D672二重积分的计算学习教案

1、会计学1D672二重积分的计算二重积分的计算(j sun)第一页，共42页。同样(tngyng), 曲顶柱体的底为xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy记作记作 二重积分二次积分(jfn)(累次积分)曲顶柱体体积(tj)也可按如下计算第1页/共42页第二页，共42页。在D上连续(linx), 则O)(1xy)(2xyxbyDaD称为(chn wi) X - 型区域： 过D内部且平行于y轴的直线与D的边界最多交于两点。 O)(1xy)(2xyxbyaD积分区域D为第2页/共42页第三页，共42页。Oy)(1yx)(2yxxdc在D上连续(linx), 积分(jfn)区域

2、D为则D为 Y - 型区域(qy)： 过D内部且平行于x轴的直线与D的边界最多交于两点。 yOy)(2yxxdc)(1yx第3页/共42页第四页，共42页。xyDODyxyxfdd),(为计算(j sun)方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.badc则有x(2) 若积分(jfn)区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,(1) 二重积分要根据积分区域的特点，来计算。化为两次积分第4页/共42页第五页，共42页。xyO(3) 若积分(jfn)域较复杂,X - 型域或Y - 型域 , 则 (4) 设如果(rgu) 分别(fnbi)在 a, b 和 c, d 上可积，则 在 D上可积，

3、且可将它分成若干第5页/共42页第六页，共42页。其中(qzhng)D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域(qy). 例例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 及直线第6页/共42页第七页，共42页。,dDyxI其中(qzhng)D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域(qy). 解法解法1. 将D看作X - 型区域, 则解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DI89yx1212xy xyO第7页/共42页第八页，共42页。,dDyx其中(qzhng)D 是抛物线xy 2所围成的闭区域(qy). 解解: 为计算简便,将D看作Y - 型区域:DDxy 2214Oyx

4、y2 xy及直线则 第8页/共42页第九页，共42页。其中(qzhng)D 是直线 所围成的闭区域(qy).解解:因此取D 为X - 型域 :说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.因为取D 为Y - 型域 无法计算， OxyDxxy 第9页/共42页第十页，共42页。xy 1解解积分积分(jfn)区域区域如图如图 例例4.第10页/共42页第十一页，共42页。xy 222xxy 解解积分积分(jfn)区域区域如图如图 例例5.第11页/共42页第十二页，共42页。解解 例例6.第12页/共42页第十三页，共42页。 P266 31(3)(4)(6)(7)(8)；32(3)(

5、4)(5)；第二节 第13页/共42页第十四页，共42页。Ox以x 轴正半轴为极轴建立(jinl)极坐标系。用射线，及同心圆分划(fn hu)区域D。假设从极点O出发的直线与区域D的边界至多交于两点。rrO小区域的面积为三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分第14页/共42页第十五页，共42页。drrddrdO即极坐标下的面积(min j)元素为d对应(duyng)有在内取点于是根据(gnj)二重积分的定义，有第15页/共42页第十六页，共42页。当被积函数(hnsh)用极坐标变量表示(biosh)简单。考虑(kol)用极坐标计算二重积分：例如：被积函数含有 x2 +y2 项，积

6、分区域D为圆域，环域，扇形区域。圆域，环域，扇形区域。积分区域D 的边界用极坐标表示更方便；Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(第16页/共42页第十七页，共42页。D)(1r)(2rOx则对)(1r)(2rOxDdD2. 二重积分的极坐标计算二重积分的极坐标计算(j sun)第17页/共42页第十八页，共42页。)(rDOx对Drrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf若 f 1 则可求得D 的面积(min j)与定积分计算面积(min j)一致.第18页/共42页第十九页，共42页。例例1 下列下列(xili)各图中域各图中域 D 分别与分别与 x

7、, y 轴相切于原点轴相切于原点,试试解解: 问 r, 的变化范围(fnwi)是什么?(1)(2)(rDyxO)(rDyxO(1)(0 r:D(2)第19页/共42页第二十页，共42页。x1O解解: 积分积分(jfn)域如图域如图I围成，则在极坐标下的二次积分(jfn)？第20页/共42页第二十一页，共42页。其中(qzhng)区域 D 是由解解: 在极坐标系下原式=故围成的。D第21页/共42页第二十二页，共42页。其中(qzhng)解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等(chdng)函数 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.xaOy第22页/共42页第二十三页，共42页。利用(lyng)上

8、题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常(fnchng)积分公式222Rddeyxyx又yxayxyxdde22222)e1 (2a解一：解一： 第23页/共42页第二十四页，共42页。解解1D2DSS1D2D例例 8 8 求广义积分求广义积分 02dxex. 解二解二： 第24页/共42页第二十五页，共42页。1D2DSS1D2DRR2yxayxyxdde22222)e1 (2a第25页/共42页第二十六页，共42页。1D2DSS1D2DRR2第26页/共42页第二十七页，共42页。1 yx122 yx解解例例 2 2 写出积分写出积分 Ddxdyyxf),( 的极坐标二次积分形式

9、，的极坐标二次积分形式， 其中其中 ,11| ),(2xyxyxD 10 x. . 例例5. 第27页/共42页第二十八页，共42页。(1) 二重积分化为累次积分的方法(fngf)直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)系情形系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O第28页/共42页第二十九页，共42页。则D)(1r)(2rOx第29页/共42页第三十页，共42页。xyO1D在有界闭区域(qy)D上连续,(1) 域D 关于(guny)x 轴对称,二重积分关于二重积分关于(guny)对称对称性的应用性的应用d

10、),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf(2) 域域D 关于y 轴对称,第30页/共42页第三十一页，共42页。d),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf(3) 域D 关于(guny)原点对称,在第一象限(xingxin)部分, 则有D第31页/共42页第三十二页，共42页。D(4) 域D 关于(guny) y=x 对称，则d),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf1D第32页/共42页第三十三页，共42页。其中(qzhng)D 由所围成.Oyx24xyxy32D1D1x解解: 令(如图所示)显然(xinrn),0第33页/共42页第三十四页，共42页。 P267 32(3)(4)(5)

11、； 33(1)(3)(5)；第二节 下节课习题课，做课后习题下节课习题课，做课后习题(A)(B);复习第五复习第五(d w)、六章内容，、六章内容，5月月8日日(周周3)进行期中考试。进行期中考试。第34页/共42页第三十五页，共42页。xyzO其上下(shngxi)顶面分别是曲面),(1yxfz ),(2yxfz 则该立方体的体积(tj)等于区域D上以曲面为顶的曲顶柱体积D上以曲面减去区域D为顶的曲顶柱体积。即交线投影根据二重积分的几何意义，我们可以利用二重积分计算立体体积。 如图，空间内一立方体。第35页/共42页第三十六页，共42页。xyzO),(1yxfz ),(2yxfz D关键关键

12、(gunjin)：分析得到积分分析得到积分(jfn)区域区域 D 的表达的表达式式积分区域D是由两个(lin )曲面交线在xOy面上的投影曲线所围成。曲面交线：在xOy面上的投影曲线：第36页/共42页第三十七页，共42页。例例 求曲面求曲面(qmin)和所围成的有界体的体积(tj)。解：解：两旋转(xunzhun)抛物面的交线为其在xOy面上的投影为xyz所以在xOy面上积分区域用极坐标表示为即xOy面上的圆第37页/共42页第三十八页，共42页。224yxz22yxz,2020:rDxyz2第38页/共42页第三十九页，共42页。被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体(lt)的体积. 解解: 设由对称性可知(k zh)xya2DOxyza2Ocos2ar 圆的极坐标方程为曲顶柱体