分离变量法-2

1、数学物理方法数学物理方法 第二章 分离变量法 ( Meshod of Separate Variable )思路思路分离变量法提要n有界弦的自由振动有界弦的自由振动n有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导n圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题n非齐次方程的解法非齐次方程的解法n非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理n关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论 物理学、工程技术领域的许多问题物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的，都可以归结为偏微分方程的 定解问题。定解问题。偏微分方程偏微分方程定解条件定解条件

2、求满足它们的解（定解问题）求满足它们的解（定解问题）在微积分学中在微积分学中:多元函数的多元函数的微分微分积分积分(转化为转化为)一元函数的一元函数的微分微分积分积分分离变量法分离变量法:偏微分方程偏微分方程(定解问题定解问题)(转化为转化为)常微分方程的求解常微分方程的求解2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动什么是分离变量法什么是分离变量法?运用分离变量法所应该具备的条件运用分离变量法所应该具备的条件?如何应用分离变量法解定解问题如何应用分离变量法解定解问题?以弦振动为例以弦振动为例 . (两端固定两端固定) .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtux

3、utuutlxxuatuttlxx 泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件定解问题为定解问题为:主导思想：主导思想：在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，求出足够多的特解求出足够多的特解线性迭加这些足够多的特解线性迭加这些足够多的特解使之满足初始条件使之满足初始条件常微分方程常微分方程不但含有未知函数，而且不但含有未知函数，而且还含有未知函数的导数，且自变量只有一还含有未知函数的导数，且自变量只有一个，称之为常微分方程。个，称之为常微分方程。线性线性未知函数，以及未知函数的导数未知函数，以及未知函数的导数都是一次幂，称之为线性

4、。都是一次幂，称之为线性。通解通解一般地讲，一阶常微分方程含有一般地讲，一阶常微分方程含有一个任意常数的解，称之为通解。一个任意常数的解，称之为通解。特解特解确定了任意常数的解，称之为特确定了任意常数的解，称之为特解。一般来说，当初始条件给定之后，满解。一般来说，当初始条件给定之后，满足初始条件的特解只有一个。足初始条件的特解只有一个。启发：启发：求出足够多的求出足够多的, 满足边界条件的满足边界条件的,具有变量分离形式的特解具有变量分离形式的特解.线性组合这些足够多的特解线性组合这些足够多的特解使之满足初始条件使之满足初始条件 从物理学知从物理学知,乐器发出的声音乐器发出的声音,可以分解为各

5、种不同频率的单音可以分解为各种不同频率的单音,每种单音每种单音振动时所形成的正弦曲线振动时所形成的正弦曲线,其振幅依赖于时间其振幅依赖于时间 t .为此为此,特解可表示为特解可表示为xtAtxu sin)(),( 的形式的形式.特点特点: 中的变量中的变量utx,被形式上分离为被形式上分离为振幅振幅-关于时间关于时间t位相位相-关于坐标关于坐标x一、对此，试探性提出方程组一、对此，试探性提出方程组 中第一个方程的分离变量中第一个方程的分离变量 形式的非零解（特解）形式的非零解（特解） .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxuatuttlxx )(

6、)(),(tTxXtxu 上式分别对上式分别对 x 、 t 求偏导求偏导)()(;)()(2222tTxXtutTxXxu 上面的结果，反回去代入原方程，得上面的结果，反回去代入原方程，得)()()()(2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 若要两边恒等，只有都等若要两边恒等，只有都等于一个常数。于一个常数。 这样，变量被分离了，这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！同时得到两个常微分方程！0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 二、捆绑边界条件二、捆绑边界条件 .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxua

7、tuttlxx 由于由于将其与方程组中的边界条件将其与方程组中的边界条件捆绑捆绑)()(),(tTxXtxu 由由0)()0(00 tTXux由由0)()(0 tTlXulx其中，其中， 。盖由于。盖由于 ，则，则 所涉及的解，显然所涉及的解，显然不是我们所需要的（零解！）。不是我们所需要的（零解！）。0)( tT0)( tT,0),( txu 由此可见，只有由此可见，只有 。将此结果与所得到的常微分方程。将此结果与所得到的常微分方程中的第二个方程（关于中的第二个方程（关于X ）联立）联立0)()0( lXX0)()( xXxX 0)()0( lXX0)()(2 tTatT 0)()( xXx

8、X 0)()( xXxX 0)()0( lXX三、在右列方程组中，解出非零的三、在右列方程组中，解出非零的 。)(xX以下的任务：以下的任务：确定确定 取何值时取何值时 ，方程，方程 有满足条件有满足条件0)()( xXxX 0)()0( lXX的非零解；的非零解；求出这个非零解求出这个非零解 。)(xX本征值本征值本征值本征值问题问题本征函数本征函数以下，针对以下，针对 ，分三种情况来讨论：，分三种情况来讨论：（1）. 设设 0 . 0 . 0 . 并令并令=2 2 (为非零实数为非零实数),),此时方程此时方程 的通解为的通解为0)()( xXxX xBxAxX sincos)( 由边界条

9、件由边界条件 得得0)()0( lXX 0sin0lBA 由于由于不能为零不能为零( (否则否则 ),),所以只有所以只有 , ,即即0)( xX0sin x )3 , 2 , 1( nln 从而有从而有:222ln . 由此由此,求出了关于求出了关于 的本征值问题的本征值问题.)(xX222lnn )3 , 2 , 1(.sin)( nxlnBxXnn 四、回过头来求函数四、回过头来求函数)(tT0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 以本征值以本征值 代入右边第一式代入右边第一式, 得得222lnn 0)()(2222 tTlnatTnn 显然显然,其通解为其通解为)3 , 2 ,

10、 1(,sincos)( ntlnaDtlnaCtTnnn 将将 和和 一并代入一并代入 , 经整理后得经整理后得)(xXn)(tTn)()(),(tTxXtxu )3 , 2 , 1(sinsincos),( nxlntlnaDtlnaCtxunnn 其中其中, 为任意常数为任意常数.nnnnnnDBDCBC ,五、求满足五、求满足(捆绑捆绑)初始条件的解初始条件的解为求原定解问题的解为求原定解问题的解,将前面所得到的包含任意常数的解迭加起来将前面所得到的包含任意常数的解迭加起来)3 , 2 , 1(sinsincos),( nxlntlnaDtlnaCtxunnn )3 , 2 , 1(s

11、insincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 右端分析右端分析: 由迭加原理知由迭加原理知,无穷级数是收敛的无穷级数是收敛的; 都可以对都可以对 x , t 逐项微分逐项微分 2 次次; 也满足原偏微分方程和边界条件也满足原偏微分方程和边界条件.任务任务: 选择适当的选择适当的 使使 满足满足 初始条件初始条件 . 为此为此, 必须有必须有），（，、txuDCnn)(sin)0,(),(10 xxlnCxutxunnt )(sin10 xxlnlnaDtunnt .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxuat

12、uttlxx 反过来反过来,回头看回头看,这正是一种展这正是一种展开式开式!原来原来, , 分别是分别是 , 在在 区间上区间上, 按照按照完备的三角函数系完备的三角函数系 展开的傅立叶级数的展开系数展开的傅立叶级数的展开系数 . 也就是也就是nnDlnaC ,)(, )(xx l ,0 xln sin lnlnxdxlnxnaDxdxlnxlC00sin)(2sin)(2 关于解的存在性关于解的存在性:)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutl

13、xxuatuttlxx 由上式所确定的由上式所确定的 , 确实是确实是),(txu的解的解. 其中的系数其中的系数 由由nnDC , lnlnxdxlnxnaDxdxlnxlC00sin)(2sin)(2 确定之外确定之外,还要求还要求(应该满足应该满足): 所得到的级数收敛所得到的级数收敛; 且能对且能对 逐项微分两次逐项微分两次.tx ,有鉴于此有鉴于此 , 只需要对只需要对 , 附加一些条件限制附加一些条件限制,一般情况下都一般情况下都能满足能满足. 即如果即如果 (1). 三次连续可微三次连续可微, 两次连续可微两次连续可微. (2). 且且)(x )(x )(x )(x 0)()0(

14、)()0()()0( lll 关于原定解问题的形式解关于原定解问题的形式解:)(, )(xx 倘若倘若 不满足上述条件不满足上述条件, 由边界条件和初始条件所确定的由边界条件和初始条件所确定的 不具备古典解的要求不具备古典解的要求 ,那么它只能是原定解问题的一个形那么它只能是原定解问题的一个形 式解式解. 依据实变函数理论依据实变函数理论, 只要只要 在在 上是上是 可积的可积的, 函数列函数列(展开式展开式)nnDCxu, )()(, )(xx l ,02lxlkCnkkn sin1 xlklkaDxnkkn sin)(1 分别收敛于分别收敛于 ,则其中则其中 仍然有前面展开系数公式确定仍然

15、有前面展开系数公式确定.)(, )(xx ,kCkDxlkCnkkn sin1 xlklkaDxnkkn sin)(1 分别收敛于分别收敛于 ,则其中则其中 仍然有前面展开系数公式确定仍然有前面展开系数公式确定.)(, )(xx ,kCkD如果将原方程中的初始条件如果将原方程中的初始条件 .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutuutlxxuatuttlxx )(0 xtunt )(),(0 xtxunt 代之以代之以 和和 ,则相应的定解问题的解为则相应的定解问题的解为)3 , 2 , 1(sinsincos),(1 kxlktlkaDtlkaCtxSkkn

16、kn 所以所以,当当 n 很大时很大时, 作为近似解作为近似解 ,它平均收敛的极限是它平均收敛的极限是 ,这这也是很有实际意义的也是很有实际意义的.),(txSn),(txu关于综合工作关于综合工作:变量被分离之后变量被分离之后捆绑边界条件捆绑边界条件捆绑初始条件捆绑初始条件得到的解得到的解称为称为形式解形式解 这种形式上推导这种形式上推导解的过程，被称为解的过程，被称为分分析过程。析过程。 要证明它满足方程和定要证明它满足方程和定解条件，还必须进行验算。解条件，还必须进行验算。 从偏微分方程的方法论考虑：大多从偏微分方程的方法论考虑：大多数情况下，先求形式解；数情况下，先求形式解； 再验证它

17、就再验证它就是古典解。验证的过程，被称为是古典解。验证的过程，被称为综合过综合过程程。本书仅限于求形式解，认定定解问。本书仅限于求形式解，认定定解问题已经解决。题已经解决。分离变量流程图xxtuau2 0|0 Lxxuu)()(|00 xtuxutt )()(xXtTu TaTXX20 XX 02 TaT xlnaDtlnaCTnnn sincos 222,sinlnxlnBXnnn )()(tTxXunnn ),(1txuunn 举例举例:例例1. 设一根长为设一根长为10个单位的细弦个单位的细弦,两端固定两端固定,初速为零初速为零,初位移初位移 与材料有关的量与材料有关的量 ,求弦作微小横

18、振动时的位移求弦作微小横振动时的位移 .,1000)10()(xxx 10002 Ta),(txu解解: 其定解问题为其定解问题为 .100,0;1000)10(|0,0|,0|0,100,0010022222xtuxxutuutxxuatuttxx显然显然,这个问题的傅立叶级数形式解可由这个问题的傅立叶级数形式解可由)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 给出给出, 其中其中)3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn 给出给出, 其中其中 333333100

19、0)12(54540)cos1(5210sin1000)10(102sin)(2 nnnnxdxnxxxdxlnxlClnxdxlnxanDln 0sin)(2 0 00 ttun 为偶数为偶数 n 为奇数为奇数 因此因此,所求的解为所求的解为xlntlnantxun )12(sin)12(cos)12(54),(330 )3 , 2 , 1(sinsincos),(),(11 nxlntlnaDtlnaCtxutxunnnnn xntnnn10)12(sin)12(10cos)12(154033 100,100002 aEa xntnnn10)12(sin10)12(100cos)12(54

20、330 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu例例 2. 解下列定解问题解下列定解问题 .100,0;1000)10(|0,0|,0|0,100,0010022222xtuxxutuutxxuatuttxx例例 1. 定解问题定解问题分析分析: 对比上面两个定解问题对比上面两个定解问题,与例与例 1 所不同的是所不同的是, 这一端的边界条这一端的边界条件件 已经不是第一类齐次边界条件已经不是第一类齐次边界条件 , 而是第二类齐次边界条件而是第二类齐次边界条件 .lx 0 lxu0 lxxu第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第一类齐次边界条件第

21、一类齐次边界条件一、对此，试探性提出方程组一、对此，试探性提出方程组 中第一个方程的分离变量中第一个方程的分离变量 形式的非零解（特解）形式的非零解（特解） .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu)()(),(tTxXtxu 上式分别对上式分别对 x 、 t 求偏导求偏导)()(;)()(2222tTxXtutTxXxu 上面的结果，反回去代入原方程，得上面的结果，反回去代入原方程，得)()()()(2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 若要两边恒等，只有都等若要两边恒等，只有都等于一个常数。于一个常数。 这样，变量

22、被分离了，这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！同时得到两个常微分方程！0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 二、捆绑边界条件二、捆绑边界条件 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu由于由于将其与方程组中的边界条件将其与方程组中的边界条件捆绑捆绑)()(),(tTxXtxu 由由0)()0(00 tTXux由由0)()(0 tTlXxulx其中，其中， 。因为如果。因为如果 ，则，则 所涉及的解，显所涉及的解，显然不是我们所需要的（零解！）。然不是我们所需要的（零解！）。0)( tT0)( tT,0),( txu 由此可见，只有

23、由此可见，只有 。将此结果与所得到的常微分方程。将此结果与所得到的常微分方程中的第二个方程（关于中的第二个方程（关于X ）联立）联立0)()0( lXX0)()( xXxX 0)()0( lXX0)()(2 tTatT 0)()( xXxX 组成了关于组成了关于的的本征值问题本征值问题)(xX0)()( xXxX 0)()0( lXX三、在右列方程组中，解出非零的三、在右列方程组中，解出非零的 。)(xX0)()( xXxX 重复前面的讨论重复前面的讨论,只有当只有当 时时, 本征值本征值问题才有非零解问题才有非零解, 此时此时 的通解仍为的通解仍为02 xBxAxX sincos)( 0)(

24、)0( lXX 代入边界条件代入边界条件: , 得得 0cos0lBA 由于由于 , 故故 , 即即0 B0cos l ), 2 , 1 , 0(212 nln 从而求得了一系列本征值与本征函数从而求得了一系列本征值与本征函数,4)12(222lnn ), 2 , 1(2)12(sin)( nxlnBxXnn 本征值本征值本征函数本征函数四、回过头来求函数四、回过头来求函数)(tT0)()(2 tTatT 0)()( xXxX ,4)12(222lnn ), 2 , 1(2)12(sin)( nxlnBxXnn 将这些本征值将这些本征值, 回过头代入右上角黄色背景的方程中回过头代入右上角黄色背

25、景的方程中, 其通解为其通解为)3 , 2 , 1(,2)12(sin2)12(cos)( ntlanDtlanCtTnnn 将将 和和 一并代入一并代入 , 经整理后得到了既满经整理后得到了既满足泛定方程足泛定方程,又满足边界条件的一组分离变量形式的特解又满足边界条件的一组分离变量形式的特解)(xXn)(tTn)()(),(tTxXtxu xlntlanDtlanCtxunnnn2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(0 )2 , 1 , 0( n关于关于 t 的的关于关于 x 的的xlntlanDtlanCtxunnnn2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(0

26、 五、求满足五、求满足(捆绑捆绑)初始条件的解初始条件的解 .0;2|0;0|0,0,020022222ttlxxtuxlxuxuutlxxuatu利用初始条件利用初始条件, 确定上面方程中的任意常数确定上面方程中的任意常数02)12(sin)(20 xdxlnxanDln xdxlnxlCln 02)12(sin)(2 xdxlnxlxll 2)12(sin)2(202 33)12(32 nlxlnlannltxunn2)12(sin2)12(cos)12(132),(033 0 nD nC33)12(32 nl故故, 所求之解为所求之解为xlntlanDtlanCtxunnnn2)12(s

27、in2)12(sin2)12(cos),(0 2.2 2.2 有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导设有一均匀细杆设有一均匀细杆, 长为长为 ,ll两端点的坐标为两端点的坐标为 和和 , 0 xlx 0l杆的侧面杆的侧面是绝热的是绝热的, 且在左端点且在左端点 处处,温度为零摄氏度温度为零摄氏度, 而在另一端而在另一端 处处,0 xlx 杆的热量自由发散到周围温度为零的介质中去杆的热量自由发散到周围温度为零的介质中去, (参考第一章第一节中的第三参考第一章第一节中的第三类边界条件类边界条件,并注意在杆的右端截面外法向与并注意在杆的右端截面外法向与 轴正方向重合轴正方向重合).xx左端点处温度左端

28、点处温度为零为零右端面外法向与右端面外法向与 x 轴正向重合轴正向重合热量流动的方向热量流动的方向(高温高温 低温低温)周围温度为零周围温度为零已知已知:初始温度分布为初始温度分布为求求:杆上的温度变化规律杆上的温度变化规律?, )(x l0lx左端点处温度左端点处温度为零为零右端面外法向与右端面外法向与 x 轴正向重合轴正向重合热量流动的方向热量流动的方向(高温高温 低温低温)周围温度为零周围温度为零解解: 这是一个定解问题这是一个定解问题, 其一维热传导方程为其一维热传导方程为 ,0,0,222 tlxxuatu其中其中 cka 2边界条件为边界条件为00 xu,0),(),( tluhx

29、tlu;其中其中kkh1 介质的介质的热传导热传导系数系数杆的热杆的热传导系传导系数数左端温度为零左端温度为零?,0),(),( tluhxtlul0lxk1k当杆与外界有热交换时当杆与外界有热交换时, 热量由杆内热量由杆内(高温高温)向杆外向杆外(低温低温)流动流动, 而温度梯而温度梯度的方向度的方向,则是指向温度升高的方向则是指向温度升高的方向. 因此因此,由傅立叶热学实验知由傅立叶热学实验知ssuuknuk)(11 ssuukknu)(11 ssuuhnu)(1 ssuhuhnu1)( lluhuhxu1)( 周围介质的温度为零周围介质的温度为零初始条件为初始条件为)()0 ,(xxu

30、于是于是, 定解问题为定解问题为,00 xu0,0),(),( ttluhxtlulxxxu 0, )()0 ,( ,0,0,222 tlxxuatu一、对此，试探性提出方程组中第一个方程的分离变量形式的非零解（特解）一、对此，试探性提出方程组中第一个方程的分离变量形式的非零解（特解）)()(),(tTxXtxu 上式分别对上式分别对 x 、 t 求偏导求偏导)()(;)()(22tTxXtutTxXxu 上面的结果，反回去代入原方程，得上面的结果，反回去代入原方程，得)()()()(2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 2 若要两边恒等，只有都等若要两边恒等，只有

31、都等于一个常数。于一个常数。 这样，变量被分离了，这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！同时得到两个常微分方程！0)()(22 tTatT 0)()(2 xXxX 二、捆绑边界条件二、捆绑边界条件,解出解出)(xX 方程的非零解为方程的非零解为)(xXxBxAxX sincos)( 依据边界条件依据边界条件 , 由由00)0( AX0sincos0)()( lhllXhlX 以下的任务以下的任务, 就是要求出就是要求出0sincos lhl 为求为求 , 令令 即即 ,1,lhl lhlhlhtg上面方程的根上面方程的根, 可视为曲线可视为曲线 21ytgy交点的横坐标交点的横坐标.y

32、tgy 1 2y2 1 1 2 取正根（负根仅差一符号）无穷多取正根（负根仅差一符号）无穷多,321n 因此，求得了关于因此，求得了关于 方程的方程的)( xX本征值：本征值：,2222222222121lllnn 本征函数：本征函数：.sin)(xBxXnnn 三、在右列方程组中，解出非零的三、在右列方程组中，解出非零的 。)(tT0)()(22 tTatT 0)()(2 xXxX tannneAtT22)( 因此，因此，)()(),(tTxXtxunnn xeBAntannn sin22 ), 3 , 2 , 1(sin22 nxeCntann 四、写出叠加形式的解，并捆绑初始条件，确定任

33、意常数。四、写出叠加形式的解，并捆绑初始条件，确定任意常数。00 xu,0),(),( tluhxtlu;)()0 ,(xxu ,0,0,222 tlxxuatu由于泛定方程和边界条件都由于泛定方程和边界条件都是齐次的是齐次的, 所以所以xeCtxutxuntannnnn sin),(),(2211 问题问题: 能否展成能否展成 级数形式级数形式?)(x xeCntannn sin221 如何确定如何确定?nC只要求只要求 在在 上满足上满足 Dirichlet)(x l , 0(狄利克雷狄利克雷)条件条件:(1) 在在 有定义有定义,且单值且单值;)(x ll, (2) 为周期函数为周期函数

34、,且周期为且周期为 ;)(x l2(3) 与与 在在 内分段连续内分段连续;)(x )(x ll, (1)、(2)、（、（3）是充分的！但不是）是充分的！但不是必要的！而在实际中，这些条件通常必要的！而在实际中，这些条件通常是满足的。是满足的。 目前为止，尚不清楚傅立叶级数目前为止，尚不清楚傅立叶级数充分且必要的条件到底是什么！充分且必要的条件到底是什么！用展开的级数，去逼近一个函数，用展开的级数，去逼近一个函数，这是有限与无限之间的辨证关系。这是有限与无限之间的辨证关系。 回忆傅氏级数展开系数公式回忆傅氏级数展开系数公式的由来，是依据函数的正交性。的由来，是依据函数的正交性。考察函数系考察函

35、数系 ，在，在 上上正交且完备，那么正交且完备，那么 xn sin l , 0 nmlnmxdxxlnm,0sinsin0 由初始条件由初始条件xCxunnn 1sin)0 ,( )(x 于是，在于是，在 的两端，乘以的两端，乘以xCxnnn 1sin)( ，然后在，然后在 上积分，上积分，xk sin lo,于是，在于是，在 的两端，乘以的两端，乘以xCxnnn 1sin)( ，然后在，然后在 上积分，上积分，xk sin lo,xdxxCxdxxklnnnlk sinsinsin)(010 xdxxCklnk sinsin0 kkLC 这里，令：这里，令：xdxxLklkk sinsin0

36、 xdxkl 02sin于是有于是有xdxxLClkkk 0sin)(1 xeCtxutxuntannnnn sin),(),(2211 即为最终结果。即为最终结果。将上述将上述 ，代入，代入nkCC 2.3 2.3 圆形域内的二维圆形域内的二维 Laplace 方程的定解问题方程的定解问题 一个半径为一个半径为 的薄圆盘的薄圆盘 ,0 0 上下两面绝热上下两面绝热,圆周边缘温度分布为圆周边缘温度分布为 ,)( f 求达到稳恒求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布状态时圆盘内的温度分布 .),( u定解问题定解问题: 由第一章知道由第一章知道, 热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关热传导问题达

37、到稳恒状态时温度分布与时间无关0 tu即即 , 应满足拉普拉斯方程应满足拉普拉斯方程 .02 u因此因此,写成极坐标形式的定解问题写成极坐标形式的定解问题 20,01)(102222 uuu 20, )(),(0 fu泛定方程泛定方程边界条件边界条件边缘温度边缘温度同时，考虑到自变量变化的特点，有同时，考虑到自变量变化的特点，有 0,0 2,0和和即即中心点的温度有限（有界）中心点的温度有限（有界）坐标系中指同一点温度不变坐标系中指同一点温度不变 ),0( u)2,(),( uu以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。01

38、)(12222 uuu)(),(0 fu ),0( u)2,(),( uu 20,0 20, 01)(12222 uuu)(),(0 fu ),0( u)2,(),( uu 一、对此，试探性提出方程组中泛定方程的分离变量形式的非零解（特解）一、对此，试探性提出方程组中泛定方程的分离变量形式的非零解（特解）令令:)()(),( Ru代入泛定方程代入泛定方程, 得得0112 RRR 分离变量后分离变量后, 得得 RRR 2 惟有等于常数惟有等于常数从而得到两个常微分方程从而得到两个常微分方程0 02 RRR 改写上述边界条件改写上述边界条件 ),0( u)2,(),( uu )0(R)()2( 由

39、此由此, 组成了两套常微分方程的定解问题组成了两套常微分方程的定解问题 0 )()2( 02 RRR )0(R和和二、解方程（定解）二、解方程（定解）在分析上述两组方程时在分析上述两组方程时, 可以看出第一组方程中有可以看出第一组方程中有 满足满足可加性（即叠加起来仍然是本身的解）。为此，先从第一组方程下手。可加性（即叠加起来仍然是本身的解）。为此，先从第一组方程下手。 )()2( 这正是这正是Euler方程方程（1）. 求本征值求本征值如法炮制，当：如法炮制，当： 时，不符合非零解的要求，时，不符合非零解的要求， 舍去舍去!0 0 时，解为时，解为 （常数），亦舍去！（常数），亦舍去！00)

40、(a 时，取时，取 ，这时方程，这时方程 的解为的解为 0 0 2 sincos)(ba sincos)(ba 0 )()2( 联合边界条件，考虑到联合边界条件，考虑到 以以 为周期，为周期， 必须为整数（只取正整数）必须为整数（只取正整数）)( 2 取取, 3 , 2 , 1 n解的表示为解的表示为 nbnannnsincos)( nn 本征值本征值本征函数本征函数（2）. 求另组一方程的本征函数求另组一方程的本征函数 02 RRR )0(REuler 方程方程 的通解为的通解为02 RRR 0,ln000 dcR), 3 , 2 , 1 , 0(,2 nndcRnnnnn 为了保证为了保证

41、 ，那么只有，那么只有 ，即，即 )0(R), 2 , 1(0 ndn), 3 , 2 , 1 , 0(, ncRnnn 本征函数本征函数因此，方程因此，方程 满足边界条件满足边界条件01)(12222 uuu)(),(0 fu )2,(),( uu的解，可以表示为级数的解，可以表示为级数)sincos(2),(10 nbnaaunnnn nbnannnsincos)( nnncR )(式中式中0002caa nnncaa nnncbb （3）. 利用叠加原理，写出解。利用叠加原理，写出解。合并系数合并系数（4）. 确定系数确定系数 定解。定解。 ,0nnbaa利用边界条件利用边界条件 得得,

42、20, )(),(0 fu)sincos(2),(10 nbnaaunnnn ,20, )(),(0 fu)sincos(2)(100 nbnaafnnnn 显然，这里的显然，这里的 ，正是，正是 展开为傅立叶级数时的系数，展开为傅立叶级数时的系数，即即nnnnbaa000, )( f 200)(1dfa 200cos)(1dnfann 200sin)(1dnfbnn 将这些系数代入将这些系数代入 ，即得到，即得到所求的解。所求的解。)sincos(2),(10 nbnaaunnnn 为了理论上讨论方便计，我们已经固定的把傅立叶展开系数为了理论上讨论方便计，我们已经固定的把傅立叶展开系数 20

43、0)(1dfa 200cos)(1dnfann 200sin)(1dnfbnn)sincos(210 nbnaannnn ),( u代入到代入到之中，并经过简化后得到之中，并经过简化后得到tdtntfunn 1020)(cos)(21)(1),( 并利用已知的恒等式（证明详见教科书并利用已知的恒等式（证明详见教科书 P35 ）)1(,)(cos21121)(cos21221 kktkktnknn tdtntfunn 1020)(cos)(21)(1),( )1(,)(cos21121)(cos21221 kktkktnknn tdttfu)(cos2)(21),(022022020 ),20(

44、0 这个解，称为圆域内的泊松这个解，称为圆域内的泊松（poisson）公式，它的理论意义是把解写成了积分的形式。公式，它的理论意义是把解写成了积分的形式。Poisson 积分公式积分公式Laplace 方程，在圆域内的第一类边界条件的解。方程，在圆域内的第一类边界条件的解。 （ 事实上，由解析函数的事实上，由解析函数的 Cauchy 积分公式，也积分公式，也 可以推出这个结果。）可以推出这个结果。）2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法 之前，我们所讨论的偏微分方程都限于齐次的，以下将要讨论非齐之前，我们所讨论的偏微分方程都限于齐次的，以下将要讨论非齐次方程的解法。不失为普遍性，现以

45、弦的受迫振动为例，所用的方法对次方程的解法。不失为普遍性，现以弦的受迫振动为例，所用的方法对其它同类型的方程解法，可以起到抛砖引玉的作用。其它同类型的方程解法，可以起到抛砖引玉的作用。问题：问题：一根细弦，两端固定，在受到强迫力一根细弦，两端固定，在受到强迫力 作用下振动，作用下振动，),(txf受迫振动定解问题受迫振动定解问题: 22222xuatu 0,0, ),( tlxtxf0,00 tuulxxlxxtuxutt 0, )(, )(00 受迫振动物理状态分析受迫振动物理状态分析:弦的振动弦的振动初始状态的自由振动初始状态的自由振动由强迫力引起的振动由强迫力引起的振动视为两种振动的合成

46、视为两种振动的合成 (运动之叠加运动之叠加)弦的振动弦的振动初始状态的自由振动初始状态的自由振动视为两种振动的合成视为两种振动的合成 (运动之叠加运动之叠加)由强迫力引起的振动由强迫力引起的振动由此得到启发，我们可以假设其解为由此得到启发，我们可以假设其解为),(),(),(txWtxVtxU 22222xVatV 0,0, ),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000其中其中 表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足),(txV 22222xWatW 0,0, tlx0,00 tWWlxxlxxtWxWtt 0, )(, )(00

47、而而 表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足),(txW 从物理学的从物理学的观点来看，叫运观点来看，叫运动的叠加动的叠加 从军事学的从军事学的观点来看，叫各观点来看，叫各个击破，分而食个击破，分而食之。之。 22222xuatu 0,0, ),( tlxtxf0,00 tuulxxlxxtuxutt 0, )(, )(00 22222xVatV 0,0, ),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000 22222xWatW 0,0, tlx0,00 tWWlxxlxxtWxWtt 0, )(, )(00 原非齐次方程定解问题原非

48、齐次方程定解问题泛定方程为非齐次，但边泛定方程为非齐次，但边界条件和初始条件，变得界条件和初始条件，变得较为简单的定解问题。较为简单的定解问题。泛定方程变为齐次，但边泛定方程变为齐次，但边界条件和初始条件，未发界条件和初始条件，未发生变化的定解问题。并且生变化的定解问题。并且这样的问题，前面已经解这样的问题，前面已经解决决齐次问题，用分离齐次问题，用分离变量法解决。变量法解决。 22222xVatV 0,0, ),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000 通过前面的分析，我们已经认识到：对于齐次问题，可以用分离变量法通过前面的分析，我们已经认识到：对于齐次问题，可以用分

49、离变量法求解；而对于下面已经简化了的非其次问题，通常采用的求解；而对于下面已经简化了的非其次问题，通常采用的参数变易法求参数变易法求解。解。参数变易法的主导思想：参数变易法的主导思想：非齐次定解非齐次定解问题的解问题的解分解为无穷多分解为无穷多个驻波的叠加个驻波的叠加其驻波的波形，由齐次方程其驻波的波形，由齐次方程经分离变量后，所得到之本经分离变量后，所得到之本征值与本征函数确定。征值与本征函数确定。1. 设（试探性）上述非齐次定解问题的解，具有如下形式设（试探性）上述非齐次定解问题的解，具有如下形式xlntvtxVnn sin)(),(1 其中其中 ，为待定函数！，为待定函数！)(tvn 2

50、2222xVatV 0,0,),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,0002. 确定确定),(txV 将强迫项将强迫项 也按照也按照本征函数展开本征函数展开),(txfxlntftxfnn sin)(),(1 其中，展开系数为其中，展开系数为xlntxfltfln 0sin),(2)( xlntvtxVnn sin)(),(1 将上面两个黄色背景的假设和结果代入泛定方程中，得到将上面两个黄色背景的假设和结果代入泛定方程中，得到0sin)()()(12222 xlntftvlnatvnnnn 由此得到由此得到)()()(2222tftvlnatvnnn 相应的初始条件变化为

51、相应的初始条件变化为lxtVVtt 0,0000)0()0( nnvv)()()(2222tftvlnatvnnn 0)0()0( nnvv 0, t), 2 , 1(, n这样一来，确定函数这样一来，确定函数 ，只需要解下面的定解问题，只需要解下面的定解问题)(tvn关注：关注：Vvv在上面的泛定方程两端，取关于在上面的泛定方程两端，取关于 的的 Laplace 变换，得变换，得 t)()(;)()(pFtfpUtvnnnn)()()(22222pFpUlnapUpnnn 解出：解出：)(1)(22222pFlnappUnn 由于由于 的逆的逆 Laplace 变换为变换为 ，利用，利用La

52、place变变222221lnap tlnana sin1换的卷积定理，即得到换的卷积定理，即得到)(tvn dltnafnaltvlnn)(sin)()(0 xlntvtxVnn sin)(),(1 将上面的结果，代入最初假设将上面的结果，代入最初假设 ，于是得到，于是得到 dltnafnaltxVlnn)(sin)(),(01 xln sin 22222xWatW 0,0, tlx0,00 tWWlxxlxxtWxWtt 0, )(, )(00 将这个解，与下面齐次方程所解出的将这个解，与下面齐次方程所解出的),(txW),(),(),(txWtxVtxU 按照按照 相叠加，就得到原定解问

53、题的解。相叠加，就得到原定解问题的解。回顾：回顾：对于非齐次偏微分方程对于非齐次偏微分方程 22222xVatV 0,0,),( tlxtxf0,00 tVVlxxlxtVVtt 0,000对于非齐次项对于非齐次项),(txVxlntvnn sin)(1 按照本征函数系展开按照本征函数系展开xlntvnn sin)(1 )(tvn再按照本征函数系展开再按照本征函数系展开联合（捆绑）边界条件联合（捆绑）边界条件 dltnafnalln)(sin)(0 尽管方程与边界条件千变万化，但总是把非齐次方程的解，按照相应的尽管方程与边界条件千变万化，但总是把非齐次方程的解，按照相应的本征函数展开。所以这种

54、方法也称为本征函数展开。所以这种方法也称为本征函数法。本征函数法。例例 在圆环域在圆环域 内，求下面定解问题：内，求下面定解问题：)0(22babyxa byxayxyuxu 22222222, )(120,02222 byxayxnuu解解 因为求解区域为圆环，选用平面极坐标较为方便。利用关系因为求解区域为圆环，选用平面极坐标较为方便。利用关系 sincosyx可将上述定解问题用极坐标的变量可将上述定解问题用极坐标的变量 表示。表示。 , 20,2cos121)(12222 bauu0,0 banuu 非齐次方程非齐次方程齐次边界条件齐次边界条件 20,2cos121)(12222 bauu

55、0,0 banuu 运用本征函数法运用本征函数法这是一个非齐次方程，附加有齐次边界条件的定解问题。这是一个非齐次方程，附加有齐次边界条件的定解问题。 参考圆域内参考圆域内 Laplace 方程所对应的本征函数方程所对应的本征函数)sincos(2),(10 nbnaaunnnn （教科书（教科书 P34. 2.32式）式）令上面定解问题具有分离变量形式的解（试探）令上面定解问题具有分离变量形式的解（试探） 0sin)(cos)(),(nnnnBnAu 将这个形式解，代入泛定方程，并经整理后得将这个形式解，代入泛定方程，并经整理后得 0n nAnAAnnncos)()(1)(22 2cos12s

56、in)()(1)(2222 nBnBBnnn 0n nAnAAnnncos)()(1)(22 2cos12sin)()(1)(2222 nBnBBnnn 比较上式两端关于比较上式两端关于 的系数，得的系数，得 nnsin,cos22222212)(2)(1)( AAA)2( n0)()(1)(22 nnnAnAA)2( n0)()(1)(22 nnnBnBB再由边界条件（捆绑）再由边界条件（捆绑） ， 得得0,0 banuu ,0 bnu ,0 au 0)()( bAaAnn0)()( bBaBnn0)()(1)(22 nnnAnAA0)()(1)(22 nnnBnBB上面两个方程，都是齐次上

57、面两个方程，都是齐次 Euler 方程，它们的通解分别为方程，它们的通解分别为nnnnndcA )(nnnnndcB )(其中，其中， ，都是任意常数，考虑到之前捆绑边界条件的结果，都是任意常数，考虑到之前捆绑边界条件的结果nnnndcdc ,0)()( bAaAnn0)()( bBaBnn0)( nnnnndcA 0)( nnnnndcB )2( n以下，确定以下，确定)(2 A)2( n22222212)(2)(1)( AAA)2( n显然，这是一个非齐次的显然，这是一个非齐次的 Euler 方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解2222221

58、2)(2)(1)( AAA)2( n显然，这是一个非齐次的显然，这是一个非齐次的 Euler 方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解方程，利用待定系数法，可以求得它的一个特解42)( A（特解，且有特别的系数）（特解，且有特别的系数）因此，它的通解为因此，它的通解为422212)( CCA再由边界条件（捆绑），所得的结果，确定上式的再由边界条件（捆绑），所得的结果，确定上式的21,CC,0)(2 aA ,0)(2 bA 446612babaC 44224422(bababaC 因此因此 )(2 A244662 baba 424422442( bababa故原定解问题的解为故原定解问题的解为

59、 2cos)(),(2 Au（原求和符号自动消失。）（原求和符号自动消失。）2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的齐次化非齐次边界条件的齐次化回顾以前：回顾以前：无论泛定方程是无论泛定方程是齐次齐次非齐次非齐次对应的边界条件对应的边界条件 都是齐次的都是齐次的倘若边界条件倘若边界条件 是非齐次的是非齐次的新问题？新问题？将其转化为齐次将其转化为齐次以适当的未知函数代换以适当的未知函数代换设定解问题设定解问题: 22222xuatu 0,0, ),( tlxtxf0, )(; )(210 ttuutuulxxlxxtuxutt 0, )(;)(00 为了将边界条

60、件转成齐次，为此令：为了将边界条件转成齐次，为此令：),(),(),(txWtxVtxu ),(txV使使 的边界为齐次的边界为齐次000 lxxVV)()(210tuWtuWlxx ),(txW适当选取适当选取 这一部分解的结构简单，这一部分解的结构简单，但边界条件为非齐次。但边界条件为非齐次。 这一部分解的结构复杂，这一部分解的结构复杂，但边界条件为齐次。但边界条件为齐次。如何选取齐次化函如何选取齐次化函数数W（x，t）？因为仅要求因为仅要求 满足右列边界条件，所以有相当大的选择余地。如果把满足右列边界条件，所以有相当大的选择余地。如果把 看成看成是参数，这就只要求在是参数，这就只要求在