数学数乘向量北师大必修实用教案

1、1. 1.向量向量(xingling)(xingling)加法加法的三角形法则的三角形法则回顾回顾(hug)旧知旧知:2.向量向量(xingling)加法的平行四边形法则加法的平行四边形法则3.向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）第1页/共19页第一页，共19页。实际(shj)背景,33一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量那么在同方向上 秒的位移对应的向量用表示，试画出该向量。aaaa3第2页/共19页第二页，共19页。探索探索(tn su)1:根据根据(gnj)向向量加法的法则量加法的法则可得可得3a3a第3页/共19页第三页，共19页。OaaaABC3a 由图可知，向量由图

2、可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把我们把a+a+a记记作作3 a，即，即OC=3a. 显然，显然，3a的方向与的方向与a的方向相同，的方向相同，3a 的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |.第4页/共19页第四页，共19页。PQaMaNa3a由图可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3 a，即PN= - 3a显然，显然，-3a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，-3a的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。第5页/共19页第五页，共

3、19页。| | | |;aa（1 1） 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做个向量，这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下：aa（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a思考思考:向量数乘和实数向量数乘和实数(shsh)乘法有那些相同点乘法有那些相同点?那些不同点那些不同点? a 是一个向量；是一个向量； a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对

4、值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。第6页/共19页第六页，共19页。a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2探索探索(tn su)2:第7页/共19页第七页，共19页。设设 为实数，那么为实数，那么, ( (1 1) ) ( ( a a) ) = = ( ( ) )a a; ;( (2 2) )( ( + + ) )a a = = a a + + a a; ;( (3 3) ) ( (a a + + b b) ) = = a a + + b b. .特别特别(tbi)的，我们有的，我们有 ( (- - ) )a a= =- -( ( a a) )= = (

5、(- -a a) ), , ( (a a- -b b) )= = a a- - b b. . 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有恒有1 12 2 、 、 1111.abab （）=a a 、 b b第一第一(dy)分配律分配律第二第二(d r)分配律分配律第8页/共19页第八页，共19页。例例1.计算计算(j sun)：( 3) 4 ;3() 2();(23) (32).aa ba baab cab c (1)(2)(3)NoImage 1122 5352ababc解：第9页/共1

6、9页第九页，共19页。1 2 263 )3( 342 );(2)3()2(2 )4()0.abcabcxaxaxabx巩固练：计算：（） （已知求习cbacba612961241）原式解：（a13043044442332baxbaxaxax）（bax43 第10页/共19页第十页，共19页。例例2第11页/共19页第十一页，共19页。第12页/共19页第十二页，共19页。探索3 3如图：已知 ， ，试判断 与 是否共线 ABAD 3BCDE3 ACAEBCAB 33 BCAB 3AC 3ABDEC 与 共线 AEACDEADAE 解：解：第13页/共19页第十三页，共19页。思考思考(sko)

7、:第14页/共19页第十四页，共19页。向量向量(xingling)共线共线定理定理 对于向量对于向量a （ a 0 ）、）、 b ，如果有一个实数，如果有一个实数 ，使使 b = a ，那么由实数与向量的积的定义知，那么由实数与向量的积的定义知， a与与b共线共线. 反过来，已知向量反过来，已知向量a与与b共线，共线， a 0 ，且向量，且向量b的长度是向量的长度是向量a的的倍，即倍，即| b | a |= ，那么当，那么当向量向量a与与b同方向时，有同方向时，有b = a ，当向量，当向量a与与b反方反方向时，有向时，有b = - a . 也就是说：如果也就是说：如果a与与b共线，那么有且只有一共线，那么有且只有一个实数个实数 ，使，使b = a .第15页/共19页第十五页，共19页。例例3:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的的中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一点， ，求证求证M、N、C三点共线三点共线.BDBN31 AMBCDN613121 MM C C = = 3 3 MM N N 所以