线性代数课件：014-第五章 相似矩阵与二次型

1、第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型第一节第一节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量第二节第二节 矩阵的相似矩阵的相似第三节第三节 对称矩阵的相似矩阵对称矩阵的相似矩阵第一节 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义 , ,AnnxAxxAxA定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 ，使关系式成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量。0AE x变形后： , ()0,AnAE xAxA定义 设 是 阶矩阵 如果数 ，使得线性齐次方程组有非零解 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 所有的非零向量 称为 的对应于特征值

2、的特征向量。说明1.特征向量、特征值只针对方阵。2.00 AE xAE特征值是使有非零解的 值，即使的 都是特征值。( )0 |()0 0SAE3.归属一个特征值下的特征向量是解空间去掉零向量的向量集合：4.特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不止一个；一个特征向量不同时属于不同的特征值。xAxxAx21, xx21 , 021 x 120,5.0AE方程1112121222120nnnnnnaaaaaaaaanA称这个以 为未知数的一元 次方程为矩阵 的特征方程，( )fAEA称为矩阵 的特征多项式。多项式：二、特征值与特征向量的计算1.1.特征值为单根情况：特征值

3、为单根情况：A矩阵 的特征多项式为： fAE31132(3)1(4)(2)122,4A矩阵 有两个特征值，分别为。1例3113A求矩阵的特征值和特征向量。解12,对于对应的特征向量应满足线性方程组：123210,1320 xx 12110,110 xx 12,xx即所以对应的基础解系可取为：11,1p 12对应的全体特征向量为：101cc ，。14,对于对应的特征向量应满足线性方程组：123410,1340 xx 12110,110 xx 即说明：对于单根的特征值，对应的解空间是一维的；齐次线性方程组的基础解系为：211p14对应的全体特征向量为：101cc，。来自不同特征值不同特征值的特征向

4、量是线性无关的。例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当. 0)2(,21 xEA 2.2.特征值为重根情况：特征值为重根情况：,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系11(0)2.kp k所以是对应于的全部特征向量由由解方程解方程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基础解系得基础解系232(0)1kp

5、k所以是对应于的全部特征向量。说明：对于重根的特征值，对应的解空间有一维的；例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11

6、032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 说明：对于重根的特征值，对应的解空间有二维的；特征值的代数重数特征值的几何重数 11.每一个单根特征值必有一个一维的特征向量空间，最多有一维的特征向量空间。2.每一个重根特征值至少有一个一维的特征向量空间。3.特征根的重数称为特征值的代数重数，特征值的特征向量空间的维数称为特征值的几何重数，总有：说明：求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.detAAE计算 的特征多项式；122.det0,nAEA 求特征方程的全部根它们就是 的全部特征值；3.,i对于每一个特征值求齐次

7、方程组0iAE x,i的所有非零解 或基础解系，就是对应于 的特征向量。三、特征值与特征向量的性质121.,ijnnAa 性质 设 阶方阵的全部特征值为则有：121122(1)nnnaaa；12(2)nA 。证明由恒等式：11121212221212|()()()nnnnnnnaaaaaaAEaaa ，1n比较恒等式两边的系数，得(1)；0恒等式两边令，得(2)。推论方阵不可逆充要条件方阵有零特征值。三、特征值与特征向量的性质2.TAA性质设 是 的特征值，则 也是的特征值。证明| |() | |TTAEAEAE223.AA性质设 是 的特征值，则是的特征值。证明一22| |()()| |()

8、|AEAEAEAEAE；证明二A是 的特征值，则存在不为零向量 ，使得,A =22A 于是不为零向量 ，使得。114.| 0AAA性质设 是 的特征值，则是的特征值。三、特征值与特征向量的性质121.,ijnnAa 性质 设 阶方阵的全部特征值为则有：121122(1)nnnaaa；12(2)nA 。推论 方阵不可逆充要条件方阵有零特征值。2.TAA性质设 是 的特征值，则 也是的特征值。223.AA性质设 是 的特征值，则是的特征值。, 114.| 0AAA性质设 是 的特征值，则是的特征值。AAE推论 如果 不是 的特征值，则是可逆的矩阵。( )( )( )Ag tgg A推论 设 是 的

9、特征值，是多项式，则是的特征值。121212 ,mmmAmp ppp pp 定理 如果方阵 的 个特征向量分属于各不相等特征值则线性无关。1.来自不同特征值下特征向量组成的向量组是线性无关的；2.同一个特征值下特征向量选极大无关组(特征向量空间的基础解系)，组成的向量组是线性无关的。A12m1p2pmpA12m11p12p11np1mp2mpmmnp第二节 矩阵的相似一、矩阵的相似关系与相似变换的概念,A BnP定义1 设都是 阶矩阵 若有可逆矩阵使1P APBAB称矩阵 与矩阵 是相似的；PAB称可逆矩阵 将矩阵 相似变换成矩阵 。二、相似矩阵与相似变换的性质1.矩阵的相似关系是等价关系：矩

10、阵的相似关系具有 反身性、 对称性、传递性。11112122. PA APP APP A P3. ,mmABABm若 与 相似 则与相似为正整数 。4. ,( )( )ABAB若 与 相似 则与相似为多项式 。11221122(1)nnnnaaabbb；(2)AB。5. ,AB若 与 相似 则1,nABABAB定理若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项式相同 从而 与的特征值亦相同。证明AB与 相似1,PP APB可逆阵使得11BEP APPE P1PAE P1PAE PAE。 nA推论若 阶方阵 与对角阵：12n 12,nAn 相似 则对角矩阵的对角元是 的 个特征值。三、利用对角矩阵计算

11、矩阵多项式A设 是一个方阵，( )mA是 次多项式，求矩阵多项式。1011( )mmmmtatatata nA如果 阶方阵 与对角阵：12n 相似，1,PAP P即存在可逆矩阵 ，使得则矩阵多项式：11( )()( )AP PPP121()()()nPP 1AP P 设矩阵，2( )32ttt ，解则矩阵多项式：11( )()( )AP PPP121()()()nPP ( )A求矩阵多项式。其中：1201P，2003 ，11201P，1201223 222003 332 1201，计算矩阵多项式方法：第一步 求可逆矩阵 ,使得1APPP第二步 计算对角矩阵多项式 ( )第三步 计算1( )(

12、)APP1,nAPP APA对于 阶方阵若可找到可逆矩阵使为对可角阵称方阵对角化。四、利用相似变换将方阵对角化2 ()nAA定理阶矩阵 与对角矩阵相似 可对角化的充分必要条件是：A n有 个线性无关的特征向量。证明1,PP AP假如存在可逆阵 使为对角阵P用列向量表示：12,nPp pp，,APP 由 121212,nnnA p ppp pp12,nAp ApAp 1 122,nnppp,iiiAPpA可见 是 的特征值而 的列向量就是 的对应于特征值 的特征向量。充分性显然。 nn推论1 如果 阶矩阵的 个特征值互不相等，则矩阵可对角化。 推论2 如果矩阵的每个特征值的几何重数与代数均相等，

13、则矩阵可对角化。例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得方程组得方程组代入代入将将, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征

14、向量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得

15、基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P);det()det(,)1(BABA 则则相似相似与与;,)2( 11相似相似与与且且也可逆也可逆则则可逆可逆且

16、且相似相似与与若若 BABABA;,)3( 为为常常数数相相似似与与则则相相似似与与kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似相似与与则则是一多项式是一多项式而而相似相似与与若若BfAfxfBA相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了以上介绍的以外，还有：的性质，除了以上介绍的以外，还有：相似矩阵相似矩阵相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运

17、算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换是对方阵进行的一种运算，它把相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P第三节 对称矩阵的相似矩阵一、实对称矩阵的特征值与特征向量1.定理实对称矩阵的特征值为实数。3. , ,AnArr定理为 阶实对称矩阵是 的特征方程的 重根 则 恰有个线性无关的特征向量。AEnr即矩阵的秩。2.A定理实对称矩阵 的两个不同特征值的特征向量是正

18、交的。14.,AnPP APAn 定理设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵使得其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵。,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rrsiiii PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.

19、n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P根据上述结论，可利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：12,sA 1. 求矩阵 的特征值：,；12)0,iiiiirAE x2. 求齐次线性方程组(的基础解系：,；1212,iiiiiriiirppp3. 将每组基础解系,正交化单位化：,；P4. 写出正交矩阵 、对角矩阵 。A12m1p2pmpA12m11p12p11np1mp2mpmmnp解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004

20、)2(A例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A0,iAE x第二步 由求出各基础解系： 得得由由对对, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得得由由对对, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 得得由由对对, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向