传热与流体流动的数值计算

1、传热与流体流动的数值计算传热与流体流动的数值计算美 S.V. 帕坦卡 著同济大学机械工程学院朱 彤本课程学习内容本课程学习内容 物理现象的数学描述 离散化方法 扩散项处理 对流与扩散 流场的计算 湍流数学模型 Fluent基础知识介绍参参 考考 书书 目目 传热与流体流动的数值计算美 S.V. 帕坦卡 湍流是勋刚 湍流计算模型陈义良 数值传热学陶文铨第一章第一章 引引 论论 1-1 研究的范畴传热与流体流动的重要性：遍及我们生活中的各个方面认识和估计这些过程的必要：预报、控制预测的本质：说明其中每一个物理量如何随着几何条件、流量以及流体物性等的变化而改变的目的：尽可能设计一种具有完全的通用性能

2、的数值方法实验研究全比例实验模型实验结果外推测量仪表精度理论计算理论预测出自于数学模型的结果数学模型主要由一组微分方程组成解析解和数值解1-2 1-2 预测的方法预测的方法1-2 1-2 预测的方法预测的方法理论计算的优点 成本低、速度快、资料完备、具有模拟真实条件的能力、具有模拟理想条件的能力理论计算的缺点实际问题分为 A类：能够用合适的数学模型描述B类：与A类相反的问题湍流、多相流、NOX生成、非牛顿流体流动预测方法的选择 2-1 控制微分方程 微分方程的意义 各个微分方程都代表着一定的守恒原理。每一个方程以一定的物理量做为它的因变量，方程本身则代表着那些影响该因变量的各个因素之间必定存在

3、着的某种平衡。 通常以单位质量为基础来表示各因变量。例如：质量分量、速度（单位质量的动量）、比焓等。第二章第二章 物理现象的数学描述物理现象的数学描述divyxzJJJJxyz单位容积流出的净流量假设J代表一个典型因变量的流量密度dddxxJJxxxJ 以单位容积为基础来表达一项变化速率 代表在单位容积内所包含的相应广延性质的大小 表示单位容积内有关性质的变化率()t()t 化学组分的守恒化学组分的守恒 令ml代表一种化学组分l的质量分量。当存在速度场u是，守恒表示为：()div()llllmumJRt单位容积内化学组分l的质量变化率组分l的对流流量密度扩散流量密度单位容积化学组分l的生成率如

4、果用菲克扩散定律表示Jl，扩散系数得到：lgradllJm l()div()div(grad)llllmummRt 能量方程能量方程 对于可以忽略粘性耗散作用的稳态的低速流： 其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率 对理想气体以及固体和液体，将 c gradT=gradh 代入，得到 其中c是定压比热。假设c为常数，即h=cT。 若u=0，则得到稳态热传导方程：div()div(grad )hkuhhScdiv()div( grad )huhkTSdiv()div(grad )hkSuTTccdiv( grad )0hkTS 动量方程动量方程 由于必须同时考虑切应力和正应力，加

5、之流体流动有关的斯托克斯粘性定律比菲克定律或傅里叶定律复杂，动量方程要复杂得多。用u表示x方向速度，有： 其中是粘度，p是压力，Bx是x方向的单位容积内体积力，Vx代表除去以div(gradu)所表示的粘性力项之外的其他所有粘性力项。()div( u )div( grad )xxpuuuBVtx 紊流的时间平均方程紊流的时间平均方程 人们假设：紊流中存在有相对平均值的快速而随机的脉动。 由Reynold时均运算所产生的附加项是：雷诺应力，紊流热流密度，紊流扩散流量密度等。 许多紊流模型采用紊流粘度或紊流扩散系数的概念来表示紊流应力以及流量密度。结果，紊流的时间平均方程就具有了与层流流动方程完全

6、相同的形式。 诸如粘度、扩散系数以及导热系数这样一些层流交换系数需要用相应的有效（即层流加紊流）交换系数取代。 相当于具有一个相当复杂的粘度表达式的层流流动方程。 紊流的动能方程紊流的动能方程 紊流“双方程模型”：把紊流脉动动能k的方程作为其中的方程之一。K的扩散系数紊流能量的生成率动能的耗散率()div()div(grad )kkukkGt 通用微分方程通用微分方程 其中因变量可以代表各种不同的物理量 质量守恒或连续性方程：扩散系数源项扩散项对流项不稳态项 直角坐标的张量表达形式：()div()div( grad )uSt div()0ut()()()()0jjjjjjuStxxxutx 可

7、以代表无因次的变量 热、质传递，流体流动，紊流以及有关的一些现象的所有有关微分方程都可以看成通用方程的一个特殊情况；可以只编写一个求解通用方程的程序，对不同意义的 重复使用这个程序； 对不同的 需要对相应的和S分别赋以各自合适的表达式，同时给出合适的初始条件和边界条件。 自变量 一般来说，因变量是三个空间坐标与时间的函数 =（x，y，z，t） 其中x，y，z以及t都是自变量。 当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究的问题是一维的；当问题与时间无关时，叫做稳态的，否则叫做非稳态或与时间有关的问题。 另一种写法：z=z（x，y，T） z是因变量，代表在位置（x，y）相对于温度T的等温面高度。

8、2-2 2-2 坐标的性质坐标的性质恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都是可以采用的。例子：1. 在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机上的移动坐标系而言，流动是稳态的。2. 在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维的，但在r，z的圆柱极坐标系内则是二维的。3. 坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。4. 改变因变量可能导致自变量数目的减少。坐标的合适选择坐标的合适选择 如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，要受该位置两侧条件变化的影响的话，那么这个坐标就是一个双向的坐标。

9、 如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件只受该位置一侧条件变化的影响，这样的坐标就是一个单向的坐标。 空间坐标是双向坐标，但如果在一个坐标方向上有很强的单向流动，也可以近似作为单向坐标。对流单向，扩散双向 时间坐标是单向坐标。 抛物型表示一种单向的状态；椭圆型表示双向的概念。 非稳态导热问题实际上是时间坐标上的抛物型和空间坐标上的椭圆型问题；稳态导热对所有的坐标都是椭圆型的。 讨论单向双向坐标的动机：如果可以用一个单向的坐标来规定一个给定的状态，就有可能大大节省计算机的存储量和时间。单向与双向的坐标单向与双向的坐标 3-1 数值方法的本质 一个微分方程的数值解系由一组可以构成因变量的分布的数所

10、组成类似于在实验室中进行实验定义数值方法就是把计算域内有限数量位置（叫做网格结点）上的因变量值当作为基本的未知量来处理。任务任务是提供一组关于这些未知量的代数方程并规定求解这组方程的算法。第三章第三章 离散化方法离散化方法离散化的概念离散化的概念 把注意力集中在网格结点处的值，用离散的值取代包含在微分方程精确解中的连续信息。 网格结点上未知值的代数方程（离散化方程）是由支配的微分方程推导而得。推导过程中，必须对网格结点之间如何变化做某种假设。采用分段分布：一定的段仅仅用一个小区域的内部及边界上的网格结点上的值来描述该区间内的变化。 一般将计算域分成一定数量的子域或单元。每个子域可以有一个独立的

11、分布假设。 这种对空间和因变量所作的系统的离散化使得我们有可能用比较容易求解的简单的代数方程取代控制微分方程。离散化方程的结构离散化方程的结构 一个离散化方程是连接一组网格结点处值的代数关系式。由支配的微分方程推导而得，表示与该微分方程相同的物理信息。 一定的离散化方程只与少数的几个网格结点有关。在一个网格结点处的值只影响与其紧相邻的一些点上的分布。结点数目变化很大时离散化方程的解趋近于相应微分方程的精确解。 当网格结点紧挨在一起时，在相邻点之间的变化就变得很小，有关分布假设的实际细节就不重要了。 对于一个已知的微分方程，可能的离散化方程不是唯一的。不同形式起因于分布假设以及推导方法的不同。

12、有限差分法和有限元法之间的区别来自选择分布和推导离散化方程的方法不同。 泰勒级数公式 如图中网格结点。结点2为结点1，3的中点，在2周围展开泰勒级数：3-2 3-2 推导离散化方程的方法推导离散化方程的方法恰好在第三项之后截断级数，两方程相加相减得到：代入微分方程就推出有限差分方程。假设：的变化多少有点像x的一个多项式，从而高阶导数项不那么重要。22122222232222d1dd2dd1dd2dxxxxxxxx 3122132222dd2d2d()xxxx- - 变分公式变分公式 变分法证明：求解某些微分方程的问题等效于使一称之为泛函的相关量最小化。即变分原理。 如果相关于因变量的网格点值使

13、泛函最小，那么所得到的条件即给出所需要的离散化方程。 普遍用于应力分析的有限元法。但其适用范围有限。- - 加权余数法加权余数法 令微分方程由 L()=0 表示。假设一个包含有若干不确定参数的近似解，如：其中a都是参数。上式代入微分方程留下一个余数：假设：W是加权函数，选择不同种类的加权函数就可以得到不同类型的方法。最简单的加权函数取W=1。即，对每一个控制容积，余数的积分必须为00WRdx ( )RL2012mmaa xa xa x控制容积公式控制容积公式 控制容积公式可以看成是加权余数法的一种特殊形式。 把计算域分成许多互不重叠的控制容积，并使每一个网格结点都由一个控制容积所包围。对每一个

14、控制容积积分微分方程。应用表示网格结点之间变化的分段分布关系来计算所要求的积分。得到了一个包含有一组网格结点处的值的离散化方程。 按照这个原则所得到的离散化方程表示关于有限控制容积的的守恒原理，这就象微分方程表示关于无穷小控制容积内的的守恒原理一样。 优点：所得到的结果将意味着任何一组的控制容积内，也就是整个计算域内，诸如质量、动量以及能量这样一些物理量的积分守恒都可以精确地得到满足。 无论网格数量多少，这种积分守恒都满足。 求解离散化方程以得到在网格结点上的因变量值时，可以用两种不同方法来表示结果。 有限元法和大多数加权余数法中把假设的由网格结点上的值以及网格结点之间的内插函数（或分布）所构

15、成的的变化取作近似解。 有限差分法只考虑把网格结点上的值构成解，而不去管在网格结点之间是怎样变化。类似于实验。 对微分方程中的不同项可以采用不同的分布假设来进行积分。 其中k是导热系数，T是温度，S是单位容积的发热率。使用下图的网格结点群：3-3 3-3 一个说明性的例子一个说明性的例子 一维稳态热传导问题方程：dd()0ddTkSxxdd()()d0(3.11)ddeewwTTkkS xxxddd0ddewTkSxxx 两种分布假设： 阶梯形分布斜率在控制容积面上是不确定的； 线性分布网格结点之间采用线性的内插函数。分布曲线的假设分布曲线的假设TpTwTE 用分段线性分布计算方程（3.11）

16、中的dT/dx，所得方程：离散化方程离散化方程 缩写为： 比较方便的可把方程（3.13）看作：没有必要对所有的量都采用同样的分布函数。()()ppEEWWeEewWwPEWa Ta Ta TbkaxkaxaaabS x ppnbnba Ta Tb ()()0()()eEPwPWewk TTkTTS xxx 上述有关选择分布函数的自由度，最终导致不同变型的离散化方程形式。当网格结点的数目增加时，所有这些不同形式的方程都会给出相同的解。 附加要求（可大大减少可以接受的公式的数目）： 即便是采用很粗的网格，解也总应该满足： 物理上真实的性状 一个真实的变化应当具有与准确 变化相同的定性倾向，如图。

17、总的平衡 对整个计算域应当满足积分守恒。 热流密度、质量流量以及动量通 量必须准确地同相应的源、汇建 立平衡，这种平衡对于任何数目 的网格结点都应得到满足。 物理上的真实性和总的平衡两个约束 条件将用来指导选择分布假设以及所 采用的有关措施。指导原则指导原则一般来说，源项是因变量T本身的函数由于离散化方程需要用线性代数的技术来求解，只能考虑一种线性的函数关系。源项的处理源项的处理 SC是常数部分，Sp是Tp的系数。 假设：Tp值代表整个控制容积内的值，即采用了阶梯式分布。 新的方程组：()()ppEEWWeEewWwPEWpca Ta Ta TbkaxkaxaaaSxbSxcppSSS T3-4 3-4 四项基本法则四项基本法则法则1：在控制容积面上的连续性在控制容积面上的连续性 当一个面作为两个相邻控制容积的公共面时，在这两个控制容积的离散化方程内必须用相同的表达式来表示通过该面的热流密度、质量流量以及动量通量。 如：用二次曲线计算截面上的热流密度 如：热流密度有控制容积中心结点的导热系数kp所控制 为了避免出现不连续性，必须把通过界面上的热流密度看成是属于界面本身，而不是属于一定的控制容积。 法则2：正系数正系数 某个网格结点处的因变量值只是通过对流以及扩散的过程才受到相邻网格结点值的影响。故在其它条件不变的情况下，在一个网格结点处该因变量值的增加应当导致相