第7章自回归条件异方差模型

1、第七章第七章 条件异方差模型条件异方差模型 本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的建立建立变量的条件方差或变量波动性模型。变量的条件方差或变量波动性模型。 建模并预测其变动性通常有如下几个原因建模并预测其变动性通常有如下几个原因: : 首先，我首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得

2、到更有效的估计。我们就能得到更有效的估计。本章内容：本章内容： 自回归条件异方差自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。方差模型并对其进行预测的。 ARCH模型是模型是1982年由恩格尔年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博提出，并由博勒斯莱文勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为发展成为GARCH (Generalized ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用广义自回归条件异方差。这些模

3、型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？不会出现异方差呢？会是怎样出现的？ 恩格尔和克拉格（恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发现这样一些）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结现象：时间序列模型中的扰动方

4、差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然化。预测的

5、误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。）模型。ARCH的主要思想是时刻的主要思想是时刻 t 的的ut 的方差的方差（= t2 ）依赖于时刻依赖于时刻(t 1)的残差平

6、的残差平方的大小，即依赖于方的大小，即依赖于 ut2- 1 。 为了说得更具体，让我们回到为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：变量回归模型：(7.1.1) 并假设在时刻并假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的的分布是：分布是： (7.1.2) 也就是，也就是，ut 遵循以遵循以0为均值，为均值，( 0+ 1u2t-1 )为方差的正态分布。为方差的正态分布。 由于由于(7.1.2)中中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为为ARCH(1)过程：过程：然而，容易加以推广。然而，容易加以推广

7、。ttkkttuxxy110)( ,02110tuNtu21102)var(tttuu 例如，一个例如，一个ARCH ( (p) )过程可以写为：过程可以写为：（7.1.3） 如果扰动项方差中没有自相关，就会有如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：这时这时 从而得到误差方差的同方差性情形。从而得到误差方差的同方差性情形。 恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：设：（7.1.4） 其中，其中，t 表示从原始回归模型（表示从原始回归模型（7.1.1）估计得到的）估计得到的OLS残差。残差。 222221102ptptttuuuu2

8、22221102ptptttuuu021p02)var(tu 常常有理由认为常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前的变化的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.3)不过不过是是 t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个 t2的滞后值的滞后值代替许多代替许多ut

9、2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heterosce-dasticity model，简记为，简记为GARCH模型模型)。在。在GARCH模型中，要考虑模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。 在标准化的在标准化的GARCH(1,1)模型中：模型中： (7.1.5) (7.1.6)其中：其中：xt是是1(k+1)维外生变量向量，维外生变量向量， 是是(k+1)1维系数向维系数向量。量。 (7.1

10、.5)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于函数。由于 t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所，所以它被称作条件方差。以它被称作条件方差。tttuyx21212tttu (7.1.6)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）：常数项（均值）： 2用均值方程用均值方程(6.1.5)的残差平方的滞后来度量从前的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。项）。 3上一期的预测方差：上一期的预测方

11、差： t2-1 （GARCH项）。项）。 GARCH(1,1)模型中的模型中的(1,1)是指阶数为是指阶数为1的的GARCH项项（括号中的第一项）和阶数为（括号中的第一项）和阶数为1的的ARCH项（括号中的第项（括号中的第二项）。一个普通的二项）。一个普通的ARCH模型是模型是GARCH模型的一个特模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差 t2的说明。的说明。 在在EViews中中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下，模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARC

12、H(1,1)，t 时期时期的对数似然函数为：的对数似然函数为：(7.1.7) 其中其中 (7.1.8) 这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型乎意料地大，那么贸易商

13、将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。222/)(21log21)2log(21tttttylx2121212112)(ttttttuyx 有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：型： 1如果用条件方差的滞后递归地替代（如果用条件方差的滞后递归地替代（7.1.6）式的右）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后残差平方的加权平均：端，就可

14、以将条件方差表示为滞后残差平方的加权平均： （7.1.9） 可以看到可以看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，残差的加权条件方差。它包含了在更大滞后阶数上的，残差的加权条件方差。 .12112jtjjtu 2设设 vt = ut2 t2。用其替代方差方程（。用其替代方差方程（7.1.6）中的方）中的方差并整理，得到关于平方误差的模型：差并整理，得到关于平方误差的模型： （7.1.10）因此，平方误差服从一个异方差因此，平方误差服从一个异方差ARMA(1, 1)过程。决定波动过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是冲击持久性

15、的自回归的根是 加加 的和。在很多情况下，这的和。在很多情况下，这个根非常接近个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。，所以冲击会逐渐减弱。 . 1212ttttvvuu 方程方程(6.1.6)可以扩展成包含外生的或前定回归因子可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的的方差方程：方差方程： （7.1.11） 注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以

16、要求：要求：（7.1.12） ttttzu21212ttxz 高阶高阶GARCH模型可以通过选择大于模型可以通过选择大于1的的p或或q得到估计，得到估计，记作记作GARCH(p, q)。其方差表示为：其方差表示为：（7.1.13） 这里这里，p是是GARCH项的阶数，项的阶数，q是是ARCH项的阶数。项的阶数。 2.1212jtpjjitqiitu 金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。

17、这种应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型均值模型(ARCH-in-mean)或或ARCH-M回归模型。在回归模型。在ARCH-M中把条中把条件方差引进到均值方程中件方差引进到均值方程中: （7.1.14） ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：标准差：或取对数或取对数 ttttuy2xttttuyxttttuy)ln(2x ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领

18、域。预期风险的估计系数是风险收益交易紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的票面收益数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率依赖于一个常数项，通货膨胀率 t 以以及条件方差：及条件方差： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。模型。 ttttureture221221122112qtqtptpttuu 估计估计GARCH和和ARCH模型，首先模型，首先选择选择Quick/Est

19、imate Equation或或Object/ New Object/ Equation，然后在，然后在Method的下拉菜单的下拉菜单中选择中选择ARCH，得，得到如下的对话框。到如下的对话框。 (EViews4.0)的对话框的对话框 (EViews5)的对话框的对话框 与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。方程。 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表

20、中加入数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。以用公式的形式输入均值方程。 如果解释变量的表达式中含有如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要点项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。击对话框右上方对应的按钮。EViews4.0中，中，只有只有3个选项：个选项： 1.选项选项None表示方程中不含有表示方程中不含有ARCHM项；项； 2.选项选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差表示在方程中加入条件标准差 ； 3.选项选项Variance则表示在方程中含有条件方差则表示在方程中含有条件方差 2。 而而EVi

21、ews5中的中的ARCH-M的下拉框中，除了这三个选项的下拉框中，除了这三个选项外，还添加了一个新的选项：外，还添加了一个新的选项：Log(Var)，它表示在均值方程中，它表示在均值方程中加入条件方差的对数加入条件方差的对数ln( 2)作为解释变量。作为解释变量。 EViews5的选择模型类型列表的选择模型类型列表 （1）在）在model下拉框中可以选择所要估计的下拉框中可以选择所要估计的ARCH模模型的类型，需要注意，型的类型，需要注意，EViews5中的模型设定下拉菜单中中的模型设定下拉菜单中的的PARCH模型是模型是EViews5中新增的模型，在中新增的模型，在EViews4.0中，中，

22、并没有这个选项，而是直接将几种类型列在对话框中。并没有这个选项，而是直接将几种类型列在对话框中。 （3）在）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。 （2）设定了模型形式以后，就可以选择）设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶项和一阶GARCH项的模型，这是现在最

23、普遍的设定。如果要估计一项的模型，这是现在最普遍的设定。如果要估计一个非对称的模型，就应该在个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为个数为0。仍需注意的是，这个。仍需注意的是，这个Threshold编辑栏也是编辑栏也是EViews5新增的选项，即新增的选项，即EViews5可以估计含有多个非对称可以估计含有多个非对称项的非对称模型。在项的非对称模型。在EViews4.0中，并没有这个选项，非对中，并没有这个选项，非对称模型中的非对称项只能有称模型中

24、的非对称项只能有1项。项。 （4）Error组合框是组合框是EViews5新增的对话框，它可以新增的对话框，它可以设 定 误 差 的 分 布 形 式 ， 缺 省 的 形 式 为设 定 误 差 的 分 布 形 式 ， 缺 省 的 形 式 为 N o r m a l（Gaussian），备选的选项有：），备选的选项有：Students-t，Generalized Error（GED）、）、Students-t with fixed df.和和GED with fixed parameter。需要注意，选择了后两个选项的任何。需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中

25、分别为一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。在这两个分布的固定参数设定一个值。在EViews4.0中，并中，并没有没有Error选项，误差的条件分布形式默认为选项，误差的条件分布形式默认为Normal（Gaussian）。）。 EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击要点击Options按钮并按要求填写对话即可。按钮并按要求填写对话即可。 在缺省的情况下，在缺省的情况下，MA初始的扰动项和初始的扰动项和GARCH项中要求项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选的初始预测方

26、差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化会设置残差为零来初始化MA过程，用过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。模型的效果要理想。 点击点击Heteroskedasticity Consistent Covariances计算极大计算极大似然（似然（QML）协方差和标准误差。）协方差和标准误差。 如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该

27、使用这个选如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该使用这个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。可能产生正确的标准差。 注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。协方差矩阵。 EViews现在用数值导数方法来估计现在用数值导数方法来估计ARCH模型。在计算导模型。在计算导数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。算）或者更高的精确性（较小

28、的步长计算）。 当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。 ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法（选择迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯高斯-牛顿）使其达到收牛顿）使其达到收敛。敛。 在均值方程中和方差方程中估计含有解释变量的标准在均值方程中和方差方程中估计含有解释变量的标准GARCH(1,1)模型，模型， (7.3.1) 为了检验股票价格指数的波动是否具有

29、条件异方差为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，我们选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序性，我们选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列sp是是1998年年1月月3日至日至2001年年12月月31日的上海证券交易所每日股票价日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为

30、了减少舍入误差，在估计时，对格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对sp进行自然进行自然对数处理，即将序列对数处理，即将序列log(sp)作为因变量进行估计作为因变量进行估计。tttuxcy21212tttu 由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程随机游动（随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进行估）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：计的基本形式为： 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：果如下：(7.3.2) （15531） R2= 0.994 对数

31、似然值对数似然值 = 2874 AIC = -5.51 SC = -5.51 tttuspsp)log()log(1)log(000027. 1)log(1ttspps 可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程度也很好。但是对这个方程进行异方差的度也很好。但是对这个方程进行异方差的White和和ARCH-LM检验，发现检验，发现 q = 3 时的时的ARCH-LM检验的相伴概率，即检验的相伴概率，即P值接值接近于近于0，White检验的结果类似，其相伴概率，即检验的结果类似，其相伴概率，即P值也接近于值也接近于0，这说明误差项具有条件异方

32、差性。，这说明误差项具有条件异方差性。 但是观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的但是观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如2000年），年），在其他一些较长的时间内非常大（例如在其他一些较长的时间内非常大（例如1999年），这说明残差序年），这说明残差序列存在高阶列存在高阶ARCH效应。效应。 Engle(1982)提出对残差中自回归条件异方差提出对残差中自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, ARCH) 进进

33、行拉格朗日乘数检验行拉格朗日乘数检验 (Lagrange multiplier test)，即，即 LM检验。异方差的这种特殊定义是由于对许多金融时间序列检验。异方差的这种特殊定义是由于对许多金融时间序列的观测而提出的，残差的大小呈现出与近期残差值有关。的观测而提出的，残差的大小呈现出与近期残差值有关。ARCH自身不能使标准自身不能使标准LS推理无效，但是，忽略推理无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。影响可能导致有效性降低。 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验验，运行如下回归：运行如下回归： 式中式中t是残差。这是一个对常数

34、和直到是残差。这是一个对常数和直到q阶的滞后平方残差阶的滞后平方残差所作的回归。所作的回归。F统计量是对所有滞后平方残差联合显著性所统计量是对所有滞后平方残差联合显著性所作的检验。作的检验。Obs*R2统计量是统计量是LM检验统计量检验统计量,它是观测值数它是观测值数T乘以检验回归乘以检验回归R2。tqtqttuuu221102 显示直到所定义的滞后阶数的平方残差显示直到所定义的滞后阶数的平方残差t2的自相关性和的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性方残差相关图可以用来检查

35、残差自回归条件异方差性（ARCH）。）。可适用于使用可适用于使用LS，TSLS，非线性，非线性LS估计方程。显示平方残差相关图和估计方程。显示平方残差相关图和Q-统计统计量，选择量，选择View/Residual Tests/Correlogram Squared Residual，在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。 因此，对式因此，对式(7.3.2)进行条件异方差的进行条件异方差的ARCH LM检验，得检验，得到了在滞后阶数到了在滞后阶数p = 3时的时的ARCH LM检验结果：检验结果： 此处的此处的P值为值为0，拒绝原假设，说

36、明式（，拒绝原假设，说明式（7.1.2）的残差序）的残差序列存在列存在ARCH效应。还可以计算式（效应。还可以计算式（7.1.2）的残差平方的自）的残差平方的自相关（相关（AC）和偏自相关（）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：）系数，结果如下： 重新建立序列的重新建立序列的GARCH（1, 1）模型，结果如下：）模型，结果如下： 均值方程：均值方程： （23213） 方差方程：方差方程： （11.44） （33.36） 对数似然值对数似然值 = 3006 AIC = -5.76 SC = -5.74 )log(000031. 1)log(1ttspps212152732. 0250. 010

37、2 . 1tttu 方差方程中的方差方程中的ARCH项和项和GARCH项的系数都是统计显项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和和SC值都变小了，值都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的件异方差的ARCHLM检验，相伴概率为检验，相伴概率为P = 0.924，说明，说明利用利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH和和GARCH的系数之和等于的系数之和等于0.982，小于，小于1，满足参数约束条，满足参数约束

38、条件。由于系数之和非常接近于件。由于系数之和非常接近于1，表明一个条件方差所受的，表明一个条件方差所受的冲击是持久的，即它对所有的未来预测都有重要作用，这个冲击是持久的，即它对所有的未来预测都有重要作用，这个结果在高频率的金融数据中经常可以看到。结果在高频率的金融数据中经常可以看到。 ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，标准误差，z统计量和方差方程系数的统计量和方差方程系数的P值。在方程值。在方程(7.1.6)中中ARCH的参数对应于

39、的参数对应于 ，GARCH的参数对应于的参数对应于 。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。均值方程。 注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如例如R2也就没有意义了。也就没有意义了。 估计我国股票收益率的估计我国股票收益率的ARCHM模型。选择的时间序列仍是模型。选择的时间序列仍是1998年年1月月3日至日至2001年年12月月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数sp，股，股票的收益率是根据公式：票的收益率是根据公式：

40、 ，即股票价格收盘指数对数的，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的。差分计算出来的。 ARCHM模型：模型： ， 估计出的结果是估计出的结果是: (-2.72) (2.96) (5.43) (12.45) (29.78) 对数似然值对数似然值 = 3010 AIC = -5.77 SC = -5.74 在收益率方程中包括在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础量，这是许多资产定价理论模型的基础 “均值方程假设均值方程假设” 的含义。在这的含义。在这个假设下，个假设下， 应该是正数，结果应该是

41、正数，结果 = 0.27，因此我们预期较大值的条件标准差，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且系数之和小于与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且系数之和小于1，满足平稳条件。均值方程中满足平稳条件。均值方程中 t 的系数为的系数为0.27，表明当市场中的预期风险增加一，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.27个百分点。个百分点。 )/ln(1tttspspretter27. 0003. 021215268. 029. 0106 . 1tttuttture 一旦

42、模型被估计出来，一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。进行推理和诊断检验。 窗口列示了各种残差形式，例窗口列示了各种残差形式，例如，表格，图形和标准残差。如，表格，图形和标准残差。 显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差 t 。t 时期的观察值是由时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。期可得到的信息得出的预测值。 显示了估计的系数协方差矩阵。大多数显示了估计的系数协方差矩阵。大多数ARCH模型模型（ARCHM模型除外）的矩阵都是分块对角的，因此均模型除外）的矩阵都是分块对

43、角的，因此均值系数和方差系数之间的协方差就十分接近零。如果在均值系数和方差系数之间的协方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常数，那么在协方差矩阵中就存在两个值方程中包含常数，那么在协方差矩阵中就存在两个C；第一个第一个C是均值方程的常数，第二个是均值方程的常数，第二个C是方差方程的常数。是方差方程的常数。 对估计出的系数进行标准假设检验。注意到在结果的对估计出的系数进行标准假设检验。注意到在结果的拟极大似然解释下，似然比值检验是不恰当的。拟极大似然解释下，似然比值检验是不恰当的。 显示了标准残差的相关图（自相关和偏自相关）。这个显示了标准残差的相关图（自相关和偏自相关）。这个窗口可以用于检验

44、均值方程中的剩余的序列相关性和检查窗口可以用于检验均值方程中的剩余的序列相关性和检查均值方程的设定。如果均值方程是被正确设定的，那么所均值方程的设定。如果均值方程是被正确设定的，那么所有的有的Q统计量都不显著。统计量都不显著。 显示了标准残差平方的相关图（自相关和偏自相关）。显示了标准残差平方的相关图（自相关和偏自相关）。这个窗口可以用于检验方差方程中剩余的这个窗口可以用于检验方差方程中剩余的ARCH项和检查项和检查方差方程的指定。如果方差方程是被正确指定的，那么所方差方程的指定。如果方差方程是被正确指定的，那么所有的有的Q统计量都不显著。统计量都不显著。 显示了描述统计量和标准残差的直方图。

45、可以用显示了描述统计量和标准残差的直方图。可以用JB统计统计量检验标准残差是否服从正态分布。如果标准残差服从正态量检验标准残差是否服从正态分布。如果标准残差服从正态分布，那么分布，那么JB统计量就不是显著的。例如，用统计量就不是显著的。例如，用GARCH(1,1)模型拟合模型拟合GDP的增长率的增长率GDPR的标准残差的直方图如下：的标准残差的直方图如下： JB统计量拒绝正态分布的假设。统计量拒绝正态分布的假设。 通过拉格朗日乘子检验来检验标准残差中是否显通过拉格朗日乘子检验来检验标准残差中是否显示了额外的示了额外的ARCH项。如果正确设定方差方程，那项。如果正确设定方差方程，那么在标准残差中

46、就不存在么在标准残差中就不存在ARCH项。项。 将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存普通残差普通残差 ut 或标准残差或标准残差 ut / t 。残差将被命名为。残差将被命名为RESID1，RESID2等等。可以点击序列窗口中的等等。可以点击序列窗口中的name按钮来重新命名按钮来重新命名序列残差。序列残差。 将条件方差将条件方差 t2以序列的名义保存在工作文件中。条件方以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名为差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方根得等等。取平方根得到如到如View/Condition

47、al SD Gragh所示的条件标准偏差。所示的条件标准偏差。 假设我们估计出了如下的假设我们估计出了如下的ARCH(1) (采用采用Marquardt方法方法)模型：模型：(ARCH_CPI方程，留下方程，留下2001年年10月月2001年年12月的月的3个月做检验性数据个月做检验性数据) 使用估计的使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应的对话栏中输入名字。如果选择了的对话栏中输入名字。如果选择了D

48、o gragh选项选项EViews就会显示预测值图就会显示预测值图和两个标准偏差的带状图。和两个标准偏差的带状图。 估计期间是估计期间是1/03/1998- 9/28/2001，预测期间是，预测期间是10/02/2001 - 12/31/2001左图表示了由均值方程和左图表示了由均值方程和SP的预测值的两个标准偏差带。的预测值的两个标准偏差带。 对于资产而言，在市场中我们经常可以看到向下运动通常对于资产而言，在市场中我们经常可以看到向下运动通常伴随着比同等程度的向上运动更强烈的波动性。为了解释这一伴随着比同等程度的向上运动更强烈的波动性。为了解释这一现象，现象，Engle（1993）描述了如下

49、形式的对好消息和坏消息的非）描述了如下形式的对好消息和坏消息的非对称信息曲线：对称信息曲线： 波动性波动性 0 0 信息 EViews估计了两个考虑了波动性的非对称冲击的模型：估计了两个考虑了波动性的非对称冲击的模型：TARCH和和EGARCH。 TARCH或者门限或者门限(Threshold)ARCH模型由模型由Zakoian(1990)和和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指独立的引入。条件方差指定为：定为：(7.5.1)其中，当其中，当 ut 0)和坏消息和坏消息(ut 0 ，我们说我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如

50、果存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。许多研究人员发则非对称效应的作用是使得波动减小。许多研究人员发现了股票价格行为的非对称的实例现了股票价格行为的非对称的实例 。负的冲击似乎比正的冲击。负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。因为较低的股价减少了相对公司债务的股东更容易增加波动。因为较低的股价减少了相对公司债务的股东权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。股票的风险。 21121212tttttduu 估计估计TARCH模型，模型，EViews4.0要以一

51、般形式指定要以一般形式指定ARCH模型，但是应该点击模型，但是应该点击ARCH Specification目录下的目录下的TARCH (asymmetric) 按钮，而不是选择按钮，而不是选择GARCH选项。选项。 EViews5要在要在Threshold选项中填选项中填“1” ，表明有，表明有1个非对称个非对称项，可以有多个。项，可以有多个。由于货币政策及其它政策的实施力度以及时滞导由于货币政策及其它政策的实施力度以及时滞导致经济中出现了不同于货币政策开始实施阶段的条件因素，致经济中出现了不同于货币政策开始实施阶段的条件因素，导致货币政策发生作用的环境发生了变化，此时，货币政导致货币政策发生

52、作用的环境发生了变化，此时，货币政策在产生一般的紧缩或者是扩张的政策效应基础上，还会策在产生一般的紧缩或者是扩张的政策效应基础上，还会产生一种特殊的效应，我们称之为产生一种特殊的效应，我们称之为“非对称非对称”效应。表现效应。表现在经济中，就是使得某些经济变量的波动加大或者变小。在经济中，就是使得某些经济变量的波动加大或者变小。 建立了通货膨胀率建立了通货膨胀率( t)的的TARCH模型。采用居民消模型。采用居民消费物价指数（费物价指数（CPI，上年同期，上年同期=100）减去）减去100代表通货膨代表通货膨胀率胀率 t ，货币政策变量选用狭义货币供应量货币政策变量选用狭义货币供应量M1的增长

53、率的增长率(M1Rt )、银行同业拆借利率（银行同业拆借利率（7天）天）(R7t )，模型中解释变模型中解释变量还包括货币流通速度量还包括货币流通速度(Vt)（Vt = GDPt / M1t）、）、通货膨胀通货膨胀率的率的1期滞后期滞后( t-1)。使用银行同业拆借利率代替存款利率，使用银行同业拆借利率代替存款利率，是由于目前我国基本上是一个利率管制国家，中央银行是由于目前我国基本上是一个利率管制国家，中央银行对利率直接调控，因此名义存款利率不能够反映市场上对利率直接调控，因此名义存款利率不能够反映市场上货币供需的真实情况。货币供需的真实情况。 由由TARCH模型的回归方程和方差方程得到的估计

54、结果模型的回归方程和方差方程得到的估计结果为：为： (-2.62) (25.53) (5.068) (-3.4) (1.64) (1.152) (0.94) (-3.08) (3.9) R 2 = 0.96 D.W.= 1.83 结果表中的结果表中的(RESID)*ARCH(1)项是项是(6.5.1)式的式的 ，也称也称为为TARCH项。项。在上式中，在上式中， TARCH项的系数显著不为零，项的系数显著不为零，说明货币政策的变动对物价具有非对称效应。需要注意，方说明货币政策的变动对物价具有非对称效应。需要注意，方差方程中差方程中 = -0.399 ，即即非对称项的系数是负的。这就说明，非对称

55、项的系数是负的。这就说明，货币政策对于通货膨胀率的非对称影响是使得物价的波动越货币政策对于通货膨胀率的非对称影响是使得物价的波动越来越小。来越小。1221048. 422. 01089. 097. 038. 2tttttVRRM21121212956. 0399. 024. 0037. 0tttttduu 观察残差图，还可以发现货币政策的非对称作用在不同阶段对通货膨胀观察残差图，还可以发现货币政策的非对称作用在不同阶段对通货膨胀率表现是不同的：在经济过热时期，如率表现是不同的：在经济过热时期，如1992年年19941994年期间，通过均值方程年期间，通过均值方程中货币政策变量的紧缩作用，导致了

56、货币政策对通货膨胀的减速作用非常明中货币政策变量的紧缩作用，导致了货币政策对通货膨胀的减速作用非常明显，但是由于通货膨胀率方程的残差非常大，由方差方程可知这一时期物价显，但是由于通货膨胀率方程的残差非常大，由方差方程可知这一时期物价波动很大，但波动很大，但 ，则，则 dt-t-1 1= 0，所以，所以TARCH项不存在，即不存在非项不存在，即不存在非对称效应对称效应。1995年年1996年初年初 ，则则TARCH项存在，且其系数项存在，且其系数 是是负值，于是非对称效应使得物价的波动迅速减小。当处于经济增长的下滑阶负值，于是非对称效应使得物价的波动迅速减小。当处于经济增长的下滑阶段，它的残差只

57、在零上下波动，虽然出现负值比较多，但这一时期的货币政段，它的残差只在零上下波动，虽然出现负值比较多，但这一时期的货币政策非对称扩张作用非常小。策非对称扩张作用非常小。0 tu0 tu 对于高阶对于高阶TARCH模型的制定，模型的制定，EViews将其估计为：将其估计为： (7.5.3)21121212jtpjjttitqiitduu EGARCH或指数（或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为：）提出。条件方差被指定为： (7.5.4) 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，等式左边是条件方差的对数，这意味

58、着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。 杠杆效杠杆效应的存在能够通过应的存在能够通过 0的假设得到检验。如果的假设得到检验。如果 0 ，则冲击则冲击的影响存在着非对称性的影响存在着非对称性 。 1111212loglogttttttuu EViews指定的指定的EGARCH模型和一般的模型和一般的Nelson模型之间有模型之间有两点区别。首先，两点区别。首先，Nelson假设假设 ut 服从广义误差分布，而服从广义误差分布，而EViews假设扰动项服从正态分布；其次，假设扰动项服从正态分布；其次，Nelson指定的条

59、件指定的条件方差的对数与上述的不同：方差的对数与上述的不同：(7.5.5) 在正态误差的假设下估计这个模型将产生与在正态误差的假设下估计这个模型将产生与EViews得得出的那些结论恒等的估计结果，除了截矩项出的那些结论恒等的估计结果，除了截矩项 ，它只差，它只差了了 。 11112122loglogttttttuu2 EViews指定了更高阶的指定了更高阶的EGARCH模型：模型：(7.5.6) 估计估计EGARCH模型只要选择模型只要选择ARCH指定设置下的指定设置下的EGARCH 项即可。项即可。 克里斯汀克里斯汀(Christie，1982)的研究认为，当股票价格下降时，的研究认为，当股

60、票价格下降时，资本结构当中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的资本结构当中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生未来资产收益率消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生未来资产收益率将导致更高波动性的预期，从而导致该资产的股票价格波动。将导致更高波动性的预期，从而导致该资产的股票价格波动。因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击产生的波动性，这种产生的波动性，这种“利空消息利空消息”作用大于作用大于“利好消息利好消息”作用作用的非对称性，在美国等国家的一些股价指数序列当中得到验证