；在附属部分上以结点为界按直线规律变化。 静定结构的影响线相应于机构的虚位移图，由直线段组成。在截面所在杆为折线（M）或平行线（Q） 在其它杆上为直线。以此确定控制点，利用影响线竖标含义求出各控制点的影响量，再连线。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授 1）求影响量b/la/lI.L.

19、QCy1P1y2P2y3P3a）集中荷载QC=P1y1+ P2y2 + P3y3一般说来： Z= PiyiablCa blqABqdxb）均布荷载d=ydxQC=q 正的影响线取正面积ydxqBAyqdxQBACwdqBAb/la/lyx dxQCydxqBA 0yqc 0qctgxb qdtgxxbxdtgqbx0定理：当一组平行力作用在影 响线的同一直线段上时， 这组平行力产生的影响等 于其合力产生的影响。I.L.QCy0c7-6影响线的应用西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授 1）利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量一般说来： Z= Piyi+qii+mi tgi集中力偶影响梁计算式中，

20、yi为集中荷载Pi作用点处Z影响线的竖标，在基线以上yi取正，Pi向下为正； i为均布荷载qi分布范围内Z影响线的面积，正的影响线计正面积，qi向下为正； i为集中力偶mi所在段的影响线的倾角，上升段影响线倾角取正，mi顺时针为正。6m3m6m6m3m 3m3mP1 PiqiKmq1I.L.Zy1 yli1西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授mbm/bm/bZ=m/bam/bc =m(ac)/b =m tgacZ的影响线集中力偶引起的Z值等于力偶矩乘以力偶所在段的影响线的倾角正切。上升段影响线倾角取正。返回返回西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。6454I.L.

21、MK (m)MK=P1y1+ P2y2 +q11+q22 q33mtg =1004100550 12321630 1.518301925kN.m6m3m6m6m3m 3m3m100kN100kN 50kN/m30kN/mK30kN.m301/3西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授 2）利用影响线求荷载的最不利位置如果荷载移动到某个位置，使某量达到最大值，则此位置称为荷载最不利位置。判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位。a）单个移动集中荷载：ablPb）可移动均布荷载：I.L.Z求Z的最大值求Z的最小值 c）行列荷载（间距不变的一组移动荷载）下确定某量值

22、Z的最不利位置，分两步进行。求出使Z达到极值的荷载临界位置并求出极值；从各个极值中选出最大、最小值，从而确定荷载的最不利位置。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授2m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKx10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P15/3+P21=11P/311P/32P/3xMK的综合影响线1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。2) MK的极值表现为尖点值。其特点是：a）有一集中力Pcr位于影响线顶点上。b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点, MK的值均减少。满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载，与此对应

23、的行列荷载位置，称为临界位置。3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是临界荷载。西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授Z影响线P1P2P3P4P5P6R1R2R3临界荷载的判断条件3y2y1y1yD2yD3yD102030P1=P2=P3=P4=P5=90kNP2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m8m4m6m1.00.75132Z影响线P2P3P4P1P5 q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530mtg1=1/8tg2=0.25/4tg3=0.75/6荷载稍向右移: R1=270kN R2=90237.81=217.8kN R3=

24、37.86=226.8kNRitgi=2701/8+217.8(0.25/4)+226.8(0.75/6)=8.20荷载稍向左移: R1=360kN R2=9037.81=127.8kN R3=37.86=226.8kN所以P4是个临界荷载。（中活载）0.90685 . 68585 . 30.81185 . 68585 . 390Z906. 090kN4552675. 01275. 081. 08 .37西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授当影响线为三角形时：PcrR左R右tg=c/atg=c/b荷载右移：cab荷载左移：bRaPRbRPaRcrcr右左右左当影响线为三角形时，临界位置的特点是：有一集中力Pcr在影响线的顶点，将Pcr计入那边那边荷载的平均集度就大。如Z的达极大值iitgR=R左tg(PcrR右)tg0=(R左 Pcr) tgR右tg0iitgR西华大学土木工程学院 舒志乐 讲授cablR左R右yayb一段可移动的均布荷载的最不利位置判断，当影响