机械能守恒定律的应用

1、内容内容: :几种表达式几种表达式: :EK2+EP2= EK1+EP1 EK= EP即即 E=0即即 EK+ EP=02222111122mvmghmvmgh即即知识回顾：机械能守恒定律知识回顾：机械能守恒定律在只有重力在只有重力(或弹簧弹力或弹簧弹力)做功的情况下做功的情况下, 物体的动能和重力势能物体的动能和重力势能(或弹性势能或弹性势能)发发生相互转化生相互转化, 但机械能的总量保持不变但机械能的总量保持不变.一、机械能守恒定律的守恒条件一、机械能守恒定律的守恒条件问题问题1.1.对机械能守恒条件的理解对机械能守恒条件的理解 只受重力或系统内弹力。（如忽略空只受重力或系统内弹力。（如忽

2、略空气阻力的抛体运动）气阻力的抛体运动） 还受其他力，但其他力不做功。（如还受其他力，但其他力不做功。（如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功）但支持力不做功） 有其他力做功，但做功的代数和为零。有其他力做功，但做功的代数和为零。2.2.判断机械能是否守恒的常用方法判断机械能是否守恒的常用方法 用做功来判断用做功来判断用能量角用能量角 度来判断度来判断a.直接看对象总机械能是否直接看对象总机械能是否变化变化b.看对象是否存在机械能与看对象是否存在机械能与其他形式能量转化或与其他其他形式能量转化或与其他对象机械能转移对象机械能转移例例2.把一

3、个小球用细绳悬挂起来把一个小球用细绳悬挂起来, 就成为一个摆就成为一个摆, 摆长为摆长为L, 最大偏角最大偏角 , 小球运动到最低位置时的小球运动到最低位置时的速度是多大速度是多大? (不计空气阻力不计空气阻力) LBAO二、应用机械能守恒定律解题的方法和步二、应用机械能守恒定律解题的方法和步骤骤明确研究对象明确研究对象( (物体或者系统物体或者系统) )明确研究对象的运动过程明确研究对象的运动过程, ,分析研究对象分析研究对象的受力情况以及各力做功的情况的受力情况以及各力做功的情况, ,判断机判断机械能是否守恒械能是否守恒恰当地选取参考平面恰当地选取参考平面( (零势能面零势能面),),并确

4、定并确定研究对象在过程中的始末机械能研究对象在过程中的始末机械能根据机械能守恒定律列出方程进行求解，根据机械能守恒定律列出方程进行求解，有时不够时再辅之以其它方程有时不够时再辅之以其它方程单体机械能守恒定律表达式：单体机械能守恒定律表达式：2211pkpkEEEE0PKEE或用增量式：从同一高度以相同的初速率向不同方向抛出质量相同的几个物体，不计空气阻力，则 A它们落地时的动能都相同B它们落地时重力的即时功率不一定相同C它们运动的过程中，重力的平均功率不一定相同D它们从抛出到落地的过程中，重力所做的功不相同A B C 例7.长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示.轻轻地

5、推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度为 .解：由机械能守恒定律，取小滑轮处为零势能面.22124212mvLmgLmggLv21gL/2v 例 10. 一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= _hABO解：第一次恰能抵达B点，不难看出v B1=0由机械能守恒定律mg h1 =mgR+1/2mvB12 h1 =R第二次从B点平抛 R=vB2t R=1/2gt 22/2gRvBmg h2 =mgR+1/2mvB22h2

6、 =5R/4h1 ：h2 = 4：5 4：5例例3. 以以10m/s的速度将质量为的速度将质量为m的物体竖直的物体竖直向上抛出向上抛出, 若空气阻力忽略若空气阻力忽略, g=10m/s2, 则则:(1)物体上升的最大高度是多少物体上升的最大高度是多少?(2)上升过程在何处重力势能和动能相等上升过程在何处重力势能和动能相等?(3)上升过程重力势能和动能相等时速率上升过程重力势能和动能相等时速率 多大多大?解：解：（1）设物体抛出时的速度为）设物体抛出时的速度为v0，物体上升的最大高度为，物体上升的最大高度为h,根据机械能守恒定律得：根据机械能守恒定律得： 1/2mv2=mgh 解得：解得：h=5

7、m(2)设当动能和重力势能相等的时候物体距地面高度为设当动能和重力势能相等的时候物体距地面高度为h1,根据机械能守恒定律得：根据机械能守恒定律得： mgh=2mg h1 解得：解得：h1=2.5m(3)设当动能和重力势能相等的时候物体的速度为设当动能和重力势能相等的时候物体的速度为v1，根据机械能守恒定律得：根据机械能守恒定律得： mgh= mv12 解得：解得：v1=52m/s拓展：木块拓展：木块A A和和B B用一只轻弹簧连接起来，用一只轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，放在光滑水平面上，A A紧靠墙壁，弹簧质量紧靠墙壁，弹簧质量不计。在不计。在B B上施加向左的水平力使弹簧压缩，上施加向

8、左的水平力使弹簧压缩，如图所示，当撤去外力后，下列说法中正如图所示，当撤去外力后，下列说法中正确的是（确的是（ ） A.AA.A离开墙壁前，离开墙壁前，A A的机械能守恒的机械能守恒B.AB.A离开墙壁前，离开墙壁前，A A、B B及弹簧这一系统的机及弹簧这一系统的机械能守恒械能守恒C.AC.A离开墙后，离开墙后，A A的机械能守恒的机械能守恒D.AD.A离开墙后，离开墙后，A A、B B及弹簧这一系统的机械及弹簧这一系统的机械能守恒能守恒ABF5ms三、机械能守恒定律的综合应用问题三、机械能守恒定律的综合应用问题（一）一个物体的运动问题（一）一个物体的运动问题2nmaxvFTmgmr所以所以

9、max()3/Fmg rvm sm212mghmv所以所以20.452mvhmmgSvt212Hgt所以所以23HSvmg例例3、在高为在高为h=1.2m的光滑平台上有一个质的光滑平台上有一个质量量m为为0.5kg的小球被一细绳拴在墙上，球的小球被一细绳拴在墙上，球与墙之间有一被压缩的轻弹簧，弹簧的弹与墙之间有一被压缩的轻弹簧，弹簧的弹性势能性势能Ep1=2J，当细线被烧断后，小球被，当细线被烧断后，小球被弹出，求：弹出，求：(1)小球被弹出后的速度小球被弹出后的速度v1多大？多大？(2)小球的落地速度小球的落地速度v2多大？（多大？（g=10m/s2） h解：解：小球被弹出的过小球被弹出的过

10、程机械能守恒程机械能守恒21112pEmv小球被弹出后的速度为：小球被弹出后的速度为：12 2/2.828/vm sm s之后，小球做平抛运动，机械能守恒之后，小球做平抛运动，机械能守恒22121122mvmghmv24 2/5.656/vm sm sAB300例例4、如图所示如图所示,用长为用长为L的细绳悬挂一质的细绳悬挂一质量为量为m的小球的小球,再把小球拉到再把小球拉到A点点,使悬线与使悬线与水平方向成水平方向成30夹角夹角,然后松手。问然后松手。问:小球小球运动到悬点正下方运动到悬点正下方B点时悬线对球的拉力点时悬线对球的拉力多大多大?解解:小球释放后小球释放后,首先在重力作首先在重力

11、作用下自由下落至用下自由下落至C点细绳再次点细绳再次伸直伸直,由几何关系可知由几何关系可知,此时细此时细绳与水平方向夹角为绳与水平方向夹角为30,小小球下落高度球下落高度h=L。ABC300VcVc1Vc2F0mgFgLVc20130cosccVV2202121)30cos1 (CBmVmVmgLLVmmgFB2根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得:212cmgLmv在在C点细绳突然张紧对小球施点细绳突然张紧对小球施以沿细绳的冲量以沿细绳的冲量,使小球沿细绳使小球沿细绳方向的分运动立即消失方向的分运动立即消失,其速度其速度由由Vc变为变为Vc1之后之后,小球沿圆弧运动至小球沿圆弧运动至B点

12、点,在此过程中在此过程中,只只有重力做功有重力做功,机械能守恒机械能守恒小球运动至小球运动至B点时点时,细绳的拉力与重力提供向细绳的拉力与重力提供向心力心力所以所以F=3.5mgABEFD例例5、质量为质量为m的小球由长为的小球由长为L的细线系住的细线系住,细线的另一端固定在细线的另一端固定在A点点,AB是过是过A的竖直的竖直线线,E为为AB上的一点上的一点,且且AE=L/2,过过E做水平做水平线线EF,在在EF上钉铁钉上钉铁钉D,如图所示如图所示.若线所能若线所能承受的最大拉力是承受的最大拉力是9mg,现将小球和悬线拉现将小球和悬线拉至水平至水平,然后由静止释放然后由静止释放,若小球能绕铁钉

13、在若小球能绕铁钉在竖直面内做圆周运动竖直面内做圆周运动,求铁钉位置在水平线求铁钉位置在水平线上的取值范围上的取值范围.不计线与铁钉不计线与铁钉碰撞时的能量损失碰撞时的能量损失.分析分析:首先需注意到题目中有两个约束条件首先需注意到题目中有两个约束条件,一个是细线承受的拉力最大不能超过一个是细线承受的拉力最大不能超过9mg,再就是必须通过最高点做竖直面上的完整再就是必须通过最高点做竖直面上的完整的圆周运动的圆周运动.这样铁钉在水平线上的取值范这样铁钉在水平线上的取值范围就由相应的两个临界状态决定围就由相应的两个临界状态决定.解解:设铁钉在位置设铁钉在位置D时时,球至最低点细线所球至最低点细线所承

14、受的拉力刚好为承受的拉力刚好为9mg,并设并设DE=X1,由几由几何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径221)2(LxLADLr2121)2(mVrLmgrVmmgmgmg2189解以上各式得解以上各式得:Lx321球由球由C点至点至D点正下方的过程中点正下方的过程中,遵守机械遵守机械能守恒定律能守恒定律,有有球至球至D点正下方时点正下方时,由细线拉力和球的重力由细线拉力和球的重力的合力提供向心力的合力提供向心力.根据向心力公式得根据向心力公式得:再设铁钉在再设铁钉在D点时点时,小球刚好能够绕铁钉通小球刚好能够绕铁钉通过最高点做完整的圆周运动过最高点做完整的

15、圆周运动,并设并设DE=X2,由几何关系可求得球的运动半径为由几何关系可求得球的运动半径为222)2(LxLr2221)2(mVrLmg22rVmmg 解以上各式得解以上各式得:Lx672铁钉在水平线铁钉在水平线EF上的位置范围是上的位置范围是:LxL3267球由球由C至圆周最高点过程中至圆周最高点过程中,遵守机械能守恒遵守机械能守恒定律定律,有有:球至圆周最高时球至圆周最高时,其向心力由球的重力提供其向心力由球的重力提供,根据向心力公式得根据向心力公式得:（三）（三） “流体流体”问题问题例例7、如图所示如图所示,一粗细均匀的一粗细均匀的U形管内装有形管内装有同种液体竖直放置同种液体竖直放置

16、,右管口用盖板右管口用盖板A密闭一密闭一部分气体部分气体,左管口开口左管口开口,两液面高度差为两液面高度差为h,U形管中液柱总长为形管中液柱总长为4h,现拿去盖板现拿去盖板,液柱开始液柱开始流动流动.当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度大小为的速度大小为 .Ah解解:应用应用“割补割补”法：法：液面相齐时等效于把右侧中液面相齐时等效于把右侧中h/2的液柱移到左侧管中的液柱移到左侧管中,其减少的其减少的重力势能转变为整个液柱的动能重力势能转变为整个液柱的动能.根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得:2212MVhmg设液体密度为设液体密度为有有:2hmS4Mh

17、S8ghV 所以所以:（四）系统机械能守恒的问题（四）系统机械能守恒的问题处理这类问题时处理这类问题时, ,一是要注意应用系统机械一是要注意应用系统机械能是否守恒的判断方法能是否守恒的判断方法; ;再是要灵活选取机再是要灵活选取机械能守恒的表达式械能守恒的表达式. .常用的是常用的是: :KPBAEEEE或例例8、如图所示如图所示,两小球两小球mA、mB通过绳绕过固定的半径通过绳绕过固定的半径为为R的光滑圆柱的光滑圆柱,现将现将A球由球由静止释放静止释放,若若A球能到达圆柱球能到达圆柱体的最高点体的最高点,求此时的速度求此时的速度大小大小(mB=2mA).解解:B球下落得高度为球下落得高度为2

18、4RRA球上升得高度为球上升得高度为2R由由AB根据能量转化守恒定律根据能量转化守恒定律EK = -EP得得221()2()42BAABRm g Rm gRmmv23gRV所以所以例例9、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、断了，发现甲球恰能做平抛

19、运动，求甲、乙两球的质量关系。乙两球的质量关系。m1m2分析：分析：与上题相似，只是甲乙与上题相似，只是甲乙的末速度为的末速度为 ，所以，所以vgR2212121()2()42Rm g Rm gRmm v12:(1):5mm例9、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v= 。vO解：系统的机械能守恒，EP +EK=0因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，lmglmgvmmv22212122glglv8 . 4524gl8 . 4如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角如图所示，一固定的楔形

20、木块，其斜面的倾角=30o，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A、B连接，连接，A的质量为的质量为4m，B质量为质量为m，开始时将，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下沿斜面下滑而滑而B上升。物块上升。物块A与斜面间无摩擦。设当与斜面间无摩擦。设当A沿沿斜面下滑距离斜面下滑距离s后，细绳突然断了，求物块后，细绳突然断了，求物块B上上升的最大距离升的最大距离H（思考题）如图所示，物体A、B用绳子连接穿过定滑轮，已知mA=2mB, 绳子的质量不

21、计，忽略一切摩擦，此时物体A、B距地面高度均为H，释放A，求当物体A刚到达地面时的速度多大？（设物体B到滑轮的距离大于H）例与练如图所示，如图所示，A、B两球质量分别为两球质量分别为4m和和5m,其间其间用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上(半圆柱半圆柱体的半径为体的半径为R)两球从水平直径的两端由静止两球从水平直径的两端由静止释放已知重力加速度为释放已知重力加速度为g，圆周率用，圆周率用 表示。表示。当球当球A到达最高点到达最高点C时，求：时，求： (1)球球A的速度大小的速度大小 (2)球球A对圆柱体的压力对圆柱体的压力 【例【例7】将质量为将质量为M和和3

22、M的两小球的两小球A和和B分别拴在一根分别拴在一根细绳的两端，绳长为细绳的两端，绳长为L，开始时，开始时B球静置于光滑的水平球静置于光滑的水平桌面上，桌面上，A球刚好跨过桌边且线已张紧，如图所球刚好跨过桌边且线已张紧，如图所示当示当A球下落时拉着球下落时拉着B球沿桌面滑动，桌面的高为球沿桌面滑动，桌面的高为h，且且hL若若A球着地后停止不动，求：（球着地后停止不动，求：（1）B球刚滑球刚滑出桌面时的速度大小（出桌面时的速度大小（2）B球和球和A球着地点之间的球着地点之间的距离距离机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用 【例【例4 4】一条长为一条长为L L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，的均

23、匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂于桌边，如图所示链条的一半垂于桌边，如图所示现由静止开始使链现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大? ?【解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支【解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链条做功，故链条下滑过程中机械能守恒条做功，故链条下滑过程中机械能守恒 设链条总质量为，由于链条均匀，因此对链条所研设链条总质量为，由于链条均匀，因此对链条所研究部分可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零究部分

24、可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零势能面，则初、末状态的机械能分别为：势能面，则初、末状态的机械能分别为：初态：初态：010,24kopLEEmg 末态：末态：21,22kttptLEmvEmg 2112422tLLomgLmvmg132tvgL KPEE 201(4)4sin302mm vmg smgs 202()vg hHSh1.2Hs解：解：取取A、B及地球为系统：及地球为系统：对对B B：且且所以所以例例11、如图所示，长为如图所示，长为2L的轻杆的轻杆OB，O端端装有转轴，装有转轴，B端固定一个质量为端固定一个质量为m的小球的小球B，OB中点中点A固定一个质量为固定一个质量为m

25、的小球的小球A，若，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求置的过程中，求A、B球摆到最低点的速度球摆到最低点的速度大小各是多少。大小各是多少。解：解：选选A A、B B及地球为一系统，及地球为一系统，此系统中只有动能和重力势能此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，发生转化，系统机械能守恒，有：有：2211222ABmvmvmglmg lABvv2又又所以所以1.2,4.8ABvgl vgl例例12、如图所示如图所示,半径为半径为r,质量不计的圆盘质量不计的圆盘与地面垂直与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑圆心处有一个垂直盘面的光

26、滑水平固定轴水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质在盘的最右边缘固定一个质量为量为m的小球的小球A,在在O点的正下方离点的正下方离O点点r/2处处固定一个质量也为固定一个质量也为m的小球的小球B.放开盘让其放开盘让其自由转动自由转动,求：求：（1）A球转到最低点时的线速度是多少？球转到最低点时的线速度是多少？（2）在转动过程中半径）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角向左偏离竖直方向的最大角度是多少？度是多少？AB解：解：(1)该系统在自由转动过程中该系统在自由转动过程中,只有重力只有重力做功做功,机械能守恒机械能守恒.设设A球转到最低点时的线球转到最低点时的线速度为速度为VA,B球的

27、速度为球的速度为VB,则据则据机械能守恒定律可得机械能守恒定律可得:AB2211222ABmgrmgrmvmv据圆周运动的知识可知据圆周运动的知识可知:VA=2VB25Agrv 所以所以AB(1 sin )cos02rmgrmg3arcsin5所以所以(2)设在转动过程中半径设在转动过程中半径OA向左向左偏离竖直方向的最大角度是偏离竖直方向的最大角度是(如所示如所示),则据机械能守恒定律则据机械能守恒定律可得可得:例例13、如图所示如图所示,将楔木块放在光滑水平面将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定上靠墙边处并用手固定,然后在木块和墙面然后在木块和墙面之间放入一个小球之间放入一个小球,球

28、的下缘离地面高度为球的下缘离地面高度为H,木块的倾角为木块的倾角为,球和木块质量相等球和木块质量相等,一切一切接触面均光滑接触面均光滑,放手让小球和木块同时由静放手让小球和木块同时由静止开始运动止开始运动,求球着地时球和木块的速度求球着地时球和木块的速度. V1V2解：解：因为球下落的垂直于斜面因为球下落的垂直于斜面的分速度与斜面该方向的分速的分速度与斜面该方向的分速度相等，即度相等，即1cosvv2sinvv12tanvv由机械能守恒定律可得由机械能守恒定律可得22121122mgHmvmv联立方程可得联立方程可得12sinvgH22cosvgH例例14、如图所示如图所示,光滑的半圆曲面光滑的半圆曲面AB,其半其半径为径为R,在在B端有一光滑小滑轮端有一光滑小滑轮,通过