概率论极限定理

1、11(1 2) 0 lim0 . nnnnnXn, , XP XXPXXXX 定义 ：设是一随机变量序列， 是一个随机变量，若对于，有，则称序列依概率收敛于 ， 记作意义意义：|,( ),1()nnnnnAXXpP Apn则时即即n很大时，很大时，Xn以很大的可能性靠近以很大的可能性靠近X，其中，其中为误差。为误差。（随机性消失随机性消失）5.1 5.1 大数定理大数定理 第五章第五章 极限定理极限定理2112 (1 2), nnnnknknnnPXEXXEXn, , XXX 定义 ：设是一随机变量序列，存在，记=,若则称服从大数定律。31.1.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律: : 设设X1

2、, X2, , Xn, 是由是由相互独立相互独立的随机变量所构成的序列的随机变量所构成的序列, , 其中其中EXk= k, DXkC+,（k=1,2,n,）10, 1 lim0. nnknkPXn则对都有11 nnkkPXn42.2.辛钦大数定律辛钦大数定律(1,2,)lim0nnnnXEXnP X，存在，则独立同分布此定理使算术平均值的法则有了理论依据：此定理使算术平均值的法则有了理论依据：测量时以测量时以n次测量的平均值作为最后的试验结果。次测量的平均值作为最后的试验结果。 nPX53.3.贝努里大数定律贝努里大数定律 设设nA是是n重贝努里重贝努里试验中事件试验中事件A发生的次数，发生的

3、次数，p(A)是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则在每次试验中发生的概率，则 0, lim0AnnPp An 贝努里大数定理贝努里大数定理说明说明, , 事件事件A发生的频率依概率收敛到事件发生的频率依概率收敛到事件A发生的概率发生的概率p, , 这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性。这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性。 APnp An三个大数定理之间的关系n切贝雪夫大数定理（随机变量独立）n辛钦大数定理 （随机变量独立同分布）n贝努里大数定理（随机变量独立同分布于0-1分布）722111,nnkknkknnkknXYBBlim( ),nnnP YxxX 若成立则称服从中心极限定理。

4、5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 2,(1,2,)kkkkEXDXk相互独立相互独立的随机变量序列的随机变量序列Xn, 设设EXn , DXn (n=1,2,)存在存在, 令令0,1nYN211,nnkknkkXNB81.1.林德伯格林德伯格(Lindeberg)(Lindeberg)定理定理 设随机变量序列设随机变量序列Xn相互独立相互独立，数学期望及方差存在，数学期望及方差存在：), 2 , 1(,)(2 nkDXXEkkkk有有若若记记, 0,122nkknB0)()(1lim1|22xdFxBknkBxknnnk则则 Xn服从中心极限定理。服从中心极限定理。211,nnkknk

5、kXNB9)(1|xdFknkBxnk时时）（nxdFxBknkBxknnk0)()(11|222110kknnnkkkknnXBXnYB上式表明，当 充分大时，和式中每一项一致地依概率收敛于 。|(1,2, ,),kknXkBAkn记则|111max()kknnnXkkBk nkkPPAP A 上式中极限称为上式中极限称为林德伯格条件林德伯格条件，验证此条件成立比较困，验证此条件成立比较困难，所以计算时一般不会引用此定理。但是该条件给了我们难，所以计算时一般不会引用此定理。但是该条件给了我们一个很好的结论：一个很好的结论：102. 2. 列维林德伯格中心极限定理列维林德伯格中心极限定理设随机

6、变量序列设随机变量序列Xn(n=1, 2, ) 独立同分布独立同分布，2(),(),1, 2, ,kkE XD Xk 则1, lim ( )nkkXnnnxRPxx 21,nkkXNnn11例例1.1.计算机进行加法运算，把每个数四舍五入到整数再相加，计算机进行加法运算，把每个数四舍五入到整数再相加，假设各个数的舍入误差是相互独立的，同服从于假设各个数的舍入误差是相互独立的，同服从于U(-0.5 , 0.5)。求求：(1)1200(1)1200个数相加，误差之和的绝对值超过个数相加，误差之和的绝对值超过1515的概率；的概率；(2)(2)最多几个数相加才能保证误差之和的绝对值小于最多几个数相加

7、才能保证误差之和的绝对值小于1010的概率的概率 达到达到0.950.95。123.3.棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理 ( , ), , lim( ) (1)nnnXB n pxXnpPxxnpp 二项设随机变量服从则分布有13例例2.2.有有240240台电话分机，独立使用，每台话机约有台电话分机，独立使用，每台话机约有5%5%的时间使的时间使用外线。问总机至少需要多少外线才能用外线。问总机至少需要多少外线才能90%90%以上的保证各分机用以上的保证各分机用外线不必等候。外线不必等候。14棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理的应用：拉普拉斯定理的应用： 令令Xn是是n重贝努里试验中事件重贝努里

8、试验中事件A发生的次数发生的次数，则则XnB(n,p)，其中其中p=P(A)。21nnXPpnXnpnnPpqpqnpqnpq 151, ,(21)nn pXnPpnpq .已知，计算频率与概率之间的误差2, ,nXpPpnn.已知和，求（即抽样方案的设计，确定样本容量）3,nXn pPpn.已知和，求（事后评估，精度的估计）棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理的应用：拉普拉斯定理的应用：16例例3.3. 已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占1/61/6。某商店。某商店从该厂任意选购从该厂任意选购60006000个元件，试问这个元件，试问这60006000个元件中

9、，合格品的个元件中，合格品的比例与比例与1/61/6之间误差小于之间误差小于1%1%的概率是多少？的概率是多少？三个极限定理之间的关系n林德伯格林德伯格(Lindeberg)(Lindeberg)定理定理（独立）n列维林德伯格中心极限定理列维林德伯格中心极限定理（独立同分布）n棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理（独立同分布于0-1分布）18练习练习:1. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到的一批产品不能被接受的概率达到0.9? ()2. 一个复杂的系统，由一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有，且必须至少有80%的部件工作的部件工作才能使整个系统工作，问才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠至少为多少才能使系统的可靠度为度为0.95? 3. 设某