《流变学》 第三章 第一、二节

1、第三章、非线性粘弹流体的本构方程第三章、非线性粘弹流体的本构方程第一节、本构方程第一节、本构方程第二节、空间描述法和物质描述法第二节、空间描述法和物质描述法第三节、广义第三节、广义Maxwell模型模型聚合物具有多层次内部结构，当其在加工流场中受外聚合物具有多层次内部结构，当其在加工流场中受外力作用时，它们的变化相当复杂，表现出与之相关联力作用时，它们的变化相当复杂，表现出与之相关联的各种宏观流变行为。的各种宏观流变行为。v（1 1）不同类型流体的流动曲线）不同类型流体的流动曲线v（2 2）weissenbergweissenberg效应效应（3 3）出口胀大）出口胀大（4）二次流动 当聚合物

2、流动在一椭圆形截面的管子中流动时，除了轴向当聚合物流动在一椭圆形截面的管子中流动时，除了轴向流动外，还可能出现图中对称于椭圆两轴线的环流。称为流动外，还可能出现图中对称于椭圆两轴线的环流。称为二次流动。第二法向应力差的存在是出现二次流动的必要二次流动。第二法向应力差的存在是出现二次流动的必要条件。第二次法向应力差与聚合物大分子链被拉伸的程度条件。第二次法向应力差与聚合物大分子链被拉伸的程度相关。对于聚合物共混来说，为了更加达到均匀混合的目相关。对于聚合物共混来说，为了更加达到均匀混合的目的，二次流动的出现是有利的。的，二次流动的出现是有利的。（5 5）无管虹吸）无管虹吸第一节、本构方程概念第一

3、节、本构方程概念 本构方程本构方程描述一大类材料所遵循的与材料结构属性描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。相关的力学响应规律的方程。 不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：0 E胡克弹性体的本构方程为胡克弹性体的本构方程为牛顿流体的本构方程实质方程牛顿流体的本构方程实质方程为为理想气体的本构方程为理想气体的本构方程为 PV=nRTPV=nRT非牛顿流体的本构方程为非牛顿流体的本构方程为nK r(1)acabr01amk r 对于粘性流体，现在时刻的应力只依赖于现在时对于粘性流体，现在时刻的应力只依赖于现在时刻的形变速率张量，与

4、形变的历史无关。刻的形变速率张量，与形变的历史无关。1 1=2 2=0=0，为常数，称为牛顿流体。为常数，称为牛顿流体。=(=(), ),称为非牛顿流体。称为非牛顿流体。 对于粘弹性流体，对于粘弹性流体， 1 1和和2 2不等于不等于0 0，此时流体具，此时流体具有记忆特性，现在时刻的应力不仅与当前的形变有记忆特性，现在时刻的应力不仅与当前的形变速率张量有关，还与形变历史有关。速率张量有关，还与形变历史有关。对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任

5、务，这也是建立高分子材料流变学理重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。论的基础。关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两大类：关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两大类：速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。 所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速率张所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。量的时间微商，或同时包含这两个微商。所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变历史所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间

6、连续分布的模型的叠加来上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的叠加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。速率型本构方程 v一、经典的线性粘弹性模型一、经典的线性粘弹性模型 MaxwellMaxwell模型模型v已知高分子材料本体的线性粘弹行为可以用一已知高分子材料本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如些力学模型，如MaxwellMaxwell模型、模型、开尔文模型、开尔文模型、及它们的恰当组合进行描述。及它们的恰当组合进行描

7、述。v弹簧是最简单的弹性模型，粘壶是最简单的粘弹簧是最简单的弹性模型，粘壶是最简单的粘性模型，弹簧盒粘壶的组合构成粘弹性材料的性模型，弹簧盒粘壶的组合构成粘弹性材料的机械模型。机械模型。v弹簧满足线形弹性体的三个条件：弹簧满足线形弹性体的三个条件：v（1 1）应力与应变的响应是瞬时的：对突加载荷，）应力与应变的响应是瞬时的：对突加载荷，一旦加载，弹簧立即变形，一旦卸载，弹簧立一旦加载，弹簧立即变形，一旦卸载，弹簧立即恢复到原来的形状。即恢复到原来的形状。v（2 2）对线性弹簧，应力与应变成正比。）对线性弹簧，应力与应变成正比。v（3 3）应力和应变都不随时间而改变。）应力和应变都不随时间而改变

8、。 E一个具有一块平板浸没在一个充满粘度为一个具有一块平板浸没在一个充满粘度为 , ,符合牛顿流动定符合牛顿流动定律的流体的小壶组成的粘壶律的流体的小壶组成的粘壶, ,可以用来描述理想流体的力学行可以用来描述理想流体的力学行为为. .dtd Maxwell Maxwell模型模型: :特点特点: :两个单元串连而成两个单元串连而成, ,外力作用在此模外力作用在此模型上时型上时, ,弹簧和粘壶所受的外力相同弹簧和粘壶所受的外力相同, ,总应变等于两个应变之和总应变等于两个应变之和 : = 1+ 2弹粘v在一定得应力作用下，材料可以无限的变形，这在一定得应力作用下，材料可以无限的变形，这是粘性流体

9、的特征。是粘性流体的特征。MaxwellMaxwell模型瞬时响应呈现模型瞬时响应呈现弹性体的特征，而时间效应呈现粘性流体的特征。弹性体的特征，而时间效应呈现粘性流体的特征。当对该模型加荷时，总应力由弹簧和粘壶一起承担，当对该模型加荷时，总应力由弹簧和粘壶一起承担，而总的应变则是两者的加和。而总的应变则是两者的加和。开尔文模型v开尔文模型是由一个弹簧和一个粘壶并联而成。开尔文模型是由一个弹簧和一个粘壶并联而成。特点特点:两单元并联两单元并联. = 弹弹= 粘粘, = 粘粘+ 弹弹v开尔文模型是理想弹簧并联了一个粘壶，不能对开尔文模型是理想弹簧并联了一个粘壶，不能对应力或应变产生瞬时弹性效应。当

10、应力或应变产生瞬时弹性效应。当t t无穷时，开无穷时，开尔文模型的蠕变趋向于一条渐近线，这是粘弹性尔文模型的蠕变趋向于一条渐近线，这是粘弹性固体在稳定蠕变时的特征。固体在稳定蠕变时的特征。各种其他模型各种其他模型v设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。注意图中画出的是拉伸形变，我们想象在流场中，弹变。注意图中画出的是拉伸形变，我们想象在流场中，弹簧、粘壶发生剪切形变。簧、粘壶发生剪切形变。对弹簧有对弹簧有对粘壶有对粘壶有220r总应力总应力12总应变总应变式中式中t为应力对时间的一般偏微商为应力对时间的一般偏微商MaxwellM

11、axwell模型模型 是一个具有时间量纲的物理量是一个具有时间量纲的物理量, ,为为MaxwellMaxwell方程的特征时间常数方程的特征时间常数, ,叫应力松弛时间叫应力松弛时间. .EEE应力松弛过程总形变固定所以应力松弛过程总形变固定所以 EettdtEddtdEdtdt的变化形变固定时应力随时间将上式积分时当/00,0,010模型的价值模型的价值: :我们从松弛时间可以看出我们从松弛时间可以看出, ,它既与粘性系数有它既与粘性系数有关关, ,又与弹性模量有关又与弹性模量有关. .说明松弛过程是弹性行为和粘性行说明松弛过程是弹性行为和粘性行为共同作用的结果为共同作用的结果. .Maxw

12、ellMaxwell模型描述线性聚合物应力松弛模型描述线性聚合物应力松弛dtdEdtddtddtd121t=时， (t) = 0 0 /e 的物理意义为应力松弛到的物理意义为应力松弛到0 0 的的 1/e1/e的时间的时间-松弛时间松弛时间 t ，(t) 0 应力完全松弛应力完全松弛 用途用途: :描述应力松弛过程描述应力松弛过程: :当受到当受到F F作用作用, ,弹簧瞬时形变弹簧瞬时形变, ,而粘壶由而粘壶由于黏性作用来不及形变于黏性作用来不及形变, ,应力松弛的起始形变由理想弹簧提应力松弛的起始形变由理想弹簧提供供, ,并使两个元件产生起始应力并使两个元件产生起始应力 0 0, ,随后粘

13、壶慢慢被拉开随后粘壶慢慢被拉开, ,弹弹簧回缩簧回缩, ,形变减小形变减小, ,到总应力为到总应力为0.0.t t(t)Maxwell模型应力松弛曲线模型应力松弛曲线MaxwellMaxwell模型描述线性聚合物应力松弛模型描述线性聚合物应力松弛某聚合物受外力后，其形变按照下式某聚合物受外力后，其形变按照下式发展。式中，发展。式中，0为最大应力为最大应力;E(t)为拉伸到为拉伸到t时的模时的模量。今已知对聚合物加外力量。今已知对聚合物加外力8s后，其应变为极限后，其应变为极限应变值的应变值的13。求此聚合物的松弛时间为多少。求此聚合物的松弛时间为多少? 01tteE 0tE t 1tte 1t

14、te 8113e 20ts解： 当 01tteEv将上式写成三维形式，以张量表示，则有：将上式写成三维形式，以张量表示，则有：式中：式中：为应力张量中的偏应力张量；为应力张量中的偏应力张量；d为速度梯度张为速度梯度张量中的形变率张量，并有：量中的形变率张量，并有：() / 2TdLLL为速度梯度张量为速度梯度张量注意：假设形变过程中没有旋转，式中系数注意：假设形变过程中没有旋转，式中系数2的出现是的出现是由于采用了张量描述的缘故由于采用了张量描述的缘故.Maxwell模型张量式模型张量式例例1Maxwell1Maxwell模型用于描述稳态简单剪切流场模型用于描述稳态简单剪切流场 0000000

15、0Lx0002002000d简单剪切流场形式如图简单剪切流场形式如图速度场方程为速度场方程为：简单剪切流场中由于流场是稳定的，简单剪切流场中由于流场是稳定的，因此该点的应力状态不随时间变化，因此该点的应力状态不随时间变化，故有：故有： 对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为0tv代入式中得到：代入式中得到：1112132122233132330/202 0/200000rr将方程中等号两边张量的各个对应分量分别联立起来，就得将方程中等号两边张量的各个对应分量分别联立起来，就得到一个由九个方程组成的方程组。由此解得：到一个由九个方程组成的方程组。由此解得：122

16、102332133111222233000r只能描述只能描述 牛顿型流体的牛顿型流体的粘性行为，粘性行为，高分子液体在剪切速率极高分子液体在剪切速率极低情况下的流动状态。低情况下的流动状态。0002002000dvMaxwellMaxwell模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。别与方程中应力张量的导数形式有关。 v式中描述的应力变化的导数形式是应力对时间的一般偏微式中描述的应力变化的导数形式是应力对时间的一般偏微商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中体

17、系性质无变化的形变行为。对于描述高分子液体在大形体系性质无变化的形变行为。对于描述高分子液体在大形变下的非线性粘弹行为，必须对力张量的导数形式审慎定变下的非线性粘弹行为，必须对力张量的导数形式审慎定义和推广。义和推广。v另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位置）是大不相同的。为此我们首先介绍流体力学中描写材置）是大不相同的。为此我们首先

18、介绍流体力学中描写材料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典MaxwellMaxwell模型的推广。模型的推广。t10r 第二节、空间描述法和物质描述法 物质描述法物质描述法空间描述法空间描述法观察者的视点集中于一个具体的观察者的视点集中于一个具体的流体元及其邻域所发生的事件，流体元及其邻域所发生的事件，研究它在不同时刻所处的位置，研究它在不同时刻所处的位置，以及它的速度，加速度等，与通以及它的速度，加速度等，与通常力学中集中于一个质点的方法常力学中集中于一个质点的方法相同。相同。观察者的视点集中于坐标空间观察者的视点集中于坐标空间某一特

19、殊点及其邻域所发生的某一特殊点及其邻域所发生的事件，不针对一个具体的流体事件，不针对一个具体的流体元。元。拉格朗日描述法拉格朗日描述法欧拉描述法欧拉描述法在该方法中一般以流体元在参考在该方法中一般以流体元在参考构型中的物质坐标构型中的物质坐标 XR(R=1,2,3)XR(R=1,2,3)为为自变量，以便区别不同的材料元。自变量，以便区别不同的材料元。 在该方法中，往往以固定坐标在该方法中，往往以固定坐标系系Xi (i=1,2,3)Xi (i=1,2,3)的空间坐标为自的空间坐标为自变量。变量。v例如：设一流体元初始时刻在例如：设一流体元初始时刻在参考构型中的位置矢量为参考构型中的位置矢量为X

20、X，到，到t t时刻它运动到即时构型中的位时刻它运动到即时构型中的位置置x. x. 根据拉格朗日描述，流体根据拉格朗日描述，流体元在某一时刻元在某一时刻t t到达空间的位置到达空间的位置x x即与即与X X有关，所以有关，所以x x可以写成可以写成X X和时间和时间t t的函数，记成的函数，记成：(, )xx X t反过来，反过来，X X也可以记成也可以记成x x和时间和时间t t的函数的函数：( , )XX x tv式则确定了在时间式则确定了在时间t t占有占有空间位置空间位置x x的流体元在时的流体元在时间间t t所经历的位移。所经历的位移。 (, )(, )X tx X tX( , )(

21、 )( , )x tx tX x t式确定了由物质坐标式确定了由物质坐标X XR R决定决定的流体元在时间的流体元在时间t t的位移。的位移。采用物质描述时，以采用物质描述时，以X X为自变量，将为自变量，将当作物质坐标当作物质坐标X X和时间和时间t t的函数，记为：的函数，记为：设在时间设在时间t t内，流体元的位移矢量为内，流体元的位移矢量为有：有：(, , )( )X x tx tX而采用空间描述时，以而采用空间描述时，以x x为自变量，则为自变量，则是空间坐标是空间坐标x x和时间和时间t t的函数，记为：的函数，记为：v速度矢量：流体元的位移矢量的时间变化率。因为要针对速度矢量：流

22、体元的位移矢量的时间变化率。因为要针对一个具体的流体元求速度，所以应当采用物质描述一个具体的流体元求速度，所以应当采用物质描述, , 一个具一个具体流体元的物质坐标体流体元的物质坐标X XR R是常数，所以速度矢量等于：是常数，所以速度矢量等于：(, )(, )(, )du X tdx X tX tdtdt展开来写，可写成分量式展开来写，可写成分量式：(, )(, )(, )(1,2,3)iRiRRduXtdxXtXtidtdt这种导数因为是针对具体流体元而求的，这种导数因为是针对具体流体元而求的， 所以称为对时间的所以称为对时间的物质导数。物质导数。 若将这种物质导数用空间描述法表示若将这种

23、物质导数用空间描述法表示 ，则应把上式中的，则应把上式中的X X替替换成式中的换成式中的x, x,表达成表达成x x的函数。有：的函数。有： ( , )( , )( , )du x tDu x tx tdtDt记成式中式中为为x x和和t t的函数，而的函数，而x x又为又为t t的函数。的函数。v因此这个导数展开来写，有：因此这个导数展开来写，有：3311jiiiijjjjjxtxttxiD (x,t)Dt也称也称对时间求全导数，这是物对时间求全导数，这是物 质导数（物质微商）在空间质导数（物质微商）在空间描述法中的表示形式。式还可记成以下矢量形式：描述法中的表示形式。式还可记成以下矢量形式

24、：DDtt式中等号右边式中等号右边 第一项为第一项为对时间对时间t t的一般偏导数，第二项表示的一般偏导数，第二项表示为两个矢量的点积，为两个矢量的点积， 其中的矢量算符称作哈密尔顿算子，定其中的矢量算符称作哈密尔顿算子，定义义为：31231123jjjeeeexxxx ej ej为坐标轴的单位矢量。注意式只是一种记法，展开写应是为坐标轴的单位矢量。注意式只是一种记法，展开写应是 三个公式，分别相三个公式，分别相关于矢量关于矢量的三个分量，的三个分量，u uj j称作对称作对u uj j求梯度运算。求梯度运算。v对流动场中其他与流体元相关的物理量，若用空间描述对流动场中其他与流体元相关的物理量

25、，若用空间描述法表示其对时间的物质导数，都有类似的形式。法表示其对时间的物质导数，都有类似的形式。v例如应力张量得分物质微商可记为：例如应力张量得分物质微商可记为：31i ji jijkjkDTTTDTTTDttDttx或这这实际是九个方程的缩写。实际是九个方程的缩写。第三节、广义Maxwell模型 一、White-Metzner模型 v随流坐标系中，质点的随流坐标不变，为常随流坐标系中，质点的随流坐标不变，为常数，故此采用随流坐标对流体元的描述为数，故此采用随流坐标对流体元的描述为物物质描述。质描述。v随流坐标系中对形变的度量是通过计算在两随流坐标系中对形变的度量是通过计算在两个时刻个时刻(

26、t,t(t,t) ) 一个材料元中任何两个质点间一个材料元中任何两个质点间的距离变化来表示的。这种形变度量也必须的距离变化来表示的。这种形变度量也必须转换到固定的空间坐标系中，而且两个时刻转换到固定的空间坐标系中，而且两个时刻计算的质点间距离必须与固定的空间坐标系计算的质点间距离必须与固定的空间坐标系中的同一点相关。中的同一点相关。v在随流坐标系中，对物理量求时间导数时保持随流坐标不在随流坐标系中，对物理量求时间导数时保持随流坐标不变，因此对任何物理量所求的时间导数均为物质导数。变，因此对任何物理量所求的时间导数均为物质导数。vOldrovdOldrovd随流微商，记作随流微商，记作t t。但

27、是这种随流微商需要转换。但是这种随流微商需要转换到固定的空间坐标系中。二阶应力张量到固定的空间坐标系中。二阶应力张量T Tij ij的的OldrovdOldrovd随流随流微商转换到固定坐标系后的形式为微商转换到固定坐标系后的形式为：()()jii ji jk jikkkDTTTTtDtxx式中等号右边第一项为式中等号右边第一项为v二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以理解为在固定二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以理解为在固定坐标系中的某一材料元的应力张量对时间的变化率。坐标系中的某一材料元的应力张量对时间的变化率。v第二、三项中含有速度梯度的影响，速度梯度中含第二、三项中含有速度梯度

28、的影响，速度梯度中含 有形变有形变率张量率张量d d和旋转速率张量和旋转速率张量两部分，它描述了材料元对于固两部分，它描述了材料元对于固定坐标系的有限形变和旋转运动。定坐标系的有限形变和旋转运动。31i ji jkijkkkDTTTDttxvWhite-MetznerWhite-Metzner推广经典的推广经典的MaxwellMaxwell模型，其方法就是模型，其方法就是采用对应力张量求采用对应力张量求OldroydOldroyd随流微商代替一般偏微商以随流微商代替一般偏微商以及物质微商都不相同。及物质微商都不相同。v为检验为检验White-MetznerWhite-Metzner模型的说明能

29、力，将该模型用于模型的说明能力，将该模型用于描述稳态简单剪切流场：描述稳态简单剪切流场：12r x230v首先考察偏应力张量首先考察偏应力张量的的 OldroydOldroyd随流微商的具体表达式。随流微商的具体表达式。由于流动是稳定的，所以式中等号右边第一项由于流动是稳定的，所以式中等号右边第一项0i jt注意：这儿将偏应力张量分量注意：这儿将偏应力张量分量ij ij代替了原公式中代替了原公式中T Tij ij。又因。又因为为v v2 2=v=v3 3=0,=0,偏应力分量偏应力分量1212沿沿x x1 1方向无变化，故有方向无变化，故有0i jDt31i ji jkijkkkDDttxv于

30、是偏应力张量于是偏应力张量的的OldroydOldroyd随流微商写成：随流微商写成：()()jii ji jk jikkkDtDtxx11121311121321222321222331323331323311121311121300000000000000000000000000000i jjii jrrijtrrrrrr122223222320000jir 111213122223212223122313233230/20002 0/20000000rrr1111222121220200rrr 121200212 1rrrrr 1122即 （ ）-（ ）=代入模型得到代入模型得到对应得到

31、九个方程组成的方程组：对应得到九个方程组成的方程组：结构表明，结构表明，White-MetznerWhite-Metzner模型优于经典模型优于经典MaxwellMaxwell模型。除能够描述材料的粘性模型。除能够描述材料的粘性外，还预言了材料流动中存在法向应力差外，还预言了材料流动中存在法向应力差11 11-2222，这是流体具有弹性行为的标，这是流体具有弹性行为的标志。志。不足的是，不足的是， White-MetznerWhite-Metzner模型给出的材料粘度是常数粘度，给出的模型给出的材料粘度是常数粘度，给出的法向应力法向应力差值也是常数差值也是常数，这与高分子流体的实际性质有很大的

32、差别，说明模型本身仍有，这与高分子流体的实际性质有很大的差别，说明模型本身仍有很大的局限性。很大的局限性。 White-MetznerWhite-Metzner模型模型只适合于形变较小、非线性行为不太强的只适合于形变较小、非线性行为不太强的场合。场合。122223222320000ijrt 002002000d二、Dewitt模型 v另一种广义另一种广义MaxwellMaxwell模型模型DewittDewitt模型，是在模型，是在MaxwellMaxwell方程中对应力张量微商代替一般求时间微方程中对应力张量微商代替一般求时间微商这一项，用共旋随流微商代替一般偏微商，又称商这一项，用共旋随流

33、微商代替一般偏微商，又称JaumannJaumann微商。微商。ti jDTDt的意义为某一材料的应力张量对时间的变化率。第二、三项含有旋转速率张量第二、三项含有旋转速率张量ik ik, ,其值为其值为：1()2ikikkixx它代表了材料元对于固定坐标系的有限旋转它代表了材料元对于固定坐标系的有限旋转i ji jikjkjkikDTTTTtDtDewittDewitt推广推广MaxwellMaxwell模型，在模型，在MaxwellMaxwell方程中用对偏应力张量方程中用对偏应力张量求共旋随流微商代替一般偏微商，得到的求共旋随流微商代替一般偏微商，得到的DewittDewitt模型方程形模

34、型方程形式为式为102DdDtv已知下式描绘的稳态简单剪切流场中，旋转速度张量为：已知下式描绘的稳态简单剪切流场中，旋转速度张量为：0/ 20/ 200000rri ji jikjkjkikDtDt 式中计算式中的计算式中的JaumannJaumann微商：与在计算微商：与在计算OldroydOldroyd微商中同样微商中同样的原因，首先确定式中第一项等于的原因，首先确定式中第一项等于0 0，即，即0DDt12111213212223222131323332310/ 20/ 2/ 2 110/ 200/ 2/ 20000/ 2/ 20rrrjkikTrrrrr 第二、三项分别为：第二、三项分别

35、为：1222321121311222321121311323330/ 20/ 2/ 2/ 2/ 200/ 2/ 2/ 2000000rrrrikjkTrrrr 12112232112221313231()/21/2()/21/21/21/20i jt11121312112232212223112221313132333231()/21/21()/21/21/21/200/2 02 0 /200000rrr212012222211122011222222233011( )/(1)()()/2/(1)()()/(1)rrrrrrrrr 这样，方程可展开写成这样，方程可展开写成这同样是这同样是9 9

36、个方程组，解此方程组得到粘度和法向应力差系数为个方程组，解此方程组得到粘度和法向应力差系数为10r 002002000dv这一结果使人惊这一结果使人惊 奇，式描述了剪切粘度与法向应力差系数的剪切速奇，式描述了剪切粘度与法向应力差系数的剪切速率率 依赖性：依赖性：v当剪切速率当剪切速率r0r0时，材料表现出常数粘度时，材料表现出常数粘度0 0（牛顿性）和常数法向（牛顿性）和常数法向应力差系数；应力差系数；v当剪切速率升高，粘度和法向应力差系数均趋于下降，呈现出剪切当剪切速率升高，粘度和法向应力差系数均趋于下降，呈现出剪切变稀行为。变稀行为。v其次，公式表明，这里描述的液体是弹性液体其次，公式表明

37、，这里描述的液体是弹性液体, ,10, 10, 2020。v与大多数高分子液体的实验事实一致的还有公式给出的第一法向应与大多数高分子液体的实验事实一致的还有公式给出的第一法向应力差系数为正（力差系数为正（0)0)，第二法向应力差系数为负，第二法向应力差系数为负(0),( 2)2)。v这些结果，都只是因为我们将方程由实验室系推广到共旋随流坐标这些结果，都只是因为我们将方程由实验室系推广到共旋随流坐标系，并且对时间的微商采用了共旋随流微商而得到的。系，并且对时间的微商采用了共旋随流微商而得到的。2120122222111220 112222222330 11( )/(1)( )()/2/(1)(

38、)()/(1)rrrrrrrrr 1、经典的线性粘弹性模型Maxwell模型是由 和 串联而成。2、 Maxwell模型可用于描述哪些力学模型，还有哪些不足，怎样改进的？3、如何判断本构方程的优劣？三、其他类型的微分模型三、其他类型的微分模型vJeffreysJeffreys模型，方程形式为模型，方程形式为：102()2()ddtt模型的特点是在原始模型的特点是在原始MaxwellMaxwell模型基础上，引入对形变率张模型基础上，引入对形变率张量的偏微分，同时引入第二时间参数量的偏微分，同时引入第二时间参数 2 2，使材料常数成为三，使材料常数成为三个：个： 1 1, , 2 2,0 0Ol

39、droydOldroyd模型，方程形式为：模型，方程形式为：102()2()ddtt模型的特点是将模型的特点是将JeffreysJeffreys模型中的时间微商由一般偏微商推广模型中的时间微商由一般偏微商推广为为OldroydOldroyd随流微商。材料常数保留为三个：随流微商。材料常数保留为三个： 1 1, , 2 2,0 0广义广义JeffreysJeffreys模型，方程形式为：模型，方程形式为：102()2()DDddDtDt模型的特点是将模型的特点是将JeffreysJeffreys模型中的时间微商由一般偏微商推广模型中的时间微商由一般偏微商推广为为JaumannJaumann微商。

40、材料常数保留为三个：微商。材料常数保留为三个： 1 1, , 2 2,0 0OldroydOldroyd八常数模型，方程形式为八常数模型，方程形式为：该模型的时间微商采用该模型的时间微商采用JaumannJaumann微商微商, , 并设并设 置了八个常数：置了八个常数： 1 1， 2 2，u0,u1,u2,v1,v2,u0,u1,u2,v1,v2,0 0, ,用于考虑偏应力张量和应变张量的各种关系。其中前七个常用于考虑偏应力张量和应变张量的各种关系。其中前七个常数的量纲均为时间（数的量纲均为时间（s s）。运用此模型确实可以描写非牛顿型流体的可变粘度和法）。运用此模型确实可以描写非牛顿型流体的可变粘度和法向应力差效应，方程适用的范围也比较宽广。然而这