材料力学第09章压杆稳定

1、9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷其他支座条件下细长压杆的临界载荷9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式欧拉公式的适用范围与经验公式9.5 压杆稳定条件与合理设计压杆稳定条件与合理设计9.6 工程案例工程案例第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2/809.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念3/80 根据轴向拉伸与压缩理论，当受拉杆件横截面上的正应力达到屈服极限或强度极限时，将引起塑性变形或断裂。 长度较小的粗短杆受压时也有类似的现象，例如受压低碳钢短柱在正应力达到屈服极限时，材料失效，短柱越压越扁；铸铁

2、短柱受压时将被压碎。这些都是由于强度不足引起的失效强度不足引起的失效。4/80取一根长为300mm的钢板尺，其横截面尺寸为 20mm1mm。若钢的许用应力为s =196MPa。 按照强度条件计算计算钢尺所能承受的轴向压力： kN 92. 3Pa 10196m 10120626F实际情况实际情况 若将此钢尺竖立在桌上，用手压其上端，则当压力不到不到40 N时，钢尺就被明显压弯。5/806/807/80稳定平衡和不稳定平衡的概念 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。8/80压杆失稳与临界压力临界状态临界状态临界压力临界压力: : Fcr过过 度度对应的对应的压力压力 压杆丧失

3、直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳丧失稳定定，简称 失稳失稳，也称为屈曲屈曲。 当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时，临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。9/80压杆失稳的特点 压杆失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，从而使杆件丧失承载能力。因失稳造成的失效，可能导致整个结构或机器的破坏。细长压杆失稳时，应力并不一定很高，有时甚应力并不一定很高，有时甚至低于比例极限至低于比例极限。可见这种形式的失效，并非强度不足，而是稳并非强度不足，而是稳定性不够定性不够。10/80其他构件的稳定

4、失效问题11/809.2两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷12/80设细长理想压杆两端为球铰支座，如图所示。设距原点为 x 的任意截面 n-n 的挠度为w ，则弯矩wFxMcr)(挠曲线的近似微分方程wEIFxwcr22dd式中 I 为压杆横截面的最小惯性矩令EIFkcr2微分方程改写为0dd222wkxw13/80微分方程0dd222wkxw二阶常系数线性微分方程的通解kxBkxAwcossin式中A，B为积分常数，由边界条件边界条件确定00wx0B14/80边界条件边界条件0wlx0sinklAA 不为 0 若A=0，表明杆为直线，这与压杆处于微弯平衡状态不符。所以0si

5、nkl), 2 , 1 , 0(nnkllnk15/80lnk 因为n是0，1，2，等整数中的任一个数，故理论上是多值的，即使杆件保持为曲线平衡的压力也是多值的。只有取n = 1，才使压力为最小值。在这些压力中，使杆件保持微小弯曲的最小压力才是临界压力Fcr 16/80EIFkcr2lnk1n求得22crlEIF 两端铰支细长压杆临界力两端铰支细长压杆临界力Fcr的计算公式，也称为欧拉公式欧拉公式17/80【例例9-1】 两端球铰铰支压杆，长 l = 1.2 m，材料为Q235钢，弹性模量 E = 206GPa。已知横截面的面积 A =900mm2，形状为正方形，求杆的临界力。(压杆满足欧拉公

6、式计算条件*）解解设该杆横截面边长为a,则惯性矩123aaI121224Aa484122m1075. 612m10900该杆的临界压力22crlEIF 224892m2 . 1m1075. 6Pa10206kN 2 .9518/809.3其他支座条件下细长压杆其他支座条件下细长压杆的临界载荷的临界载荷19/80 不同的杆端约束，压杆受到的约束程度不同，杆的抗弯能力也就不同，所以临界力的表达式也不同两端固定的压杆的临界压力为两端固定的压杆的临界压力为:22cr)5 . 0(lEIF 一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:22cr)7 . 0(lEIF 两端铰支

7、的压杆的临界压力为两端铰支的压杆的临界压力为:一端固定，一端自由的压杆的临界压力一端固定，一端自由的压杆的临界压力:2cr2 EIFl2cr2(2 )EIFl20/80综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:上式即为欧拉公式的一般形式欧拉公式的一般形式。ml为相当长度相当长度， m为长度因数长度因数， m与压杆两端的支承情况有关。两端铰支 m 1一端固定一端自由 m 2两端固定 m 0.5一端固定一端铰支 m 0.72cr2()EIFlm21/80典型理想约束条件下细长等截面中心受压直杆临界力的欧拉公式C D 挠曲线拐点22cr)5 . 0(lEIF 22cr)7 . 0(lEIF 2cr2

8、 EIFl2cr2(2 )EIFl22/80 实际问题中压杆的约束还可能有其他情况，可用不同的长度因数 m 来反映，这些长度因数的值可从相关设计手册或规范中查这些长度因数的值可从相关设计手册或规范中查到到。 应当注意，细长压杆临界力的欧拉公式中，I 是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩。 若杆端在各个方向的约束情况都相同(如球形铰等)，则则 I 应取应取最小的形心主惯性矩最小的形心主惯性矩。 若杆端在不同方向的约束情况不同(如柱形铰)，则则 I 应按计应按计算的挠曲方向选取横截面对其相应中性轴的惯性矩算的挠曲方向选取横截面对其相应中性轴的惯性矩。23/80【例例9-2】 推导下端固定，上端自由，

9、并在自由端受轴向压力作用的等直细长压杆临界力Fcr的欧拉公式。解解由临界力所引起杆的任意横截面x上的弯矩)()(crwFxM挠曲线微分方程EIwFxw)(ddcr22令EIFkcr2挠曲线微分方程改写为2222ddkwkxw该微分方程的通解kxBkxAwcossin式中积分常数A,B 由边界条件确定24/80kxBkxAwcossin式中积分常数A,B 由边界条件确定00wxB00wx)0(0kAwlxxkwcos1l kcos1由此0cosl k满足上述条件的最小的根2l kEIFkcr2得到临界力Fcr的欧拉公式2cr2(2 )EIFl25/80 在已经导出两端铰支压杆的临界压力公式之后，

10、可以用比较简单的方法，得到其他约束条件下的临界力。 一端固定，一端自由，长为l 的的压杆的挠曲线和两端铰支，长为2l的压杆的挠曲线的上半部分相同。则临界压力: 同样用比较变形的办法(与两端铰支细长压杆比较)，可求出其他约束情况下压杆的临界力Fcr的欧拉公式。2cr2(2 )EIFl26/809.4 欧拉公式的适用范围与经验公式欧拉公式的适用范围与经验公式27/809.4.1 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围临界应力临界应力 由惯性半径公式：则有引入 l 是一个量纲为1的量，称为柔度柔度或长细比长细比l 集中集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素反映了压杆的长度、约束条件、截面

11、尺寸和形状等因素对临界应力对临界应力scr的影响的影响 临界应力公式改写为: 2crcr2()FEIAlAsm/iIA2Ii A2cr2()Elismliml2cr2 Esl28/809.4.1 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围欧拉公式是由弯曲小变形的微分方程导出EIxMxw)(dd22材料服从胡克定律又是上述微分方程的基础，即pcrss欧拉公式才正确则p2slEp22crslsE取欧拉公式的适用范围通常称满足 的压杆为大柔度压杆大柔度压杆或细长压杆细长压杆pll2pp Elspll29/809.4.1 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 lp的值与材料的性质有关，材料不同， lp 的值

12、也就不同。Q235E = 206 GPa sp = 200 MPa100Pa 10200Pa 10206692p2pslE 则用Q235钢制成的压杆只有当lp 100 时，才能使用欧拉公式计算其临界力或临界应力。30/809.4.2 经验公式经验公式 压杆的柔度小于 lp 时，临界应力scr 大于材料的比例极限 sp ，这时欧拉公式已不能使用，属于超比例极限的压杆稳定问题。 工程中对这类压杆的计算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。两种常用的经验公式：直线公式和抛物线公式。31/809.4.2 经验公式经验公式1 直线公式直线公式 a，b 与材料力学性能有关的常数材料 a /MPa b /M

13、PaQ235钢(ss=235, sb 372)3041.12优质碳钢(ss=306, sb471)4612.57 其他材料的参数参见教材crabsl32/809.4.2 经验公式经验公式1 直线公式直线公式 对塑性材料，按直线公式算出的应力最高只能等于ss，否则材料已经屈服，成了强度问题，即要求scrslsbabassl 令 柔度满足ls l lp 的压杆，称为中柔度杆中柔度杆或中长压杆中长压杆。也就是说，中长压杆不能用欧拉公式计算临界应力，但可以用直线公式计算。对于脆性材料只需把以上各式中的ss改为sb， ls改为lb。 crabslssabslls 为使用直线公式的最小柔度sll33/80

14、9.4.2 经验公式经验公式2 抛物线公式抛物线公式 我国钢结构规范中采用如下抛物线经验公式Q235钢)GPa 206MPa, 235(sEs2cr68 006. 0235ls)100(pll16Mn钢)GPa 206MPa, 343(sEs2cr1 016. 0343ls)109(pll 计算临界应力的抛物线经验公式统一写为： a1 和 b1为与材料有关的常数2cr11absl34/809.4.2 经验公式经验公式3 短粗压杆短粗压杆 柔度很小的短柱，受压时不可能像大柔度杆那样出现弯曲变形，其失效原因是应力达到屈服极限失效原因是应力达到屈服极限(塑性材料塑性材料)或强度极限或强度极限(脆性脆

15、性材料材料)。很明显，这是强度问题强度问题。所以，对塑性材料，l ls 时，临界应力scr = ss。对脆性材料 l lb时，临界应力scr = sb 。 对于 l ls 或 l lp 欧拉公式进行的试算正确。取 d = 24.6 mm。43/809.5.2 折减因数法折减因数法压杆的稳定许用应力stcrcrnss压杆的稳定许用应力随压杆柔度的增大而减小。 在压杆设计中，常将压杆的稳定许用应力scr写作材料的强度许用应力s 乘以一个随压杆柔度 l 而改变的因数 j = j (l)stcrstcrcrsjsssssnn令)(stcrssljjn 式中 j 称为折减因数折减因数， j 1，且随 l

16、 而变化。该因数 j 可以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变而改变的特点反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变而改变的特点。44/809.5.2 折减因数法折减因数法压杆稳定条件是其实际工作压应力小于、等于稳定许用应力，即crssAF引入折减因数j ，则上式可改写为实践证明局部削弱(如螺钉孔等)对杆件的整体变形影响很小，所以计算临界应力时，仍采用未经削弱的横截面面积 A 和惯性矩 I 。 FAsj s45/80【例例9-5】解解(1) 圆截面惯性半径mm504dAIi120mm50mm000 61ilml208. 0j2222m1014. 34mm2004dA查表9.3，得(2) 柔度(3)

17、木柱的横截面面积(4) 校核其稳定性，有 MPa59. 1m1014. 3N1050223AFs MPa08. 2 MPa10208. 0sjsjs而木柱的稳定性满足要求 两端球铰铰支圆截面木柱，高 l = 6m ，直径 d = 20 cm ，承受轴向压力 F = 50 kN，已知木材的许用应力s = 10 MPa ，试校核其稳定性。46/80【例例9-6】 由Q235钢制成的、截面为工字形的两端铰支压杆，长 l = 2 m，许用应力s = 160 MPa ，承受轴向压力 F = 500kN。试选择工字钢。【分析分析】 根据稳定条件选择截面尺寸时，由于横截面面积 A 和折减因数 j 均未知，所

18、以采用逐次渐近的试算方法逐次渐近的试算方法。试算时，通常先假设一个 j 值，初次试算出截面尺寸，按这个尺寸去计算 l 值并查出相应的 j 值，如果两个 j 值相差较大，则应重新假设 j 值，再进行第二次试算。重复上述步骤直到满足前后两次的 j 值足够接近，并满足压杆稳定条件为止。47/80【例例9-6】 由Q235钢制成的、截面为工字形的两端铰支压杆，长 l = 2 m，许用应力s = 160 MPa ，承受轴向压力 F = 500kN。试选择工字钢。解解263mm 250 6Pa 101605 . 0N 10500 sjFA试取 j =0.5 根据稳定条件由型钢表选得工字钢No28b，A =

19、 6105mm2 imin = 2.49 cm计算 l3 .80cm 49. 2cm 2001minilml查表9.3可知 j = 0.73，这个 j 值和第一次试选的 j 相差较大，所以用线性插值法重新选48/80【例例9-6】 由Q235钢制成的、截面为工字形的两端铰支压杆，长 l = 2 m，许用应力s = 160 MPa ，承受轴向压力 F = 500kN。试选择工字钢。解解线性插值法重新选615. 025 . 073. 02j263mm 080 5Pa 10160615. 0N 10500sjFA3 .83cm40. 2cm2001minilml712. 0j，2mm 850 4Ac

20、m 40. 2mini选工字钢No25a由表9.3用线性插值法求出与j2 = 0.615相差还是较大，所以再次重新选49/80【例例9-6】 由Q235钢制成的、截面为工字形的两端铰支压杆，长 l = 2 m，许用应力s = 160 MPa ，承受轴向压力 F = 500kN。试选择工字钢。解解66. 02615. 0712. 03j263mm 735 4Pa 1016066. 0N 10500sjFA2mm 8 .652 4Acm 27. 2mini1 .88cm 27. 2cm 2001minilmlMPa 160MPa 5 .158m10640 468. 0N10500263sjsAF线

21、性插值法重新选选用工字钢No22b68. 0j相应的与66. 03j很接近。故可采用稳定校核最后选定工字钢No22b50/80【例例9-7】 Q235钢制成的矩形截面杆如图所示，在A，B 两处为销钉连接。已知材料弹性模量 E = 206 GPa，l = 2300 mm，b = 40 mm，h = 60 mm 。求此杆的临界载荷。51/80【例例9-7】解E = 206 GPa，l = 2300 mm，b = 40 mm，h = 60 mm正视图平面内123bhIzbhA 0 . 1m32hAIizz8 .132m 106032m 10300 2133zzilml俯视图平面内123hbIybhA

22、 5 . 0m32bAIiyy6 .99m 104032m 10300 25 . 033yyilml52/80【例例9-7】解E = 206 GPa，l = 2300 mm，b = 40 mm，h = 60 mm由于：6 .998 .132yzll所以压杆将在正视图平面内屈曲1008 .132pllz压杆属于细长杆，则临界载荷用欧拉公式计算kN 2778 .132m 1060m 1040Pa 102062339222crcrbhEAFzls53/80【例例9-8】 如图所示的压杆，两端为球铰约束，杆长 l = 2400 mm ，压杆由两根125mm125mm12mm 的等边角钢铆接而成，铆钉孔

23、直径为23mm。已知压杆所受压力 F = 800 kN，材料为Q235钢，许用应力s =160MPa,稳定安全因数 n st = 1.48 。试校核此压杆是否安全。54/80【例例9-8】分析 因为铆接时在角钢上开孔，所以此例中的压杆可能发生两种失效：(1) 屈曲失效屈曲失效。整体平衡形式发生突然转变(由直变弯)。但个别截面上的铆钉孔对这种失效影响不大，因此在稳定计算中，仍采用未开孔时的横截面面积，即截面毛面积 Ag。(2) 强度失效强度失效。在开有铆钉孔的截面上其应力由于截面削弱将增加，并有可能超过许用应力值，所以在强度计算时，要用削弱后的面积，即截面净面积An 。55/80【例例9-8】解

24、(1) 稳定校核12zzII 12AA 1111122zzzzziAIAIAIi由型钢表查得mm 3 .381zi231mm 1089. 2Amm 3 .381zzii66.62mm 3 .38mm 400 21zzilmlQ235钢，属于中长杆，根据抛物线经验公式MPa 208MPa 66.6268 006. 0MPa2352crskN 202 1mm 1089. 22Pa 10208236gcrcrAFs48. 150. 1stcrnFFn56/80【例例9-8】解(2)强度校核角钢由于铆钉孔削弱后的面积233323nm 10288. 5m 1012m 10232m 1089. 22A该截

25、面上的应力MPa 160MPa 151m 10288. 5N 10800233nssAF强度也满足要求综上所述，该压杆安全57/809.5.3 构件计算的综合分析构件计算的综合分析【例例9-9】 如图所示结构，材料为Q235钢。已知 F = 25kN，a = 30，a = 1250 mm ， l = 550 mm ，d = 20 mm ，E = 206 GPa ， s = 160MPa， n st = 2。试校核此结构是否安全。58/80【例例9-9】解(1) 梁AB的强度校核梁内的最大弯矩在中间截面C上mkN 625.15m 25. 130sinN 1025sin3maxaFMa工字钢No1

26、4，查型钢表得3cm 102zW2cm 5 .21A梁内最大弯曲正应力MPa 153m10102mN10625.15263maxmax MzWMs59/80【例例9-9】解梁AB还承受轴向拉伸，其轴力kN 65.21cosNaFF拉伸正应力MPa 10m105 .21N10625.21243NNAFs梁AB内的最大正应力maxM maxNssssmax略大于s ，在5%以内，工程上认为梁AB强度满足要求。153 MPa 10 MPa163 MPa60/80(2) 压杆CD的稳定性1mmm 54dAIi110mm 5mm 5501ilml 杆CD是细长压杆，应用欧拉公式计算其临界应力MPa 16

27、3110Pa 1020629222crlsE【例例9-9】解61/80【例例9-9】解0AMaasin2sin2FaaFFCD压杆CD内的工作应力232622sin42 25 10 N sin3079.6 MPa2010 m4CDFFAdas62/80稳定工作安全因数crst163 MPa79.6 MPa2.05 2nnss压杆CD稳定。该结构安全。【例例9-9】解63/80【例例9-10】 如图所示结构，压杆 CF 为等截面铸铁圆杆，直径dCF = 10cm ，sCF= 120MPa，ECF = 120 GPa 。杆BE为等截面钢圆杆，直径 dBF = 5 cm ，材料为Q235钢， sBE

28、 = 160 MPa ， EBE = 206 GPa 。若横梁AD 可视为刚性梁，求载荷 F 的许用值。64/80【例例9-10】解一次超静定结构0AM032FFFCFBE变形协调条件CFBEll2物理关系BEBEBEBEBEAElFlCFCFCFCFCFAElFl联立解得FFCF36. 1FFBE28. 065/80【例例9-10】解对杆BE，为充分发挥其抗力，取6242160 10 Pa510 m4314 kNBEBEBEBEFFAs按杆BE的强度条件确定的F的许用值kN 121 128. 0kN 31428. 0BEFF66/80【例例9-10】解压杆CF80ilml查表9.3得 j = 0.26kN 245m 10104Pa 1012026. 02426CFCFCFCFAFFsj按杆CF稳定性条件确定的F的许用值kN 18036. 1kN 24536. 1CFFF综合比较，可知应取 kN 180F67/809.5.4 压杆的合理设计压杆的合理设计1.选择合理的截面形状 在保持横截面面积不变的情况下，尽可能地把材料放在远离截面形心处，可以取得较大的 I 和 i 值，从而提高临界力。 当然，也不能为了取得较大的 I 和 i ，就无限制地增大环形截面的直径并使其壁厚减小，这将使其因壁厚太薄而引起局部失稳，发生局部折皱的危险，反而降低了稳定性。6