圆的对称性课时实用教案

1、会计学1圆的对称性课时圆的对称性课时(ksh)第一页，共49页。你能再举出一些你能再举出一些(yxi)(yxi)吗吗? ?第1页/共49页第二页，共49页。你能讲出几种形成你能讲出几种形成(xngchng)圆的方法？圆的方法？第2页/共49页第三页，共49页。1 1、在一个平面内，线段、在一个平面内，线段OPOP绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋旋转一周，则转一周，则 另一个端点另一个端点P P所形成的封闭曲线所形成的封闭曲线(qxin)(qxin)叫做圆。叫做圆。固定的端点固定的端点O O叫做圆心叫做圆心(yunxn)(yunxn)，线段，线段OPOP叫做半径。叫做半径。以点以点O

2、 O为圆心为圆心(yunxn)(yunxn)的圆，记作的圆，记作“O”“O”，读作，读作“圆圆O”O”。一、圆的定义一、圆的定义第3页/共49页第四页，共49页。问题问题1 1：图上各点到定点（圆心：图上各点到定点（圆心O O）的距离）的距离(jl)(jl)有什有什么规律？么规律？问题问题2 2：到定点：到定点(dn din)(dn din)的距离等于定长的点又的距离等于定长的点又有什么特点？有什么特点？(1)(1)图上各点到定点（圆心图上各点到定点（圆心O O）的距离都等于）的距离都等于(dngy)(dngy)定长（定长（半径半径r r）(2)(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上到定

3、点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新定义：因此，我们可以得到圆的新定义：2 2、所有到定点、所有到定点( (圆心圆心O O）的距离等于定长（半径）的距离等于定长（半径r r）的点组成的图形。）的点组成的图形。第4页/共49页第五页，共49页。思考：思考：平面上有一个圆，这个平面上的点，除了平面上有一个圆，这个平面上的点，除了(ch le)(ch le)在圆上外，与圆还有几种位置关系？在圆上外，与圆还有几种位置关系？O OP PO OP PO OP P（1）点P在OO上上（2）点P在OO内内（3）点P在OO外外 OP=rOPrOO的半径的半径(bnjng)(bnjng)为为

4、r r二、点与圆的位置二、点与圆的位置(wi zhi)(wi zhi)关系关系第5页/共49页第六页，共49页。三、圆的相关三、圆的相关(xinggun)(xinggun)概念概念1 1、圆上任意两点间的部分叫做、圆上任意两点间的部分叫做(jiozu)(jiozu)圆弧圆弧, ,简简称弧。称弧。直径的两个端点将圆分成两条弧直径的两个端点将圆分成两条弧, ,每一条弧每一条弧都叫做都叫做(jiozu)(jiozu)半圆。半圆。2 2、连接圆上任意两点间的线段叫做、连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦( (如弦如弦AB)AB)。3 3、经过圆心弦叫做、经过圆心弦叫做直径直径( (如直径如直径AC)AC)

5、。以以A A、B B两点为端点的弧，记作两点为端点的弧，记作ABAB, ,读作读作“弧弧ABAB”。小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧, ,如记作如记作AB AB ( (用两个字母表示用两个字母表示) )。大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧, ,如记作如记作ACB ACB ( (用三个字母表示用三个字母表示) )。A AB BC C同圆中：半径相等，直径等于半径的同圆中：半径相等，直径等于半径的2 2倍。倍。第6页/共49页第七页，共49页。4 4、由弦及其所对弧组成的图形叫做、由弦及其所对弧组成的图形叫做(jiozu)(jiozu)弓形。弓形。A AB BC C如图中弦如图中弦A

6、BAB分别与分别与ABAB及及ACBACB组成两个组成两个(lin )(lin )不同不同的弓形。的弓形。能够重合的两个能够重合的两个(lin )圆叫做等圆，等圆的半径相等。圆叫做等圆，等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧。第7页/共49页第八页，共49页。C CD DB BA A例例1 1、已知，如图，、已知，如图，ABAB、CDCD为为OO的直径的直径(zhjng)(zhjng)。求证：。求证：ADCBADCB。第8页/共49页第九页，共49页。第9页/共49页第十页，共49页。第10页/共49页第十一页，共49页。25.2 25

7、.2 圆的对称性圆的对称性(2) O O第11页/共49页第十二页，共49页。圆是轴对称图形圆是轴对称图形(txng)(txng)吗？吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么(shn me)?(shn me)?你能找到你能找到多少条对称轴？多少条对称轴？O O你是用什么方法你是用什么方法(fngf)(fngf)解决上述解决上述问题的问题的? ?圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?你又是用什么方法解决这个问你又是用什么方法解决这个问题的题的? ?一、圆的对称性一、圆的对称性第12页/共49页第十三页，共49页。圆的对称

8、性圆的对称性圆是轴对称图形圆是轴对称图形(txng).(txng).圆的对称轴是任意圆的对称轴是任意(rny)(rny)一条经过圆心的直线一条经过圆心的直线, ,它有无数条对称轴它有无数条对称轴. .可利用可利用(lyng)(lyng)折叠的方法即可解决上述问折叠的方法即可解决上述问题题. .圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形. .它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .用旋转的方法即可解决这个问用旋转的方法即可解决这个问题题. .第13页/共49页第十四页，共49页。求证求证(qizhng)(qizhng)：AE=BEAE=BEOABCDE AC=BC,AC=BC,AD=BDAD=B

9、D垂径定理垂径定理 ：垂直于弦的直径垂直于弦的直径(zhjng)(zhjng)平分这条弦平分这条弦, ,并且平分这条并且平分这条弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。ABAB是是OO的一条弦，作直径的一条弦，作直径(zhjng)CD,(zhjng)CD,使使CDAB,CDAB,垂足为垂足为E E。二、垂径定理二、垂径定理第14页/共49页第十五页，共49页。ABAB是是OO的一条的一条(y tio)(y tio)弦弦, ,且且AE=BEAE=BE。过点。过点E E作直径作直径CD.CD.OCDEAB垂径定理的逆定理：垂径定理的逆定理：平分平分(pngfn)(pngfn)弦（不是直径）的直径垂直于弦弦

10、（不是直径）的直径垂直于弦, ,并并且平且平 分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。探索探索(tn (tn su)su)思考思考 CDCDABAB AC=BC,AC=BC, AD=BDAD=BD 求证第15页/共49页第十六页，共49页。例例2 2、如图，、如图，OO的半径为的半径为5cm5cm，弦，弦ABAB为为6cm6cm，求圆心，求圆心(yunxn)O(yunxn)O到弦到弦ABAB的距离。的距离。OB BA AE E第16页/共49页第十七页，共49页。例例3 3、赵州桥建于、赵州桥建于14001400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁性桥梁, ,桥的

11、下部呈圆弧形桥的下部呈圆弧形, ,桥的跨度桥的跨度( (弧所对的弦长弧所对的弦长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，求桥所在圆的，求桥所在圆的半径。（结果半径。（结果(ji gu)(ji gu)精确到精确到0.1m0.1m）第17页/共49页第十八页，共49页。解得：解得：R27R279 9（m m）DBACR在在RtRtOADOAD中，由勾股定理中，由勾股定理(u (u dn l)dn l)，得，得即即 R R2 2=18.7=18.72 2+ +（R R7.27.2）2 2赵州桥的主桥拱半径赵州桥的主桥拱半径(

12、bnjng)(bnjng)约为约为27.9m.27.9m.OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2O解：如图，过拱桥所在圆的圆心解：如图，过拱桥所在圆的圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线, ,交交ABAB于点于点C,C,交弦交弦ABAB于点于点D D，则有，则有AB=37.4mAB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m，OD=OCOD=OCCD=RCD=R7.27.2第18页/共49页第十九页，共49页。1 1、如图，在、如图，在OO中，中，ABAB、ACAC为互相垂直且相等为互相垂直且相等(xingdng)(xingdng)的两条弦，的两条弦，ODABODAB于于D D，O

13、EACOEAC于于E E，求，求证四边形证四边形ADOEADOE是正方形是正方形DOABCE练习练习(linx)第19页/共49页第二十页，共49页。2 2、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大为圆心的两个同心圆中，大圆圆(d yun)(d yun)的弦的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点。你认为两点。你认为ACAC和和BDBD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？.A AC CD DB BO OE E证明证明(zhngmng)(zhngmng)：过：过O O作作OEABOEAB，垂足为垂足为E E， 则则AEAEBEBE，CECEDEDE。 AE AE

14、CECEBEBEDEDE 即即 AC ACBDBD练习练习(linx)第20页/共49页第二十一页，共49页。第21页/共49页第二十二页，共49页。第22页/共49页第二十三页，共49页。25.2 25.2 圆的对称性圆的对称性(3) O O第23页/共49页第二十四页，共49页。如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置(fngzh)，则矩形ABCD的周长为（ ） 第24页/共49页第二十五页，共49页。如图如图, ,在下列在下列(xili)(xili)五五个条件中个条件中: :只要具备其中两个只要具备其中两个(lin )(lin )条件条件, ,就可推出其余三

15、个就可推出其余三个结论结论. .CDCD是直径是直径(zhjng),(zhjng),AE=BE,AE=BE,CDAB,CDAB, AC=BCAC=BC, , AD=BD.AD=BD.ABCDOE第25页/共49页第二十六页，共49页。条件条件结论结论命题命题垂直于弦的直径垂直于弦的直径(zhjng)平分弦平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径(zhjng)的直径的直径(zhjng)垂直于弦垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条平分弦所对的一条(y tio)弧的直径弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分并且平分弦所对

16、的另一条弦所对的另一条(y tio)弧弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和并且平分弦和所对的另一条弧所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CDCD是直径是直径, ,AM=BM,AM=BM,CDAB,C

17、DAB, AC=BCAC=BC, , AD=BD.AD=BD.第26页/共49页第二十七页，共49页。3、判断下列说法、判断下列说法(shuf)的正误的正误 平分平分(pngfn)弧的直径必平分弧的直径必平分(pngfn)弧所对的弦弧所对的弦 平分平分(pngfn)弦的直径必弦的直径必垂直弦垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧此弦所对的弧 分别过弦的三

18、等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分分别三等分 练习练习非直径的弦非直径的弦第27页/共49页第二十八页，共49页。1 1、在直径是、在直径是20cm20cm的的OO中，中， AOB AOB的度数的度数(d shu)(d shu)是是6060，那么，那么弦弦ABAB的弦心距是的弦心距是. . 3 3、弓形、弓形(n xn)(n xn)的弦长为的弦长为6cm6cm，弓形，弓形(n xn)(n xn)的高为的高为2cm2cm，则这弓形则这弓形(n xn)(n xn)所在的圆的半径为所在的圆的半径为. . 4 4、已知、已知P P为为O O内一点

19、内一点(y din)(y din)，且，且OP=2cmOP=2cm，如果，如果O O的半径是的半径是4cm4cm，那么过那么过P P点的最短的弦等于点的最短的弦等于 。2 2、在半径为、在半径为3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是= = ，OABOAB的余弦值的余弦值= = 。24mm24mm0.60.6 O OA AB BD D第28页/共49页第二十九页，共49页。例例1 1、在直径、在直径(zhjng)(zhjng)为为650mm650mm的圆柱形油槽内的圆柱形油槽内装入一些装入一些油后，油面宽油后，油面宽AB = 600mmAB

20、= 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAO ODCDC第29页/共49页第三十页，共49页。3 3、如图，、如图，CDCD为圆为圆O O的直径的直径(zhjng)(zhjng)，弦，弦ABAB交交CDCD于于E E，CEB=30CEB=30，DE=9DE=9，CE=3CE=3，求弦，求弦ABAB的长。的长。练习练习(linx)F F第30页/共49页第三十一页，共49页。例例2 2、如图、如图, ,某地某地(mu d)(mu d)有一圆弧形拱桥有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶拱顶高出水面高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3

21、 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经过这里米的货船要经过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？第31页/共49页第三十二页，共49页。如图如图, ,用用ABAB表示桥拱，矩形表示桥拱，矩形(jxng)EFNM(jxng)EFNM表示船的横截面。表示船的横截面。ABAB所在圆的圆心所在圆的圆心为为O O，半径为，半径为r r米米, ,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线ODOD，D D为垂足，与为垂足，与ABAB相交于点相交于点C C。根据垂径定理。根据垂径定理,D,D是是ABAB的中点，的中点，C C是是A

22、BAB的中点，的中点，CDCD就是拱高。就是拱高。例例2 2、如图、如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面桥下水面(shu min)(shu min)宽为宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面(shu min)2.4(shu min)2.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶米、船舱顶部为长方形并高出水面部为长方形并高出水面(shu min)2(shu min)2米的货船要经过这里米的货船要经过这里, ,此此货船能顺利通过这座拱桥吗？货船能顺利通过这座拱桥吗？第32页/共49页第三十三页，共49页。垂径定理垂径定理(dngl)的推论的推论 若圆的两条

23、弦互相平行若圆的两条弦互相平行,那么那么(n me)这两条弦所夹的弧相等吗？这两条弦所夹的弧相等吗？这两条弦在圆中位置这两条弦在圆中位置(wi zhi)有两种情有两种情况况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.第33页/共49页第三十四页，共49页。圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形, ,它的对称中心就是它的对称中心就是(jish)(jish)圆心圆心. .用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到: :一个圆绕着它的圆心旋转任意一个一个圆绕着它的圆

24、心旋转任意一个角度角度, ,都能与原来的图形重合都能与原来的图形重合. .这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质: :圆的旋圆的旋转不变性转不变性O OA A第34页/共49页第三十五页，共49页。第35页/共49页第三十六页，共49页。第36页/共49页第三十七页，共49页。25.2 25.2 圆的对称性圆的对称性(4) O O第37页/共49页第三十八页，共49页。你能发现你能发现(fxin)(fxin)那些等量关系那些等量关系? ?说一说你的理说一说你的理由由. .B BA AO OAABBAAD DB BA AO ODDBBAB=ABAB=AB AB=ABAB=ABOD=ODOD=O

25、D第38页/共49页第三十九页，共49页。如图如图, ,如果在两个等圆如果在两个等圆OO和和OO中中, ,分别作相等分别作相等(xingdng)(xingdng)的圆心角的圆心角和和AOBAOB和和AOB,AOB,固定圆心固定圆心, ,将其中的一个旋转一个角度将其中的一个旋转一个角度, ,使得使得OAOA和和OAOA重合重合. .你又能发现你又能发现(fxin)(fxin)那些等量关系那些等量关系? ?说一说你的理由说一说你的理由. .AAD DB BA AO ODDBBO O AABBB BA AO OB BA AO O圆心角圆心角第39页/共49页第四十页，共49页。由由条条件件(tioj

26、in):(tiojin):AOB=AOBAOB=AOBAB=ABAB=AB AB=ABAB=ABOD=ODOD=ODAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和第40页/共49页第四十一页，共49页。如由条件如由条件(tiojin):AB=ABAB=ABAB=ABAB=AB OD=ODOD=ODAOB=AOBAOB=AOBAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和第41页/共49页第四十二页，共49页。如由条件如由条件(tiojin):AB=ABAB=AB AB=ABAB=AB OD=ODOD=ODAOB