第6章定积分及其应用

1、第第6 6章章 定积分及其应用定积分及其应用目录6.1 定积分的概念与性质6.2 微积分基本公式6.3 定积分的换元法与分部积分法6.4 反常积分6.5 定积分的应用壹定积分的概念与性质3第一节 定积分的概念与性质abxyo? A实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）x轴与两条直线轴与两条直线ax 、)(xfy 一、定积分问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）平平面面图图形形的的面面积积。所所围围直直线线例例如如，求求由由曲曲线线1, 0, 0,2 xxyxyAera=?公元前二百

2、多年前的阿基米德就已会用此法求出许多不规则图形的面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程

3、，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系曲边梯形如图所示：,:1210bxxxxxaTnn abxyoix1x1 ix1 nx;

4、,11 iiiiixxxxxnba，长度为，长度为个小区间个小区间分成分成把区间把区间1,1,2, .iiiixxn ()iifx 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx i iA )(xfy （1）分割（2）近似代替（3）求和11()nniiiiiAfx （4）取极限,当当分分割割无无限限加加细细时时，即即0,max21 nxxxTiniiTxf )(lim10 曲边梯形面积为 A求曲边梯形面积所用的方法步骤：A 分割、分割、 近似代替、近似代替、 求和、求和、 取极限取极限 .实例2 （求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不

5、变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.,)(SbatvvM的的运运动动路路程程到到时时刻刻求求该该物物体体从从时时刻刻作作直直线线运运动动以以变变速速设设一一物物体体 （1）分割btttttaTnn 1210:,1 iiitttiiitvs )( （3）求和iinitvS )(1 （4）取极限，令令,max21ntttT iniiTtvS )(lim10 ., 2 , 1, ,1nittiii （2）近似代替设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxx

6、ann 1210各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定积分的定义定义怎样的分法，怎样的分法，被积函数被积表达式积分变量也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为积分上限积分下限黎曼积分积分和或或黎黎曼曼和和.,积积分分区区间间称称为为

7、ba不不存存在在，若若iniiTxf )(lim10 在在则则称称)(xf.,上上不不可可积积ba注意:( )bafdxx 即即( )bafdtt ( ).bafduu .,.1o无无关关所所用用的的积积分分变变量量的的记记号号有有关关，而而与与和和积积分分区区间间它它只只与与被被积积函函数数，其其结结果果是是一一个个数数，定定积积分分是是积积分分和和的的极极限限baf.;, 0.2o但但反反之之不不然然分分点点个个数数当当 nT.,)(上上不不可可积积在在则则baxf，的的某某一一个个积积分分和和的的极极限限在在若若,.3obaf不不存存在在，极极限限值值都都存存在在但但的的某某两两个个积积

8、分分和和的的极极限限在在或或若若,baf不不相相等等o4 .( ) , f xa b如如果果在在上上，可可积积则则某某特特殊殊积积分分和和.的的极极限限 badxxf)(: , ,a b nT若若取取把把等等分分1,iiibaxxxn ,iibaxain 取取), 2 , 1(ni ,0 nT niiiTxf10)(lim 1lim().nnibaainbanf badxxf)(则则当例1 利用定义计算定积分.102dxx 解iinixf )(1 12niiix 12niiixx 121niinn 2311nini 3(1)(21,1)6nnnn nT0dxx 102iiniTx 210lim

9、 36)12)(1(limnnnnn .31 0,1(1, ) ,iTninixn 把等分，11iiixxxn ，, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1234( )baf x dxAAAA 定积分的几何意义 1A2A3A4A)(xfy ab，有，有时时特别，当特别，当1)( xf.1)(1ababdxba )(xfy ab积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxx

10、fx ,)(前前例例2 2利利用用定定积积分分的的几几何何意意义义计计算算下下列列积积分分d dd d11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 轴轴围围成成的的三三角角形形面面积积. .0,1,xxyxx 100 x 1x 0y Ayx d d10 x x 11 12 1.2d d120(2)1,xx 表表示示由由及及 轴轴围围成成的的圆圆面面积积. .20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx A2114 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理1定理2 设设函函数数)(xf在在区区

11、间间,ba上上有有界界， 则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. . 且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在定积分存在定理(可积充分条件)区区间间,ba上上可可积积. .三、定积分的性质对定积分的补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小证明 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxx

12、f)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1证明 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立., ,a b c例 若,abc ( )caf x dx cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设假设bca 性质3dxba 1dxba ab .证明, 0)( xf

13、, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix1()0,niiifx 12| max,nTxxx | |01lim()niiTifx ( ). 0baf x dx 性质4性质5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，性质5的推论：证明),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba( )( )0,bbaag x dxf x dx 即即于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）()ab （定积分不等式性质）)(ba 证明( )( )(,)f xf xf x ,)()()(dxxfdxxfdxxf

14、bababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.说明： 可积性是显然的.|)(xf|在在区区间间,ba上上的的性质5的推论： (绝对值不等式性质)()ab 解令,)(xexfx 2, 0 x ( )0,f x , 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是dxex 20.20dxx 设设M及及m分分别别是是函函数数证明,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质6解,sin31)(3xxf 0,x , 1sin03 x,

15、31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证明1( )baf x dxmbMa )()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质7（定积分中值定理）积分中值公式在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使( )(= )1( ),baf xxbfaCd dxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使得

16、以区间使得以区间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。 小 结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4典型问题（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小贰微积分基本公式5152 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任

17、意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，一、积分上限函数及其导数53abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 1、积分上限函数的性质、积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x54 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()

18、(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x55、变限积分求导公式、变限积分求导公式2)()()(xfdttfxa1)()()()()(xuxufdttfxua2)()()()()(xvxvfdttfbxv3)()()()()()()()(xvxvfxuxufdttfxuxv4）证明（证明（2)()()()(dttfdxddttfxuaxuadxxdudttfxdudxua)()()()()()(xuxuf56)(,sin)(xFdttxFx求求例例1532

19、1解：解：)()sin()(11232xxxF112232xxx)sin(2例例)(,)(sinarctanxFdttxFxx求求1522)(cossinsin)(210111212xxxxxF25112xx)(arctan57定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中

20、的定积分与原函数之间的联系间的联系.58定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证二、微积分基本公式59令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛

21、顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式60)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.616例例dxx10210331x317例例dxx3121131xarctan)arctan(arctan13)(43 12762例例8 8 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20

22、cossin2 xxx .23 例例9 9 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo1263例例11 11 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 12例例dxx201dxxdxx211011dxx101)(dxx211)(212102121121)()(xx16413例例dxx 01 sindxxx 0222)c

23、os(sindxxx 022cossindxxx2022 )sin(cosdxxx 222)cos(sin)(1246514例例dxxx 03sinsindxxx 021)sin(sindxxx2021cossin dxxxcossin 021dxxxxdxx)cos(sincossin 22021343232)(6615例例dxxxnn101limdxxdxxxnn10101001110 nnnndxxxlimlim解解：10 )(nnxnn011111010110dxxxnnlim673.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数

24、积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系叁定积分的换元法与分部积分法68一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 设函数设函数, ,)(baCxf单值函数单值函数)(tx满足满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)( ) t( ) t证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxF是的原

25、函数的原函数 ,因此有因此有则则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd( ) t( ) tF( ) tf( ) t( ) t则则说明说明: :1) 当当 , 即即区间换为区间换为，时,定理定理 1 仍成立仍成立 .2) 必需注意必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 , 即即) )(tx令xxfbad)(或配元或配元f( ) td ( ) t配元不换限配元不换限tfd( ) t( ) ttfxxfbadd)( ) t( ) ttfd( ) t( ) t. .解解 换元：换元： ， ； 换限

26、：换限： ， ， ， ，tsinx tdtdxcos0 x0t1x2ttdttdxxcossin11202102202costdt3.3.例题例题 dxx1021例例1 1 计算计算dtt202cos121 20202212cos21tdtdt2011sin2224tt 注注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换第一步是采用的换元（不定积分第二类换元法），元法），换元的同时必须换限换元的同时必须换限。在计算。在计算dtt202cos时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，所以没有换限所以没有换限. .41102dxx：由定积分的几何意义知，该积分值等由定

27、积分的几何意义知，该积分值等于由于由 ，直线，直线 所所围图形的面积（见右图）围图形的面积（见右图）. .21xy1, 0, 0 xxy41面积值为圆面积的面积值为圆面积的 .21 xy-11xyo例例2 2 计算计算 .dxxx204cos2sin解法解法1.1. dxxx204cos2sindxxx205cossin2换限：换限： ， 0 x1t2x0t，换元换元： ， xtcosxdxdtsin 原式原式 . dtt015206111263t 解法解法2.2. dxxx204cos2sindxxx205cossin2 5202coscosxdx 260112cos63x 由此可见，定积分

28、也可以象不定积分一由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量积分，而不必回代原积分变量例例4 4 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 342 arcsin( ln)eex .6 例例5.5. 计算计算.d12240 x

29、xx解解: 令令21,tx 则则,dd,212ttxtx,0时当 x,4时x3.t 原式原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 133221;t 且且 例例6.6., ,)(aaCxf设证证:(1) 若若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令奇函数奇函数例例7 7 计算计算解解.11cos21122

30、dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv (),bbaauv dxuv ,bbbaaauvu vdxuv dx .bbbaaaudvuvvdu 二、分部积分公式二、分部积分公式例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu , xv 210arcsin xdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 12201x. 12312 则则 解解 例例2 2 计算计算 . .exdxx1lneexdxxdx