机器人雅可比矩阵2

1、 两空间之间速度的两空间之间速度的线性映射关系线性映射关系雅可比矩阵（简称雅可比矩阵（简称雅可雅可比比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比传动比，同时也可用来表示两空间之间同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。力的传递关系。vxvy12),(21),(yx存在存在怎样怎样的关的关系系 首先来看一个两自由度的首先来看一个两自由度的平面机械手，如图平面机械手，如图3-17所示。所示。图图3-17 两自由度平面机械手两自由度平面机械手 容易求得容易求得将其微分得将其微分得写成矩阵形式写成矩阵形式1221112211slslyclclx2

2、11221221112212211ddclclclslslsldydx 假设关节速度为假设关节速度为 ，手爪速度为，手爪速度为 。简写成简写成 ： dx=Jd。式中式中J就称为机械手的雅可比（就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵矩阵，它由函数，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移的偏微分组成，反映了关节微小位移d与手部（手爪）微小运与手部（手爪）微小运动动dx之间的关系。之间的关系。对对dx=Jd两边同除以两边同除以dt，得得Jv Jx可以更一般的写成可以更一般的写成 。 因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空

3、间速度的线性变换。间速度的线性变换。 （或（或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，简称操作速度， 为关节速度。为关节速度。 J若是若是6n的偏导数矩阵，它的第的偏导数矩阵，它的第i行第行第j列的元素为列的元素为 ：njiqqxqJjiij,.,2 , 1; 6,.,2 , 1,)()(式中，式中，x代表操作空间，代表操作空间，q代表关节空间。代表关节空间。 若令若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即矢量，即2121JJx可以看出，可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关

4、节以雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。单位速度运动产生的端点速度。由由 ，可以看出，可以看出，J阵的值随手爪位置的阵的值随手爪位置的不同而不同，即不同而不同，即1和和2的改变会导致的改变会导致J的变化。的变化。1221221112212211clclclslslslJ 对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。奇异形位。上例机械手雅可比上例机械手雅可比矩阵的行列式为：矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2 当当2=0或或

5、2=180时，机械时，机械手的雅可比行列式为手的雅可比行列式为0，矩阵的秩，矩阵的秩为为1，因此处于奇异状态。在奇异，因此处于奇异状态。在奇异形位时，形位时，机械手在操作空间的自机械手在操作空间的自由度将减少。由度将减少。 只要知道机械手的雅可比只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即可求出，即 。 上例平面上例平面2R机械手的逆雅可比机械手的逆雅可比于是得到与末端速度于是得到与末端速度 相应的关节速度：相应的关节速度：显然，当显然，当2趋于趋于0（或（或180）时，机械手接近奇异形位，相应）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷

6、大。的关节速度将趋于无穷大。122111221112212222111slslclclslclsl lJ4.1.2 微分变换微分变换 为了补偿机器人为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以，以及解决及解决两个不同坐标系之间的微位移关系两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。杆件在作微小运动时的位姿变化。一一.变换的微分变换的微分 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变该

7、变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分量的微分。若它的元素是变量若它的元素是变量x的函数，则变换的函数，则变换T的微分为的微分为:例如给定变换例如给定变换T为：为：44434241343332312423222114131211ttttttttttttttttTdxxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtdT44434241343332312423222114131211二二. 微分运动微分运动所以得所以得 设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为后该杆件相

8、对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是若这个微运动是相对相对于基坐标系（静系）进行的于基坐标系（静系）进行的(左乘左乘)，总可以用微小的平移和旋转总可以用微小的平移和旋转来表示，即来表示，即TdkRotdddTransdTTzyx),(),(TIdkRotdddTransdTzyx44),(),(根据齐次变换的相对性，若微运动是根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系相对某个杆件坐标系i（动系）动系）进行的进行的(右乘右乘)，则则T+dT可以表示为可以表示为则相对基系有则相对基系有dT=0T，相对相对i系有系有dT=Ti 。这里这里的下标不同是由的下标不同是由于微运动相对不同坐

9、标系进行的。于微运动相对不同坐标系进行的。(,)( ,)xyzTdTT Trans d ddRot k d所以得所以得44),(),(IdkRotdddTransTdTzyx令令 为微分算子为微分算子44),(),(IdkRotdddTranszyx三三.微分平移和微分旋转微分平移和微分旋转 由于微分旋转由于微分旋转0 ，所以所以sind，cos1，Vers0，将将它们代入旋转变换通式它们代入旋转变换通式(p27)中得微分旋转表达式中得微分旋转表达式: 微分平移变换与一般平移微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为变换一样，其变换矩阵为:于是得微分算子于是得微分算子100010001000

10、1),(dzdydxdzdydxTrans1000010101),(dkdkdkdkdkdkdkRotxyxzyz44),(),(IdkRotdddTranszyx0000000dzdkdkdydkdkdxdkdkxyxzyz四四. 微分旋转的无序性微分旋转的无序性 当当0 时，有时，有sind，cos1若令若令x=dx，y=dy，z=dz，则绕三个坐标轴则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为的微分旋转矩阵分别为10000100100001),(xxxxRot10000100010001),(yyyyRot10000100001001),(zzzzRot10000101001),(),(

11、xyxyxyyyRotxxRot100001010001xyxy10000101001),(),(xyxyyxxxRotyyRot100001010001xyxy略去高略去高阶无穷阶无穷小量小量两者结果相同，可见这里两者结果相同，可见这里。同理可得同理可得 1000010101),(),(),(xyxzyzzzRotyyRotxxRot 若若Rot（x，y，z） 和和Rot（x，y，z） 表示两表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可

12、加的。数和，即微分旋转是可加的。100001) (0) (10) (1) , , (),(xxyyxxzzyyzzzyxRotzyxRotkxd=x， kyd=y ， kzd=z所以有所以有由等效转轴和等效转角与由等效转轴和等效转角与 等效，有等效，有),(),(),(zzRotyyRotxxRot),(dkRot),(),(),(zzRotyyRotxxRot即即1000010101dkdkdkdkdkdkxyxzyz1000010101xyxzyz将它们代入将它们代入得得0000000zxyyxzxyzddd因此因此可以看成由可以看成由 和和 两个矢量组成，两个矢量组成， 叫叫微分转动矢量

13、微分转动矢量， 叫叫微分平移矢量微分平移矢量。分别表示为。分别表示为dd 和和 合称为合称为微分运动矢量微分运动矢量，可表示为，可表示为dkdjdiddkjizyxzyxTzyxzyxdddD),(解：解：例：已知一个坐标系例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平相对固定系的微分平移矢量移矢量 ，微分旋转矢量，微分旋转矢量 ，求微分变换求微分变换dA。kid5 . 0j1 . 010000010500110100A00005 . 0001 . 0000011 . 000AdA1000001050011010000005 . 0001 . 0000011 . 00000005 . 01 . 0

14、000000101 . 000000000zxyyxzxyzddd因为因为将它们代入前面的方程将它们代入前面的方程10000zzzzyyyyxxxxipaonpaonpaonT令00000000dzxydyxzdxyz0000000iiiiiiiiiidzxydyxzdxyziiiTT000TTiii0010现在讨论现在讨论i系和系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就系就是固定系（基系）是固定系（基系）0系。系。整理得到：整理得到：得得zyxdzdydxaaaooonnnapapapaaaopopopooonpnpnpnnnzyxdzdydxzyxzy

15、xzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxiiiiii000000000)()()()()()()()()(其中其中上式简写成上式简写成)(0ioPS对于任何三维矢量对于任何三维矢量 ，其反对称矩阵，其反对称矩阵 定义为：定义为：相应地，任意两坐标系相应地，任意两坐标系A和和B之间广义速度的坐标变换为：之间广义速度的坐标变换为：BBABAOBABABAAVRPRSRV0)(例：例：知坐标系知坐标系A及相对于固定系的微分平移及相对于固定系的微分平移矢量矢量 ，微分旋转矢量，微分旋转矢量 ，求，求A系中等价的微分平移矢量系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢和微分旋转矢量量A。解：解：因为已知因

16、为已知 ，可以根据前面的公式求得，可以根据前面的公式求得dA和和A。也可也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即求得求得 ， 机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和和力矩力矩 ，统称为，统称为末端广义（操作）力矢量末端广义（操作）力矢量。记为。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量维矢量称为关节力矢量称为关节力矢量y0 x012 , TFf n),(21),(nf存在怎样的关系存在怎样的关系 利用虚功原理，令各关节的虚位移为利用虚功原理，令各

17、关节的虚位移为qi ，末端执行器相应末端执行器相应的虚位移为的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即执行器所作的虚功应该相等，即简写为简写为:又因为又因为 , 所以得到所以得到 与与 之间的关系之间的关系式中式中 称为称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。操作力向关节力映射的线性关系。 若若J是是关节空间关节空间向向操作空间操作空间的映射（微分运动矢量），则的映射（微分运动矢量），则 把把操作空间的广义力矢量操作空间的广义力矢量映

18、射到映射到关节空间的关节力矢量关节空间的关节力矢量。关节空间关节空间操作空间操作空间雅可比雅可比J力雅可比力雅可比JT若已知若已知则有则有zyxdzdydxaonaonaonapapapaaaopopopooonpnpnpnnnzyxdzdydxzzzyyyxxxzyxzyxzyxzyxzyxzyxiiiiii000000000)()()()()()()()()(T00TBAABBABAOBABABAAVRPRSRV0)(BJTJ 根据前面导出的两坐标系根据前面导出的两坐标系A和和B之间广义速度的坐标变换之间广义速度的坐标变换关系，可以导出关系，可以导出A和和B之间广义操作力的坐标变换关系。之

19、间广义操作力的坐标变换关系。解：解：由前面的推导知由前面的推导知例例 :如图如图3-18所示的平面所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为作用于外界环境的力为 ，若关节无摩擦，若关节无摩擦力存在，求力力存在，求力 的等效关节力矩的等效关节力矩 。所以得：所以得：图图3-18 关节力和操作力关系关节力和操作力关系y0 x012TyxFFF,0例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（Os）装有力装有力/力矩力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩 ，求这，求这时作用在螺钉上的力和力矩时作用在螺钉上的力和力矩 。( ),zyxSOTrrrP解：根据图示的相应位姿关系得解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：STST微分运动关系时：微分运动关系时：静力传递关系时：静力传递关系时： 对于任何机械系统，拉格朗日函数对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能定义为系统总的动能K与总的势能与总的势能P之差，即之差，即L=K-P。这里，这里，L是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；k是动是动能；能；P是势能。是势能。 qEqEqEdtdpk