函数的连续性和连续函数学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)的连续性和连续函数的连续性和连续函数(hnsh)第一页，共33页。2定定义义 1 设设函函数数)(xfy 在在点点 0 x的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，如如果果 例1 证明函数(hnsh)y=x2在给定点x0处连续。 证 在x0处，函数(hnsh)的改变量为所以 y = x2 在给定点(dn din)x0处连续。，因因为为0)(2limlim2000 xxxyxx那那么么就就称称函函数数)(xfy 在在点点 0 x连连续续。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2020)(xxxy ,)(220 xxx 第1页/共32页第二页，共33页。3,0

2、xxx 记记),()(0 xfxfy ,00 xxx 等价于等价于.0 )()(0 yxfxf等等价价于于下面给出函数连续的定义的另一种等价(dngji)形式。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx定定义义 2 设设函函数数)(xfy 在在点点 0 x的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，如如果果 那那么么就就称称函函数数)(xfy 在在点点0 x连连续续。 ，)()(lim00 xfxfxx 第2页/共32页第三页，共33页。4说说明明：)(xf在在0 x处处连连续续要要满满足足三三条条： （3 3）函函数数值值与与极极限限值值相相等等. . （1 1）)(xf在在0 x处处有有

3、定定义义, ,即即)(0 xf存存在在； （2 2）极极限限)(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx .0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf例2证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处处连连续续在在所所以以函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 第3页/共32页第四页，共33页。5;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理(dngl).)()(00既左连续又右连续既左连续又右连续处处在在是函数是函数处连续处连

4、续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 第4页/共32页第五页，共33页。6例3.00,10 ,0 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf解)1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f )1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f 即不右连续(linx)也不左连续(linx) ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxfx y-1 1 O第5页/共32页第六页，共33页。7.0, 0, 0,cos)(, 处连续处连续在在函数函

5、数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa例4解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a第6页/共32页第七页，共33页。8若若)(xf在开区间在开区间),(ba内每一点处连续内每一点处连续, ,则称则称)(xf在在),(ba内连续内连续. . 如如果果)(xf在在整整个个定定义义域域上上连连续续, ,则则称称之之为为连连续续函函数数. . 若若)(xf在在),(ba上上连连续续, ,且且在在ax 处处右右

6、连连续续, ,在在bx 处处左左连连续续, ,则则称称)(xf在在 ba,上上连连续续. . 第7页/共32页第八页，共33页。9例5.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证),( x任取任取xxxysin)sin( , )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则, 对任意的对任意的,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy第8页/共32页第九页，共33页。10定理(dngl)1,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf例如(lr),),(

7、cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx1、连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续.) 0)()()(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf则则.0处处也也连连续续在在点点x第9页/共32页第十页，共33页。11定理2 严格单调(dndio)的连续函数必有严格单调(dndio)的连续反函数.例如(lr),2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理

8、 xy.,cotarc,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xyxy反三角函数(snjihnsh)在其定义域内皆连续.第10页/共32页第十一页，共33页。12且且连续连续在点在点设函数设函数,0)(xxxu 定理(dngl)3,)(,)(000连续连续在点在点而函数而函数uuufyux .)(0也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数xxxfy 极限(jxin)运算与函数运算可以交换)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 第11页/共32页第十二页，共33页。13三角函数(snjihnsh)及反三角函数(snjihnsh)在它们的定义域内是连续的.)1, 0( aaa

9、yx指数函数指数函数;),(内内单单调调且且连连续续在在 )1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 均在其定义域内连续(linx).第12页/共32页第十三页，共33页。14所有(suyu)基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数(hnsh)在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数(hnsh)来说，连续区间即为其定义域。第13页/共32页第十四页，共33页。15初等(chdng)函数求极限的方法：代入法.例6.1esinlim1 xx求

10、求1esin1 原原式式.1esin 例7.11lim20 xxx 求求解解11lim20 xxx原式原式20 .0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx第14页/共32页第十五页，共33页。16例8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解) 0()1ln( xxx)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 处连续处连续在在eln uuy极限运算与函数运算可以(ky)交换第15页/共32页第十六页，共33页。17例9.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原

11、式解,1eyx 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 类似(li s)可得.ln1lim0axaxx ) 0(1e xxx) 0(ln1 xaxax第16页/共32页第十七页，共33页。18例10.(1)1(lim0）为非零实常数为非零实常数求求 xxx xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式解,1)1(yx 令令, )1ln()1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当)1ln(lim0yyy .111xnxn 前面(qin mian)已证. xx 1)1 ( xxxxxx)1ln(lim)1ln(1)1(lim00 ) 0( x)0(

12、x第17页/共32页第十八页，共33页。19,0时时当当x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx,1exx ，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx,ln1axax ,ln)1 (logaxxa xx 1)1 ( 第18页/共32页第十九页，共33页。20.limlim,lim, 则则存在存在且且设设证 lim)lim( limlimlim.lim 只有在乘、除的极限(jxin)运算中才能替换；注意(zh y)在加、减的极限运算中不能替换！第19页/共32页第二十页，共33页。21例11.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx

13、 时时当当2202/1)2(limxxx 原式原式.8 第20页/共32页第二十一页，共33页。22例12.2sinsintanlim30 xxxx 求求解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错 第21页/共32页第二十二页，共33页。23例13.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 原式原式.35 xxxxxx321lim35lim200 第

14、22页/共32页第二十三页，共33页。24例14解.1111lim30 xxx求求231lim0 xxx 原式原式.32 .)cos1cos(1lim40 xxx 求求例15解420)cos1(21limxxx 原式原式4220)21(21limxxx .81 .111xnxn ，221cos1xx 第23页/共32页第二十四页，共33页。25定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间(q jin)上连续的函数在该区间(q jin)上有界且能取得最大值和最小值.abxyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若1 2 1、有界性与最

15、大值最小值定理(dngl)记作,)(max)(,1xffbax .)(min)(,2xffbax 第24页/共32页第二十五页，共33页。26xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意:1.若区间是开区间, 定理(dngl)不一定成立;2.若区间内有间断点, 定理不一定(ydng)成立.第25页/共32页第二十六页，共33页。27定理定理 2(2(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，对于那末，对于 A 与与 B 之间的任意一个数之

16、间的任意一个数 C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )( )(ba . . 推论 在闭区间上连续的函数(hnsh)必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 .第26页/共32页第二十七页，共33页。28几何(j h)解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 第27页/共32页第二十八页，共33页。29定理定理 3 3( (零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()

17、( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. . .)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何(j h)解释:.,)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy xyo)(xfy 定义(dngy)第28页/共32页第二十九页，共33页。30例16证, 14)

18、(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点(ln din)定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一个根内至少有一个根在在方程方程 xx.)1 , 0(01423至至少少有有一一个个根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx第29页/共32页第三十页，共33页。31例17.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点(ln din)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第30