第三章利率和期限结构理论证券投资学北大,杨云红

1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*第三章 利率和期限结构理论利率理论的重要性名义利率和实际利率几种常用利率的定义利率的确定期限结构理论1. 研究利率理论的重要性从宏观层面：作为调节经济重要工具货币政策：刺激或者抑制投资，刺激或者抑制经济增长例子：人民银行2002年2月21日降息，2004年10月28日宣布升息从微观层面投资者关注所投资的证券的风险和期望收益，无风险利率作为评价投资机会的基准(Benchmark for investment)。无风险利率作为投资的比较标准：投资决策的第一原则(the first principle of investmen

2、t)固定收益证券的定价和风险管理，利率衍生产品的定价例子：债券定价、利率期货定价风险证券定价中折现因子的时间酬金部分Interest rates and forecasts of their future values are among the most important inputs into an investment decision.例子：1000元存款，浮动利率与固定利率定期存款例子：预测债券将来的价格2. 名义利率和实际利率利率通常又称为货币的时间价值名义利率(nominal interest rate)货币的增长率实际利率(real interest rate)购买力的增长率

3、例如，假设在某一年，名义利率是7%，消费价格指标从121增加为124。这意味着，在基准年值100元的商品和服务簇，在这一年初的价格为121元，而到了这一年年末，价格为124元。这个商品和服务簇的所有者能够在年初以价格121元卖掉它，并以7%的利率投资，在年末，得到129.47(=1211.07)元，用这129.47元马上可以买1.0441(=129.47/124)个商品和服务簇。所以，实际利率为4.41%(=1.0441-1)。消费价格指标(consumer price index) （或者生活成本指标） =年初的消费价格指标 =年末的消费价格指标NIR=名义利率RIR=实际利率这里CCL表示

4、通货膨胀率当投资者对将来财富的购买力感兴趣时，在进行投资选择时，名义利率和实际利率的区分至关重要例子：1000面值零息债券，20年到期，名义利率为12%，购买价格为103.7元两种计算利率的方式：简单利率计算(simple interest)和复利的计算(compound interest)。例子：semiannual rate=3.86%简单利率计算Bond Equivalent Yield 7.72% = 3.86% x 2(Annual Percentage Rate (APR)在简单利率计算的规则下，总值随时间的增加而线性增加。复利的计算Effective Annual Yield(1

5、.0386)2 - 1 = 7.88%在复利计算的规则下，总值随时间的增加而以指数增加。例子：Effective annual rates for APR of 6%连续复利计算(continuous compounding)（以年利率表示）3. 未来利率的确定Forecasting interest rate is one of the most notoriously difficult parts of applied macroeconomics.尽管存在许多种利率（和证券的种类一样多），经济学家所说的利率是一种有代表性的利率，我们利用这种抽象的概念来说明市场如何确定未来的均衡利率。3

6、.1 实利率的确定三个基本因素确定实利率水平储户的供给商业的需求政府行为财政政策货币政策实利率的确定Interest rate Supplyequilibriumreal rate of interest Demand Equilibrium funds lent Funds尽管决定实利率的基本因素是个人的储蓄倾向和投资的预期生产力，政府的货币政策和财政政策也影响实利率。实际利率的唯一性3.2 名义利率的确定Fisher equationOne reason it is difficult to determine the empirical validity of the Fisher hy

7、pothesis that changes in normal rates predict changes in future inflation rates is that the real rate also changes unpredictably over time.Longer rates incorporate forecasts for long-term inflation. Interest rates on bonds of different maturity may diverge. The prices of longer-term bonds are more v

8、olatile than those of short-term bonds. This implies that expected returns on longer-term bonds may include a risk premium, so that the expected real rate offered by bonds of varying maturity also may vary. 假设：尽管有通货膨胀风险，在本章以下的内容里假设通货膨胀率是可以准确预测的。这个假设使得我们可以仅仅关注时间对债券价值的影响。到期收益率现货利率远期利率4. 几种利率的定义及性质4.1

9、到期收益率债券的到期收益率(yield to maturity)指的是，由银行支付给投资者的、使得投资者在将来能够获得该债券承诺的所有支付的唯一利率（在某个特定的时间区间以此利率计算复利）。我们也可以这样定义：如果用其作为折现率，所有现金支付（包括利息和本金）的现值正好等于其价格。到期收益率描述的是整个到期日之前的利率The yield to maturity can be interpreted as the compound rate of return over the life of the bond under the assumption that all bond coupons

10、 can be reinvested at an interest rate equal to the bonds yield to maturity. 假设债券的面值为 ，每年支付m次利息，每次支付的利息为 ，债券的价格为 P，则到期收益率是使得下式成立的 的值上式中的第一项是面值的现值，第k项是第k次利息的现值。以名义利率 为基础，所有支付的现值和为债券的价格。如果按这种定义方式，到期收益率类似于投资决策里的内部收益率(internal rate of return)。每一种债券的到期收益是由债券自己的结构决定的，具有独有的特性。因为利息一般每年支付两次，所以通常以半年为单位计算复利来计算

11、债券的到期收益率。三种国库券分别称为A、B、C。债券A一年到期，在到期日，投资者获得1000元。同样地，债券B两年到期，在到期日，投资者获得1000元。债券C是带息债券(coupon bond)，从现在开始，这种债券每年支付50元的利息，两年到期，在到期日，支付给投资者1050元。市场上三种债券的价格分别为：债券A（一年到期的纯折现债券）：934.58元债券B（两年到期的纯折现债券）：857.34元债券C（两年到期的带息债券）：946.93元。债券A：到期收益率是满足下面方程(2.3)的 的值债券B：到期收益率是满足下面方程(2.4)的 的值债券C：到期收益率是满足下面方程(2.5)的 的值我

12、们在上面是用计算利息的方式来定义到期收益率。由于折现值和利息是在时间上相对的两个概念，所以我们下面利用计算折现值的方式来定义到期收益率。对债券A而言，方程(2.3)等价于对债券B而言，方程(2.4) 等价于对债券C而言，方程(2.5)等价于到期收益率与债券价格之间的关系价格500400300200100 0 5 10 15 到期收益率15%10%5%0%在图1中，价格表示为面值的百分比；价格作为纵轴，到期收益率作为横轴，价格是到期收益的函数；所有债券的期限为30年；每条曲线上的数字表示息率。从图1可以看出的第一个明显的特征是它具有负的斜率，即价格与到期收益之间有相反的变化关系。如果到期收益率上

13、升，价格就会下降。原因在于，对于固定的收入流，要使得投资者的到期收益率较高，投资者愿意支付的价格就越低。价格收益曲线的第二个特征是，当到期收益率为0时，即没有利率时，债券的价格正好等于它的所有支付的和。比如利息率为10%的曲线，每年为10点，一共30年，得到300点，再加上100%的面值，得到的价格为400点。第三个特征是当到期收益率和利息率相等时，债券的价格正好等于其面值。例如利息率为10%的曲线，当到期收益率为10%时，其中的价格正好等于100点。这两者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于10%的收益，从而每年的价格保持不变，均为100点。这相当于一种贷款，本金的利息每年支付，使得本金保

14、持不变。第四个特征是，当到期收益率越来越大时，债券的价格趋于零。 价格400300200100 10 到期收益率30年10年3年在图2中，价格仍然为纵轴，到期收益率仍为横轴，三种债券的息率均为10%，但三种债券的期限分别为30年、10年、3年。当到期收益为10%时，由上面的分析，我们知道它们的价格均等于其面值，所以它们通过共同的一点。但是，当到期收益偏离10%时，各自价格变化的程度却不一样。可以看到，当期限增加时，收益曲线越来越陡。这说明，期限越长的债券，其价格对收益率的敏感度就越大。 对投资者而言，价格收益率曲线是非常重要的。因为它描述了债券所具有的利率风险：如果到期收益变化，债券价格也将变

15、化。这是一种即时风险，只影响债券的近期价格。当然，如果债券持有者继续持有这种债券，直到到期日，在到期日，他得到本金和利息，这个现金流不会受到到期收益的影响，从而没有什么风险。但是，如果债券持有者提前卖掉债券，就会有风险。到期收益率和持有期收益率到期收益是对债券整个有效期内平均回报率的一个描述持有期收益率是对任何时间期间收入占该时间区间期初价格的百分比的一个描述例子：30年到期，年利息为80元，现价为1000元，到期收益为8%，一年后，债券价格涨为1050元，到期收益将低于8%，而持有期收益率高于8%例子：010年1年1000元1050元1000元到期收益率是否是选择投资的好标准？Suppose

16、 that you are given two bonds to choose from and you may invest in only one of them. Should you always chose the one that has the higher yield to maturity?Example:Consider two bonds with the same maturity of fifteen years. Coupons are paid annually. Information about the bonds:Should you choose bond

17、 2?BondAnnual CouponPrincipalPriceYTM1$200$1000$154512%2$50$4856$1545 10%Suppose that the future course of one period interest rates is certain and is given by:t123456789101112131415Spot rate(%)251084234567891011Follow the reinvestment strategy:Reinvest the coupons at the one period spot rates and c

18、ontinue rolling over these coupons and the accumulated interest on them at the one period spot interest rate.The value at the end of the fifteenth year for these two bonds are:WHAT HAPPENED?BondFuture value16049.3026127.33Lessons:Yield to maturity is not a valid measure of “yield” for coupon bonds s

19、ince it does not take into account future reinvestment opportunities.The calculation of yield to maturity for coupon bonds assumes that the coupons will be reinvested at the yield to maturity.Since zero coupon bonds do not have coupons to reinvest, their YTMs are valid measures of their attractivene

20、ss as investments.Note: This same problem occurs if you use the IRR rule in choosing investment projects.这个例子说明当重投资利率发生变化时，利用到期收益率做比较时存在的问题。但是，当未来的利率不确定时，到期收益率就是很好的选择标准。即期利率(spot rate)是零息债券的到期收益率。它是定义利率期限结构的基本利率。4.2即期利率债券A、B市场的价格分别为：债券A（一年到期的纯折现债券）：934.58元债券B（两年到期的纯折现债券）：857.34元债券A：即期利率是满足下面方程的 的值债券

21、B：即期利率是满足下面方程的 的值债券C是带息债券(coupon bond)，从现在开始，这种债券每年支付50元的利息，两年到期，在到期日，支付给投资者1050元。市场上三种债券的价格分别为：债券C（两年到期的带息债券）：946.93元。即期利率是针对具体时间的回报率（折现率），对所有的债券都成立。如果我们存一笔钱在银行，一直到时间 t以前，银行不支付利息，而在时刻t ，利息和本金一次性支付。这个投资过程所获得的利率即为即期利率。一般来说，如果以年为计算单位，从现在(t=0)到时间t ，投资者所持有的货币的利率即为0到t的即期利率，我们以 表示。因此， 表示一年的即期利率，即，持有货币一年的利

22、率。同样， 表示持有货币两年的利率，但它是以年为单位来表示的。这意味着，如果你存一笔钱A在银行，银行以利率 计算复利，两年后，连本带息你可以得到 每年一期：如果每年只计算一次，则 t 年的利率为：每年期：如果每年分为 m 期，则 t 年的利率为：连续复利：如果连续计算复利，则 t 年 的利率为：确定即期利率曲线的方法。确定即期利率曲线最明显的方式是通过不同到期日的零息债券的价格来决定。但是，由于能够得到的零息债券的种类太少（事实上，没有真正严格意义上的长期限的零息债券），所以，这种方法并不切实可行。第二种方式是通过附息债券的价格来决定即期利率曲线。这种方式从短期限的附息债券开始，逐步向长期限的

23、附息债券递推。首先， 可以通过直接观察1年的利率来确定。接着，考虑两年到期的债券。假设这种债券的价格为 P，每年支付的利息为C ，面值为 F，则 P、 F 和 C之间满足如下关系：通过这个式子可以得到 。利用这种方法，依次可以求出 。第三种方法，我们也可以通过利用不同的附息债券构造零息债券来确定即期利率。例：零息收益曲线的确定如何从带息债券的价格得到零息收益曲线假设 是连续复利的利率， 是每年复利 次的等价的利率（均以年利率表示），则由第一种证券，得到3个月连续复利利率（以年利率表示）由第二种证券，得到6个月连续复利利率（以年利率表示）1年的利率为假设1.5年的即期利率为 ，则从而这仅仅只是与

24、6个月、1年的即期利率一致的现货利率类似地，2年的即期利率为连续复利的即期利率Zero curve作业：计算即期利率的期限结构数据来源：巨潮网，2004.9.20债券代码到期日息率(%)收盘价0006962006.6.1411.83114.770097042007.9.59.78116.60099082009.9.233.393.990100042010.5.232.8795.120101102011.9.252.9588.420102032012.4.172.5485.11折现因子已知各个时间的即期利率，就可以给任何债券定价，这时，即期利率就是折现因子例子假定有一种国债，面值为1000元，息

25、率为5%，期限为3年，那么该国债的现金流量为这种债券相当于3个零息债券的组合，其一面值为50元，期限为1年；其二面值为50元，期限为2年；其三面值为1050元，期限为3年。因此，本例中国债的价值一定等于这三个零息债券价值之和。因此，只要能够计算出每种零息债券的价值，将这三个零息债券的价值加起来，就可以得到该国债的价格50 50 50+1000折现因子表示在某一特定时期后的1元价值，相当于零时点的价值。设 为折现因子，那么就表示在T期末支付1元钱的零息债券的现在价格。例子：折现因子通过折现因子，可以计算任何期限的，任何息率的固定收益证券的价格 例子假定有一种国债，面值为1000元，息率为5%，期

26、限为3年，那么该国债的价格为远期利率(forward rate)是现在确定的在将来两个时间之间的货币的利率。4.3 远期利率考虑从现在开始到两年之后的这段时间。假设现货利率 ， 已经知道。如果我们在银行把一块钱存两年，两年后，这块钱将变成我们也可以分两步进行投资，先将这一块钱存一年，同时决定将一年后得到的本息再存一年，从第一年末到第二年末之间的利率现在就规定好，设为 。两年后，这块钱将变成 元。由无套利原理，这两种投资方法的回报应该相等，即例：远期利率的计算假设采用连续复利的计算方式第2年的远期利率由1年和2年的即期利率决定例：远期利率的计算一般的，设 是 年的即期利率（以年利率表示），设 是

27、 年的即期利率（以年利率表示）， 则 和 之间的远期利率 为远期收益率与到期日之间的关系当 时，有4.4 远期利率与将来即期利率之间的关系确定性市场：投资者确定地知道将来每一年的利率值。例子：预期未来几年中每年的利率Pricing of Bonds using Expected RatesPVn = Present Value of $1 in n periodsr1 = One-year rate for period 1r2 = One-year rate for period 2rn = One-year rate for period n面值为1000的零息债券的价格和即期利率期限结构

28、即期利率 到期日即期利率与将来每一年的利率 1 2 3 4即期利率与将来每一年的利率fn = one-year forward rate for period nyn = yield to maturity for a security with a maturity of nForward Rates from Observed Long-Term Rates例子中的远期利率4 yr = 9.9933yr = 9.660fn = ?(1.0993)4 = (1.0966)3 (1+fn)(1.46373) / (1.31870) = (1+fn)fn = .10998 or 11%Note:

29、 this is expected rate that was used in the prior example.在确定性市场中，将来的即期利率与远期利率相等.单调上升的期限结构表明将来的即期利率比现在的即期利率高在第一年的持有期收益率如果在第一年分别持有面值为1000、到期日为1、2、3年的债券，则在第一年的持有期收益率分别为在确定性市场中，不管采用什么投资策略，只要投资的期限相等，所得到的收益就相等。远期利率与将来现货利率之间的关系不确定性市场：投资者不知道将来的即期利率，仅仅知道债券的价格和到期收益率。假如投资者仅仅知道到期收益如下表所示，投资者关心第三年的即期利率考虑下面两个投资策略

30、投资在三年的零息债券先投资在两年的零息债券，两年后再重投资在一年债券两年后第三年仅仅可以知道第三年的远期利率，而第三年的远期利率不一定就等于第三年的即期利率，甚至也不等于第三年的期望即期利率。只有当而第三年的远期利率等于第三年的即期利率时，采用一次性到期策略和滚动策略所得到的收益才相等。远期利率是否等于期望将来即期利率依赖于投资者愿意承担利率风险的程度，以及愿意投资在与投资时间不相匹配的债券上的程度。短期投资者长期投资者5. 利率期限结构描述把利率表示为到期日的函数，用以体现不同到期日利率的方式称为利率的期限结构Upward SlopingMaturityFlatMaturityDownwar

31、dMaturity通过分析期限结构得到什么信息There does appear to be some evidence that the term structure conveys information about expected future spot rates .Examining the term structure of interest rates is important for determining the current set of spot rates, which can be used as a basis for valuing any fixed-inc

32、ome security.Such an examination is also important because it provides some information about what the marketplace expects regarding the level of future interest rates. 6. 期限结构理论无偏期望理论易变性偏好理论市场分割理论习惯偏好理论无偏期望理论(the unbiased expectations theory)又称纯期望理论。该理论认为，远期利率反映了广大投资者对将来现货利率的某种预期；随着期限的增加而增加的现货利率，说明

33、了大部分投资者预期将来的现货利率将上涨。相反，随着时间的增加而递减的现货利率，说明了大部分投资者预期将来的现货利率将下跌。上涨的收益曲线例：一年的现货利率为7%，两年的现货利率为8%，为什么这两个现货利率不同？等价地，为什么收益曲线是上涨的？现在投资1块钱，有两种投资策略一次性到期策略6.1 无偏期望理论滚动投资策略：先投资一年，得到再投资一年，预期即期利率 为1）10%：市场不均衡，所以10%不能代表大众的预期2）6%：同样，市场不均衡，6%也不能代表大众的预期3）9.01% 无偏期望理论认为，要使得 代表大众的预期，即市场是均衡的，必须有（1）由远期利率的定义有：所以，无偏期望理论认为远期利率代表了将来即期利率的预期值。（2）大众预期一年期现货利率将上涨是期限结构上扬的原因；而大众预期一年期即期利率将下降是期限结构下降的原因。为什么大众预期即期利率将变化？6.2 易变性偏好理论易变性偏好理论(the liquidi