隐函数及参数方程的求导方法高阶导数学习教案

1、会计学1第一页，共32页。一、隐函数一、隐函数(hnsh)(hnsh)的微分法的微分法例例 1 设方程设方程(fngchng) x2 + y2 = R2(R 为常数为常数)确定函数确定函数 y = y(x)， 解解 在方程两边在方程两边(lingbin)求微分，求微分，d(x2 + y2 ) = dR2，即即2xdx + 2ydy = 0.由此，当由此，当 y 0 时解得时解得或或第1页/共32页第二页，共32页。例例 2 设方程设方程 y + x exy = 0 确定了函数确定了函数 y = y(x)，.xy 求求解解 方程两边方程两边(lingbin)求微分，得求微分，得d(y + x e

2、xy) = d0，即即dy + dx - - dexy = 0，dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0.当当 1 - - xexy 0 时，解得时，解得即即第2页/共32页第三页，共32页。例例 3 求曲线求曲线 x2 + y4 = 17 在在 x = 4 处对应处对应(duyng)于曲线上的点的切线方程于曲线上的点的切线方程.解解 方程方程(fngchng)两边求微分，得两边求微分，得2xdx + 4y3dy = 0，得得 即对应于即对应于 x = 4 有两个有两个(lin )纵坐标，这就是说曲线上有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个(lin )点点 P1(4, 1) 和和 P

3、2(4, - 1).将将 x = 4 代入方程，得代入方程，得 y = 1.第3页/共32页第四页，共32页。在在 P1 处的切线处的切线(qixin)斜率斜率 y|(4,1)= - 2，y 1 = - - 2(x - - 4) 即即 y + 2x 9 = 0在点在点 P2 处的切线处的切线(qixin)方程为方程为y + + 1 = 2(x - - 4)，即，即 y - - 2x + 9 = 0 在在 P2 处切线处切线(qixin)的斜率的斜率 y|(4, - 1) = 2.所以，在点所以，在点 P1 处的切线方程为处的切线方程为第4页/共32页第五页，共32页。补证反三角函数补证反三角函

4、数(snjihnsh)的导数公式：的导数公式：设设 y = arcsin x，则，则 x = sin y，两边，两边(lingbin)对对 x 求微分，得求微分，得dx = cos ydy，时时，因因为为22 ycos y 取正号，取正号，第5页/共32页第六页，共32页。二、由参数方程二、由参数方程(fngchng)(fngchng)所确定所确定的的 函数的微分法函数的微分法参数参数(cnsh)方程，它的一般形式为方程，它的一般形式为对方程对方程 两边两边(lingbin)求微分，得求微分，得dy = f (t)dt，同样对方程同样对方程 两边求微分，得两边求微分，得dx = (t)dt，第

5、6页/共32页第七页，共32页。即即第7页/共32页第八页，共32页。例例 4设参数方程设参数方程 tbytaxsincos ， ( (椭圆方程椭圆方程) )确确定了函数定了函数 y = y(x)，.ddxy求求解解 dx = - - a sin tdt， dy = bcos tdt ，所以所以(suy)第8页/共32页第九页，共32页。3 t解解 与与 对应的曲线上的点为对应的曲线上的点为 ,21,233 aaP dy = asin t dt ， dx = a(1 cos t)dt ，例例 5求摆线求摆线 (a 为常数为常数) 在对应在对应于于 时曲线上点的切线方程时曲线上点的切线方程 .

6、)cos1( )sin(tayttax，3 t第9页/共32页第十页，共32页。点点 P 处的切线处的切线(qixin)方程为方程为所以所以(suy)第10页/共32页第十一页，共32页。例例 6 设炮弹设炮弹(podn)与地平线成与地平线成 a 角，初速为角，初速为 v0 射出，射出，如果如果(rgu)不计空气阻力，以发射点为原点，不计空气阻力，以发射点为原点， 地平地平线为线为 x 轴，过原点垂直轴，过原点垂直(chuzh) x 轴方向上的直轴方向上的直线为线为 y 轴轴(如图如图).由物理学知道它的运动方程为由物理学知道它的运动方程为求求( (1) )炮弹在时刻炮弹在时刻 t 时的速度大

7、小与方向，时的速度大小与方向， ( (2) )如果中弹点如果中弹点与 以 射 点 同 在 一 水 平 线 上 ， 求 炮 弹 的 射 程与 以 射 点 同 在 一 水 平 线 上 ， 求 炮 弹 的 射 程. yOx中弹点中弹点第11页/共32页第十二页，共32页。解解 (1)炮弹炮弹(podn)的水平方向速度为的水平方向速度为 炮弹的垂直方向炮弹的垂直方向(fngxing)速度为速度为yOx中弹点中弹点VxVy所以所以(suy)，在，在 t 时炮弹速度的大小为时炮弹速度的大小为它的位置是在它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为炮弹的

8、前进方向，其斜率为第12页/共32页第十三页，共32页。(2)(2)令令 y = 0 y = 0，得中弹，得中弹(zhn dn)(zhn dn)点所对应的时刻点所对应的时刻 第13页/共32页第十四页，共32页。三、对数三、对数(du (du sh)sh)微分法微分法解两边解两边(lingbin)取对数，得取对数，得两边两边(lingbin)求微分，求微分，例例 7 设设.,)2)(1()1(2yxxxy 求求3第14页/共32页第十五页，共32页。所以所以(suy)第15页/共32页第十六页，共32页。例例 8设设 y = (tan x)x，求，求 y .解解lny = xln(tan x)

9、 = x(lnsin x - - lncos x)所以所以(suy)第16页/共32页第十七页，共32页。四、函数四、函数(hnsh)(hnsh)的高阶的高阶导数导数如果如果(rgu)可以对函数可以对函数 f(x) 的导函数的导函数 f (x) 再求导再求导，所得到所得到(d do)的一个新函数，的一个新函数，称为函数称为函数 y = f(x) 的二阶导数，的二阶导数，.dd22xy记作记作 f (x) 或或 y 或或如对二阶导数再求导，则如对二阶导数再求导，则称三阶导数，称三阶导数，.dd33xy记作记作 f (x) 或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导数记为数记为 y(4)，y(5)，

10、，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ， 而 把而 把 f (x) 称为称为 f (x) 的一阶导数的一阶导数.第17页/共32页第十八页，共32页。例例 9设设 y = ex，求，求 y(n).y = ex，y = ex， ，y(n) = ex .解解第18页/共32页第十九页，共32页。例例 10设设 y = ln(1 + x) . 求求 y (0)，y (0)， y (0)， ，y(n)(0). 解解第19页/共32页第二十页，共32页。第20页/共32页第二十一页，共32页。例例 11设设 y = sin x ，.ddnnxy求求解解第21页/共32页第二十二页，共32页。五、五

11、、 高阶偏导数高阶偏导数(do sh)函数函数 z = f ( x , y ) 的两个的两个(lin )偏导数偏导数一般说来仍然一般说来仍然(rngrn)是是 x , y 的函数，的函数， 如果这两个函数关如果这两个函数关于于 x , y 的偏导数也存在，的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f (x , y)的二的二阶偏导数阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：二阶偏导数有四个：第22页/共32页第二十三页，共32页。第23页/共32页第二十四页，共32页。其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),

12、(yxfyx 类似的，可以类似的，可以(ky)定义三阶、四阶、定义三阶、四阶、 、n 阶偏导数，阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数二阶及二阶以上的偏导数(do sh)称为高称为高阶偏导数阶偏导数(do sh)，称为函数称为函数(hnsh) f ( x , y ) 的一阶偏的一阶偏导数导数.第24页/共32页第二十五页，共32页。例例 12求函数求函数 的所有二阶偏导数的所有二阶偏导数.yxxyzsin2 解解所以所以(suy)第25页/共32页第二十六页，共32页。本例中本例中 ，yxz 2xyz 2=这不是这不是(b shi)偶偶然的，然的， 有下述有下述定理定理(dngl)：第26页/共32页第二十七页，共32页。定理定理(dngl) 如果函数如果函数 z = f (x , y) 在区域在区域 D 上两个上两个二阶混合偏导数二阶混合偏导数 、 连续，连续，yxz 2xyz 2 则在区则在区域域(qy) D 上有上有即当二阶混合偏导数即当二阶混合偏导数(do sh)在区域在区域 D 上连续上连续时，时， 求导结果求导结果与求导次序无关，与求导次序无关，证明从略证明从略.这个定理也适用于三元这个定理也适用于三元及三元以上的函数及三元以上的函数.第27页/共32页第二十八页，共3