微分中值定理及其应用学习教案

1、会计学1微分中值定理微分中值定理(dngl)及其应用及其应用第一页，共81页。问题问题(wnt)的提出的提出)(xf,ba( , )a b，( , )a b( ) ( )1ff ，等等等等(dn dn)0( )d( )f xxf；3( )( ).1 2ff第2页/共81页第二页，共81页。问题问题(wnt)的提出的提出)(xf( , )a b，( ,( ),( )( ) ( ) 10Fffff ，等等等等(dn dn)0( )( )d( )0Fff xxf，；3( )( ,( )( )( )0.1 2fFfff，即证明存在一个中值即证明存在一个中值满足某一个方程或微分方程。满足某一个方程或微分

2、方程。第3页/共81页第三页，共81页。第4页/共81页第四页，共81页。第5页/共81页第五页，共81页。 二、思路二、思路(sl)点拨点拨)(xf,ba上连续上连续(linx)，第一类第一类 : 设函数设函数(hnsh)在在( , )a b，使得使得( )0.Ff，证明存在一点证明存在一点特点：待证的方程中不含导数。特点：待证的方程中不含导数。第6页/共81页第六页，共81页。 证明证明(zhngmng)思路：思路：想办法想办法(bnf)在在 上找两个点上找两个点使得使得(1)将欲证的等式将欲证的等式(dngsh)中的中的 改写成改写成 并并移项使得等式移项使得等式(dngsh)(2) 的

3、一端为零，另一端记为的一端为零，另一端记为 ，(3) 设辅助函数为设辅助函数为从而利用零点定理从而利用零点定理得到得到证证明明。, x)(xfxF，( )( )xF xf x，,ba1212,(),x xxx0)()(21xx(2)利用题设条件，利用题设条件，第7页/共81页第七页，共81页。其中其中(qzhng) 是恒正函数。是恒正函数。(3)若对若对 不易验证零点不易验证零点(ln din)定理，或是定理，或是 不满足不满足 零点零点(ln din)定理的条件，则令辅助函数的导数为定理的条件，则令辅助函数的导数为 )(x( )( ),xF xf x，或或( )d( )( ),xx F xf

4、 x，)(d x)(x(4) 求出求出 然后利用然后利用(lyng)题设条件验证题设条件验证 满足罗尔定理的条件，从而证得所求的结论。满足罗尔定理的条件，从而证得所求的结论。( ),x)(x第8页/共81页第八页，共81页。例例1 设不恒为设不恒为 的函数的函数(hnsh) 在在 上上连续，且连续，且 ，证明：存在实数，证明：存在实数 ，使得使得 。x)(xf),(xxff)()(f第9页/共81页第九页，共81页。第10页/共81页第十页，共81页。第11页/共81页第十一页，共81页。例例2 设函数设函数 在在 连续，且连续，且证明：至少存在证明：至少存在(cnzi)一点一点 ，使得，使得

5、 )(xf)(,baba0)(xf),(ba( )d( )d .baf xxf xx第12页/共81页第十二页，共81页。第13页/共81页第十三页，共81页。例例3 设函数设函数 在在 上连续，且上连续，且 证明：至少存在一点证明：至少存在一点(y din) ，使得使得 )(xf( )0.f), 0 101( )( )d, lim0.2xf xf xxx 0,)第14页/共81页第十四页，共81页。第15页/共81页第十五页，共81页。第16页/共81页第十六页，共81页。第17页/共81页第十七页，共81页。例例4. 设函数设函数 在在 上连续。上连续。证明：存在一点证明：存在一点(y d

6、in) ，使得，使得( )( )f xg x， , a b()a b,( )( )d( )( )d .bafg x xgf x x第18页/共81页第十八页，共81页。第19页/共81页第十九页，共81页。第20页/共81页第二十页，共81页。第21页/共81页第二十一页，共81页。例例5 设函数设函数 在在 上连续上连续(linx)，且且 证明存在一点证明存在一点 ， 使得使得 )(xf0,10,11100()d()d .fxxxfxx0( )d0.f xx第22页/共81页第二十二页，共81页。第23页/共81页第二十三页，共81页。第24页/共81页第二十四页，共81页。第25页/共81

7、页第二十五页，共81页。例例6 设函数设函数 在在 上连续，且上连续，且 证明证明(zhngmng)：存在：存在 ，使得，使得 )(xf0,10,110(0)0( )d0.ff xx，0( )d( ).f xxf第26页/共81页第二十六页，共81页。第27页/共81页第二十七页，共81页。第二类第二类 设函数设函数(hnsh) 在在 上连续，上连续， 在在 内可导，证明存在一内可导，证明存在一 点点 ，使得，使得 )(xf,ba),(ba),(ba0)(),(ffF，)(f 特点：欲证的等式特点：欲证的等式(dngsh)中增加中增加了一项了一项 。第28页/共81页第二十八页，共81页。 证

8、明证明(zhngmng)思路：思路：得到得到(d do)形式为形式为 的通解（其中的通解（其中C为常数）；为常数）； (1)将欲证的等式将欲证的等式(dngsh)中的中的 改写成改写成 并移项并移项使得等式使得等式(dngsh)(2) 的一端为零，另一端记为的一端为零，另一端记为 ， , x( )=Cx(2)求解以求解以 为未知函数的微分方程，为未知函数的微分方程，( )( )F xf xfx，( )( )=0F xf xfx，)(xf其中其中 ( )( )( )xF xf xfx，第29页/共81页第二十九页，共81页。即即(3)设辅助设辅助(fzh)函数为函数为 ， )(x满足满足(mnz

9、)(4) 利用罗尔定理或零点利用罗尔定理或零点(ln din)定理，即可定理，即可证得：存在证得：存在( )=0然后然后利用题设条件寻找利用题设条件寻找1212,(),x xxx12()= ()xx等式的两个点等式的两个点12( ,)( , ),x xa b使得使得( )= ( , ( ),( )=0Fff因而得证。因而得证。或满足或满足12()()0 xx等式的两个点等式的两个点12,x x第30页/共81页第三十页，共81页。例例1 设设 在在 上连续，在上连续，在 内可导，内可导，且且 证明：对任意实数证明：对任意实数 ，存在，存在(cnzi) ，使得，使得)(xf0,10,1) 1 ,

10、 0(1(0)(1)0, ( )1.2fff( ) ( )1.ff第31页/共81页第三十一页，共81页。第32页/共81页第三十二页，共81页。第33页/共81页第三十三页，共81页。第34页/共81页第三十四页，共81页。第35页/共81页第三十五页，共81页。例例2 设设 在在 上有连续导数，且存在上有连续导数，且存在 证明证明(zhngmng)：存在：存在 ，使得，使得)(xf, a b( , ),( )0.ca bfc),(ba( )( )( ).ff afba第36页/共81页第三十六页，共81页。第37页/共81页第三十七页，共81页。第38页/共81页第三十八页，共81页。第3

11、9页/共81页第三十九页，共81页。第三类第三类 设函数设函数 在在 上连续，上连续， 在在 内二阶可导，证明内二阶可导，证明(zhngmng) 存在一点存在一点 ，使得，使得 )(xf,ba),(ba),(ba( ,( ),( )( )0Ffff,特点特点(tdin)：欲证的等式中增加了一：欲证的等式中增加了一项项 。( )f第40页/共81页第四十页，共81页。 证明证明(zhngmng)思路：思路：(1)将欲证的等式中的将欲证的等式中的 改写成改写成 并移项使得并移项使得(sh de)等式等式(2) 的一端为零，另一端记为的一端为零，另一端记为 ， , x(2)对对( )( )F xfx

12、fx，( ( )( )( )F f x fx fx,( ,( )( )( )F x f x fx fx,或或或或则方程则方程(fngchng)变为变为两种形式的微分方程，令两种形式的微分方程，令( )( )=0F xfxfx，和和( ( )( )( )=0F f x fx fx,( )= ( )f xp x( )( )=0F x p x p x,和和( ( ) ( )( )=0F f x p x p x,此时方程转化为第二类的问题。此时方程转化为第二类的问题。第41页/共81页第四十一页，共81页。 证明证明(zhngmng)思路：思路：(3)求解以求解以 为未知函数为未知函数(hnsh)的微

13、分方程的微分方程 (4)对形式对形式(xngsh)为为( )p x( ,( )( )x f x fxC,( ,( )( )( )=0F x f x fx fx,设辅助函数为设辅助函数为或或的微分方程，的微分方程，,并设辅助并设辅助( , ( )=Cx p x并将其通解表示为并将其通解表示为( )( )=0F x p x p x,( ( ) ( )( )=0F f x p x p x,函数为函数为( , ( ).x p x尝试对方程的两端求不定积分，得到等式尝试对方程的两端求不定积分，得到等式( ,( )( )x f x fx,第42页/共81页第四十二页，共81页。(5)在在 上寻找满足上寻找

14、满足 的点，的点， ,利用利用(lyng)罗尔定理即可证得：存罗尔定理即可证得：存 在在 ，使得，使得 即得即得,ba)()(21xx1212,()x x xx12( ,)( , )x xa b0)( ),( )( )0.Ffff， 证明证明(zhngmng)思路：思路：第43页/共81页第四十三页，共81页。例例1 设函数设函数 在在 上二阶可导，且上二阶可导，且 试证至少存在试证至少存在(cnzi) ，使得，使得 )(xf10,21(0)(0), ()0.2fff)21, 0(3( )( ).1 2ff第44页/共81页第四十四页，共81页。第45页/共81页第四十五页，共81页。第46页

15、/共81页第四十六页，共81页。第47页/共81页第四十七页，共81页。第48页/共81页第四十八页，共81页。第49页/共81页第四十九页，共81页。第50页/共81页第五十页，共81页。例例2 设函数设函数(hnsh) 在在 上二阶可导，上二阶可导，且且 试证存在试证存在 ，使得，使得)(xf0,10,1(0)(0)0.ff 22 ( )( ).(1)ff第51页/共81页第五十一页，共81页。第52页/共81页第五十二页，共81页。第53页/共81页第五十三页，共81页。第四类第四类 设函数设函数(hnsh) (hnsh) 在在 上连续上连续, ,在在 内可导内可导( (二阶可导二阶可导

16、) )，证明存在，证明存在 )(xf,ba),(ba( )( )( )fCfCfC使得，或a,b()第54页/共81页第五十四页，共81页。思路点拨：思路点拨： 在拉格朗日中值定理的证明过程中在拉格朗日中值定理的证明过程中，所构造的辅助函数具有如下的形式，所构造的辅助函数具有如下的形式(xngsh)(xngsh)其中其中 为一个多项式函数，它满足为一个多项式函数，它满足 由此由此F(x)F(x)就有两个零点，从而就可应用就有两个零点，从而就可应用罗尔定理得到命题的证明罗尔定理得到命题的证明. .这就启发我们这就启发我们在证明中值在证明中值 存在性的问题中，借存在性的问题中，借鉴此思路，构造类似

17、的辅助函数。鉴此思路，构造类似的辅助函数。 ( )( )( )F xf xP x=( )P x( , )a b( )( ), ( )( ),P af a P bf b第55页/共81页第五十五页，共81页。例例1 设设 在在 上连续，在上连续，在 内二阶可导，内二阶可导，过点过点A(0,f(0)与与B(1,f(1)的直线与曲线的直线与曲线y=f(x)相交于点相交于点c(c,f(c),其中其中(qzhng)0c1. 证明存在证明存在使得使得)(xf0,10,1) 1 , 0( )0f第56页/共81页第五十六页，共81页。分析：分析： 由要证的结论可以看出，如果我们由要证的结论可以看出，如果我们

18、(w men)(w men)能在能在0,10,1上找到三个点，使得上找到三个点，使得f(x)f(x)在这三个点处的值相等，然后再两次使在这三个点处的值相等，然后再两次使用罗尔定理便可得到本题的结论。由此设辅用罗尔定理便可得到本题的结论。由此设辅助函数为助函数为其中其中 为一次多项式函数，它必须满足为一次多项式函数，它必须满足 亦即亦即 F(0)=F(C)=F(1), F(0)=F(C)=F(1),对对F(x)F(x)两次应用罗尔两次应用罗尔定理，即得命题的结论。定理，即得命题的结论。 ( )( )( )F xf xP x=( )P x(0)(0), ( )( ), (1)(1)PfP cf c

19、 Pf第57页/共81页第五十七页，共81页。证明：证明： 显然连接显然连接A,C,BA,C,B三点的直线方程（一次三点的直线方程（一次多项式）就满足上述多项式）就满足上述(shngsh)(shngsh)的条件。令的条件。令设辅助函数为设辅助函数为依题意有依题意有 对对F(x)F(x)两次应用罗尔定理，便可得到本题的两次应用罗尔定理，便可得到本题的结论。结论。 ( )(0) (1)(0)P xfffx(0)( )(1)FF cF( )( )( )( )(0) (1)(0)F xf xP xf xfffx第58页/共81页第五十八页，共81页。例例2 设设 在在 上二阶可导，且上二阶可导，且 证

20、明证明(zhngmng)存在存在 使得使得)(xf0,40,4(1)=1, (4)=2,ff1( )3f (0)=0,f第59页/共81页第五十九页，共81页。分析：分析： 本题要求本题要求(yoqi)(yoqi)的是经过已知三个的是经过已知三个点的抛物线点的抛物线 ( (二次多项式二次多项式) )，即所求的抛物，即所求的抛物线与曲线线与曲线y=f(x)y=f(x)有三个交点处。令有三个交点处。令容易求的过容易求的过 的抛物线为的抛物线为 由此设辅助函数为由此设辅助函数为 ( )( )( )F xf xP x=( )P x(0,0),(1,1),(4,2)2( )P xaxbxc217( )6

21、6P xxx 第60页/共81页第六十页，共81页。证明：设辅助函数证明：设辅助函数(hnsh)(hnsh)则则对对F(x)F(x)两次应用罗尔定理可得两次应用罗尔定理可得即即从而有从而有 (0)(1)(2)FFF=( )0F( )( )( )0FfP217( )( )( )( )66F xf xP xf xxx1( )3f 第61页/共81页第六十一页，共81页。例例3 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内二阶可导，内二阶可导，证明证明(zhngmng)存在存在 ，使得，使得 )(xf,ba21( )( )2 ()()( ).24abf af bfbaf),(ba),(ba第62页/

22、共81页第六十二页，共81页。分析分析(fnx)(fnx)：记：记 , ,首先求过三点首先求过三点 的抛物线，再令辅助函数的抛物线，再令辅助函数为为则有则有故存在故存在 使得使得 由此立得由此立得结论。结论。 本题也可利用泰勒公式证明。本题也可利用泰勒公式证明。 ( ,( ),( ,( )a f ac f c( )0,F( )( )( ),F aF cF b( )( )( )( )F xf xP xf x 抛物线2abc( ,( )b f b,a b第63页/共81页第六十三页，共81页。 设设 在在 上具有三阶连续导数，且上具有三阶连续导数，且 ，证明，证明(zhngmng)存在存在 使得使

23、得)(xf1,11,1 , ( 1)=0, (1)1,(0)0fff ( )3f举一反三举一反三(j (j y fn sn)y fn sn)练习练习提示提示(tsh(tsh)：需要构造三次多项式需要构造三次多项式P(x)P(x)使之满足：使之满足：( 1)0,(1)1,(0)0,PPP需再附加一个条需再附加一个条件：件：P(0)=f(0).P(0)=f(0).本题也可用泰勒公式证明。本题也可用泰勒公式证明。第64页/共81页第六十四页，共81页。第五类第五类 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内二阶可导，内二阶可导，证明证明(zhngmng)存在存在 ，使得，使得 或把或把max换成换

24、成min，其中，其中k为常数。为常数。)(xf,ba),(ba),(ba , , ( ),max( ),max |( )|xa bxa bfkfxkf xk第65页/共81页第六十五页，共81页。证明思路：证明思路： 在在 内选取某个特殊点内选取某个特殊点 (例如例如极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、区极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、区间中点等间中点等)，然后分别在，然后分别在 与与 上对上对 应用应用拉格朗日定理拉格朗日定理(dngl)，得到，得到 和和 ，再对，再对 在在 上应用拉格朗日定理上应用拉格朗日定理(dngl)。),(ba0 x,0 xa,0bx)(xf),(01xa),(02bx)(xf,21第66页/共81页第六十六页，共81页。(2)将将 在特殊点在特殊点 处展成二阶泰勒公式，再将处展成二阶泰勒公式，再将适当的适当