第八章线性离散系统分析

1、自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory 8 8 线性离散系统的分析线性离散系统的分析 8.1 8.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 8.2 z8.2 z变换理论变换理论 8.3 8.3 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.4 8.4 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差自动控制原理Automatic Control Theory 8.1 离散系统基本概念离散系统基本概念离散系统离散系统： 系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码计算机控制系统的优缺点计

2、算机控制系统的优缺点离散系统类型：离散系统类型：采样系统采样系统 时间离散，数值连续时间离散，数值连续数字系统数字系统 时间离散，数值量化时间离散，数值量化(1)(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；(2)(2)抗干扰性强；抗干扰性强；(3)(3)一机多用，利用率高；一机多用，利用率高；(4)(4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。(1)(1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能 会有所下降；会有所下降；(2)

3、(2)需附加需附加A/D, D/A转换装置。转换装置。自动控制原理Automatic Control Theoryp计算机控制系统计算机控制系统 analogdigital 自动控制原理Automatic Control Theory(1) A/D 采样过程采样过程按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。采样开关。 字长足够字长足够 认为认为 e*(kt)=e(kt) t T t T 认为采样瞬时完成认为采样瞬

4、时完成理想采样过程理想采样过程自动控制原理Automatic Control Theory理想采样序列理想采样序列 0)()(nTnTtt 0)()(nnTtte )()()(*tteteT )()(*teLsE 0)()(nnTtnTe 0)()(nnTtnTeL 0)(nnTsenTe自动控制原理Automatic Control Theory（2 2）计算过程描述）计算过程描述 零阶保持器零阶保持器 (ZOH)（3 3）D/A 过程过程自动控制原理Automatic Control Theory计算机控制系统的描述方法计算机控制系统的描述方法 自动控制原理Automatic Contro

5、l Theoryp香农香农采样定理(shannon定理定理)如果对一个具有有限频谱如果对一个具有有限频谱(-maxsmax)的连续信号进行采样，的连续信号进行采样，只有当采样频率只有当采样频率s 2 max的条件下，采样得到的离散信号的条件下，采样得到的离散信号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。说明说明：根据采样定理，在满足根据采样定理，在满足s s 2 2 maxmax的条件下，离散信的条件下，离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，可以用具有如图特性的理想滤号的频谱彼此互不重叠。这时，可以用具有如图特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，

6、从而无失真地恢复原有波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。的连续信号。频谱频谱任一信号可以看成是由一些正弦信号叠加而成，这些任一信号可以看成是由一些正弦信号叠加而成，这些正弦信号的幅值与频率的关系就是信号的频谱。正弦信号的幅值与频率的关系就是信号的频谱。自动控制原理Automatic Control Theory离散信号频谱的求取（一）离散信号频谱的求取（一）*k=0k=0e(t)e (t) =e(kT)(t-kT(t-kT)Tk=0 (t) =(t-kT)为周期函数，可展开成复数形式的傅氏级数为周期函数，可展开成复数形式的傅氏级数20201111TTdtdtTTT

7、TssssjntjntTnk=0n=-n=-jnt-jntnk=0C =(t-kT) (t) =(t-kTe )(t eC ee11TTssjnt*njntn -=-e (t=)e(t)e= e(t)e自动控制原理Automatic Control Theory离散信号频谱的求取（二）离散信号频谱的求取（二）1Ts*jntn=-=e(t)ee (t)左右两边拉氏变换左右两边拉氏变换111TTTsjntn=-ssn=-n=-*= Le(t)eE(sjn)E(sjn)E (s)+1T*sn=-=E(j+ jn)E (j )离散信号的频谱离散信号的频谱自动控制原理Automatic Control

8、Theory连续信号连续信号e(t)与离散信号与离散信号e*(t) 的频谱分析的频谱分析)(1)(* nsjnsETsE 0*)()(nnTsenTesE连续信号连续信号 )(te离散信号离散信号 )(* teF FF F自动控制原理Automatic Control TheoryhsT 22 香农香农(Shannon)采样定理采样定理 信号完全复现的必要条件信号完全复现的必要条件hsT 22 理想滤波器理想滤波器采样开关采样开关hs 2 hsT 22 hT 自动控制原理Automatic Control Theory通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分通常把具有恒值、线性和抛物线外

9、推规律的保持器分别称为别称为零阶、一阶和二阶保持器零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常。其中最简单、最常用的是零阶保持器。用的是零阶保持器。零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻把前一采样时刻nTnT的采样值的采样值e e(nT(nT) )不增不减地保持到不增不减地保持到下一采样时刻下一采样时刻(n+1)T(n+1)T。上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。以实现的滤

10、波器。保持器是一种时域的外推装置，即保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现在的采样值进行外推。根据过去或现在的采样值进行外推。自动控制原理Automatic Control Theoryp零阶保持器零阶保持器setkLsGTsh 1 )()()( 1)( 1)(Ttttk 零阶保持器的单位脉冲响应零阶保持器的单位脉冲响应 h-jT-jT-jT 2jT 2jT 2-jT-jT2-j22T/2e-e2 jT/ 2G (j)= Tesin(T/ 2)= T(T/1-e=jTee-e=jTe2)零阶保持器零阶保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=3自动控制原理Automatic Control

11、Theory零阶保持器对系统的影响零阶保持器对系统的影响sesGTsh 1)(2Tse 自动控制原理Automatic Control Theory8.2 Z变换变换 0*)()(nnTsenTesE)( 1)(tte 例例1 1 ，求，求 )(*sE 0*1)(nnTsesE解解 TsTsee21aTTsTsTaseeee )(11atete )(例例2 2 ，求，求 )(*sE 0*)(nnTsanTeesE解解 111 TsTsTseee 0)(nnTase自动控制原理Automatic Control Theory8.2.1 Z变换变换 定义定义 0*)()()()(nnezznTes

12、EtezETs注：注： 原像原像像像 :)( :)(*tezE)()()()()(*teZsEZsEZtezE z 变换只对离散信号而言变换只对离散信号而言E(z) 只对应惟一的只对应惟一的e*(t)，不对应惟一的，不对应惟一的e (t)说明：说明：Z变换式只能表征连续函数在采样时刻的特性，变换式只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。而不能反映其在采样时刻之间的特性。习惯上称习惯上称 E(z)是是e(t)的的z变换，指的是经过采样后变换，指的是经过采样后x*(t)的的z变换变换。采样函数。采样函数e*(t)所对应的所对应的z变换是唯一的，反之亦然。但是，一个离变换

13、是唯一的，反之亦然。但是，一个离散函数散函数e*(t)所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无穷多个。穷多个。自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory8.2.2 Z变换变换 的方法（一）的方法（一）p 级数求和法（定义法）级数求和法（定义法）120( )()(0)( )(2 )()kkkE ze kT zeeT ze T ze kT z其为离散函数其为离散函数z z变换的一种表达形式。只要已知连续变换的一种表达形式。只要

14、已知连续函数在采样时刻函数在采样时刻kTkT( (k k=0,1,2,3, =0,1,2,3, ,),)的采样值便可的采样值便可求取离散函数求取离散函数Z Z变换的级数展开式。对常用离散函数变换的级数展开式。对常用离散函数的的Z Z变换应写成级数的闭合形式。变换应写成级数的闭合形式。自动控制原理Automatic Control TheoryZ变换变换 级数求和法级数求和法示例示例（1 1）Ttate )(例例2例例1 1 azzzazazEnnn 1011)( tjtjeejtte 21sin)( 021)(nnnTjnTjzeejzE 011)()(21nnTjnTjzezej 11111

15、121zezejTjTj TjTjezzezzj 211)()(212 zeezeezjTjTjTjTj 1cos2sin2 zTzTz 自动控制原理Automatic Control TheoryZ变换变换 级数求和法级数求和法示例示例（2 2）tte )(例例3 3 321032)(zzzTzTnzEnn 43232zzzTz 321zdzdzdzdzdzdTz 321zzzdzdTz 2111zzzdzdTz 1111zzdzdTz解解. . 11zdzdTz2)1( zTz自动控制原理Automatic Control TheoryZ Z变换表变换表常见函数的常见函数的z变换变换 )(

16、te)(zE Tta)()( 1)(tttT tt cossintaTe 1)1( zz)1( zz2)1( zTz)(azz )(aTezz )1cos2(sin2 TzTz )1cos2()cos(2 TzTzz 自动控制原理Automatic Control Theory8.2.2 Z变换变换 的方法（二）的方法（二）p 部分分式法（查表法）部分分式法（查表法）1( )niiiAX sspiipsAiipTzAze1( )inip TizX zAzetpiieA自动控制原理Automatic Control TheoryZ变换变换 部分分式法部分分式法示例示例)(1)(bsassE 例例

17、4 4 asbsbabsasbsasbasE111)()()(1)(解解. . , ,求求E(z)=? 11111( )11bTaTE zabezez aTbTezzezzba1自动控制原理Automatic Control Theory8.2.3 Z Z变换的性质变换的性质 )()()()(21*2*1zEbzEatebteaZ 1.1. 线性性质线性性质 )()(zEznTteZn 2.2. 实位移定理实位移定理 延迟定理延迟定理 10)()()(nkknzkTezEznTteZ 超前定理超前定理自动控制原理Automatic Control Theory)(lim)(lim0zEnTez

18、n 3.3. 初值定理初值定理 )()1(lim)(lim1zEznTezn 4.4. 终值定理终值定理 )()1(lim)(1zEzTez 例例208. 0416. 0)1(792. 0)(22 zzzzzE自动控制原理Automatic Control Theory8.2.4 z8.2.4 z反变换反变换Z 反变换方法反变换方法长除法（幂级数法）长除法（幂级数法）查表法（部分分式展开法）查表法（部分分式展开法）留数法（反演积分法）留数法（反演积分法）zzE)(以以 的形式展开的形式展开 1)(Res)( nzzEnTe说明：长除法（幂级数法）说明：长除法（幂级数法）1z120121212(

19、 )()1mmnnbb zb zb zE zmna za za z*00( )() ( )() ()kkkE ze kT ze te kTtkT自动控制原理Automatic Control Theory长除法长除法在进行综合除法之前，必须先将在进行综合除法之前，必须先将E(z)的分子，分母多项式按的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。的降幂形式排列。实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。因此用这种实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。因此用这种方法计算方法计算e*(t)最简便，这是该方法优点之一。最简便，这是该方法优点之一。要从一组要从一组e(kT)值中求出通项表达式，一般是比较困难

20、的。值中求出通项表达式，一般是比较困难的。在在z变换表中，所有变换表中，所有z变换函数变换函数X(z)在其分子上都普遍含有因子在其分子上都普遍含有因子z，所以应将所以应将X(z) /z展开为部分分式，然后将所得结果每一项都乘展开为部分分式，然后将所得结果每一项都乘以以z，即得，即得X(z)的部分分式展开式。的部分分式展开式。自动控制原理Automatic Control TheoryZ Z反变换示例（反变换示例（1 1）长除法长除法2310)(2 zzzzE解法解法I: :)2)(1(10)( zzzzE例例1 1 ，分别用三种方法求，分别用三种方法求 e*(t)。110 zz10102030

21、10 zzz210609030 zzz102030 zz216070 zz32114021070 zzz32140150 zz232 zz 4321150703010zzzz )4(150)3(70)2(30)(10)(*TtTtTtTtte ( (长除法长除法) ) 230 z370 z4150 z自动控制原理Automatic Control TheoryZ Z反变换示例（反变换示例（1 1）部分分式法部分分式法2310)(2 zzzzE 0*)()()(nnTtnTete 解法解法II: (: (查表法查表法 部分分式展开法部分分式展开法) ) 2310)(2 zzzzE)2)(1(10

22、 zz112110 zz1210)( zzzzzE 0)()12(10nnnTt 1210)(TtTtte )2)(1(10)( zzzzE例例1 1 ，分别用三种方法求，分别用三种方法求 e*(t)。自动控制原理Automatic Control TheoryZ Z反变换示例（反变换示例（1 1）留数法留数法2310)(2 zzzzE 0*)()()(nnTtnTete 解法解法III: (: (留数法留数法 反演积分法反演积分法) ) 0)()12(10nnnTt 1)(Res)( nzzEnTe )2)(1(10)2(lim)2)(1(10)1(lim1211zzzzzzzzzznznz

23、 110lim210lim21zzzznznzn21010 )12(10 n)2)(1(10 zzz)2)(1(10)( zzzzE例例1 1 ，分别用三种方法求，分别用三种方法求 e*(t)。 1)(Res)( nzzEnTe自动控制原理Automatic Control TheoryZ Z反变换示例（反变换示例（2 2）部分分式法部分分式法) 1 . 0)(8 . 0()(2 zzzzE例例2 2 ，分别用查表法、留数法求，分别用查表法、留数法求e*(t)。 0*)(7/ )1 . 08 . 08()(nnnnTtte 查表法：查表法：)1 . 0)(8 . 0()( zzzzzE78)1

24、 . 0(lim8 . 01 zzCz7/ )1 . 08 . 08()(nnnTe )1 . 0()8 . 0(21 zCzC71)8 . 0(lim1 . 02 zzCz)1 . 0(71)8 . 0(78 zz)1 . 0(71)8 . 0(78)( zzzzzE7/ )1 . 08 . 08()(TtTtte 自动控制原理Automatic Control TheoryZ Z反变换示例（反变换示例（2 2）留数法留数法 0*)()1 . 0718 . 078()(nnnnTtte 留数法：留数法：7 . 01 . 07 . 08 . 011 nn 1)(Res)( nzzEnTe )1

25、 . 0)(8 . 0()8 . 0(lim)(128 . 0zzzzznTenz )1 . 0)(8 . 0()1 . 0(lim121 . 0zzzzznz) 1 . 0)(8 . 0()(2 zzzzE例例2 2 ，分别用查表法、留数法求，分别用查表法、留数法求e*(t)。自动控制原理Automatic Control Theory8.3 8.3 离散系统的数学模型离散系统的数学模型脉冲传递函数脉冲传递函数)()()(zRzCzG 脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义：零初始条件下离散系统输出：零初始条件下离散系统输出z z变变换对输入换对输入z z变换之比变换之比说明说明：多数实际采样系统

26、的输出信号是连续信号，在这种情况：多数实际采样系统的输出信号是连续信号，在这种情况下，可以在输出端下，可以在输出端虚设一个采样开关虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期以相同的采样周期T T同步工作。同步工作。脉冲传递函数的脉冲传递函数的局限性：局限性：(1) (1) 原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息；原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息；(2) (2) 一般只适合描述单输入单输出离散系统；一般只适合描述单输入单输出离散系统；(3) (3) 只适合用于描述线性定常离散系统。只适合用于描述线性定常离散系统。自动控制原理Automatic Co

27、ntrol Theory自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory( (求求闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数一般不能用一般不能用Mason公式公式)自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理Automatic Control Theory自动控制原理A

28、utomatic Control Theory教材教材P351求闭环脉冲传递函数的方法示例求闭环脉冲传递函数的方法示例1)()(1)()()(2121zHGzGzGzGz自动控制原理Automatic Control Theory21( )( )( )C sG s Es)()()(11sEsGsE)()()(11sEsGsE21( )( )( )( )C sG s Gs Es21( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )E sR sH s C sR sH s G s Gs Es)()()()()(12sEsGsHGsRsE12( )( )1( )( )RsEsGs HGs自动控制

29、原理Automatic Control Theory212112( )( )( )( )( )( )( )1( )( )Gs Gs R sCsGs Gs EsGs HGS1212( )( )( )( )( )1( )( )G z G zC zzR zG z HG z自动控制原理Automatic Control Theory教材教材P351求闭环脉冲传递函数的方法示例求闭环脉冲传递函数的方法示例2( )R s( )E s( )C s( )Cs( )Cs自动控制原理Automatic Control Theory( )( ) ( )C sG s E s( )( )( )( )E sR sH s

30、Cs( )( )( )( )C sGR sGHs C s( )( )1( )RG zC zGH z( )( ) ( )( )( )( )C sG s R sG s H s Cs自动控制原理Automatic Control Theory教材教材P351求闭环脉冲传递函数的方法示例求闭环脉冲传递函数的方法示例3例例3 设闭环离散系统结构如图设闭环离散系统结构如图,试求其输出采样信号试求其输出采样信号的的Z变换函数。变换函数。图图 闭环系统结构图闭环系统结构图 自动控制原理Automatic Control Theory*12E sR sE s G s G s H s( )( )( ) ( ) (

31、 ) ( )*12E sR sE s G s G Hs( )( )( ) ( )( )*121R sE sG s G Hs( )( )( )( )*12C sE s G s G s( )( ) ( ) ( )*12*121G s G s R sC sG s G Hs( ) ( ) ( )( )( )( )1212121211G z G z R zG z G zC zR zG z G H zG z G H z( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )22G H zZ G s H s( )( ) ( )自动控制原理Automatic Control Theory8.4

32、 8.4 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件 闭环脉冲传函闭环脉冲传函 (z)的全部极点均位于的全部极点均位于z z平面的单位圆内平面的单位圆内 8.4.1 线性采样系统的稳定性线性采样系统的稳定性稳定性是指线性采样系统的重要问题，一个系统只有稳稳定性是指线性采样系统的重要问题，一个系统只有稳定才能正常工作。线性连续系统稳定的充要条件是系统定才能正常工作。线性连续系统稳定的充要条件是系统的特征方程的根全部位于的特征方程的根全部位于s s平面的左半部。平面的左半部。这一概念也这一概念也适用于线性采样系统。适用于线性采样系统。线性采样系

33、统特征方程可以令脉线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而得到，特征方程根的位置就确冲传递函数的分母为零而得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定定了系统是否稳定。自动控制原理Automatic Control TheorysTz =esj TezzT 0 1 0 1 0 1 zzz11wzw自动控制原理Automatic Control TheorysTze自动控制原理Automatic Control TheorysTz = ez +1w =z -1自动控制原理Automatic Control Theory根据复变函数双线性变换公式，令根据复变函数双线性变换公式，令w +1z

34、 =w -1z +1w =z-1式中式中z和和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即加的形式，即jvuwjyxz222222222222x+ jy+1x +y -12yw =- jx+ jy-1(x-1) +y(x-1)x +y -12yu =, v = -(x-1) +y(x-1)y+y+自动控制原理Automatic Control Theory222222222222222222x +y -1z =x +y =1,u = 0(x-1) +yx +y -1z =x +y 1,u =1,u = 0(x-1) +yw域中的劳斯判据域中的劳斯判

35、据：在线性采样系统中，对在线性采样系统中，对z的有理多的有理多项式，经项式，经 的双线性变换，得到的双线性变换，得到w的代数方程的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s平面下的劳斯平面下的劳斯判据，称判据，称w平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。11wzw自动控制原理Automatic Control Theory离散系统的稳定性判据示例（离散系统的稳定性判据示例（1 1）例例1 离散系统结构图如图所示，离散系统结构图如图所示， T=1,求使系统稳定的求使系统稳定的K值范围。值范围。 )1(1)(ssKseZzGTs解法解法I w域中的域中的Routh判据判据 )1(1)1(21ssZKz 1111)1(2sssZ