数学重积分讲座实用教案

1、0.20.40.60.811.21.40.511.521D2DR，很明显很明显21DDD 由此由此,可以可以(ky)画出直角系画出直角系下的积分区下的积分区域的图形，域的图形，2Ry0, yx0)y, x(D1 Ry2R,yRx0)y, x(D222 0.20.40.60.811.21.40.511.52rD第1页/共39页第一页，共39页。 xy22D)yx(dxdyeI r2Drrdrde R0r2/4/rdred2R0r)e21(42 )e1(82R 第2页/共39页第二页，共39页。例例 2.:,22222)(Rzyxzyxdv 其中其中求求解解Rrrzyxzyxzyxdrdddvdv

2、zxyzxydvR5202020222222254sin0)(2)()( 对对称称性性第3页/共39页第三页，共39页。.xyz3)zyx(3222所围立体的体积所围立体的体积求求 例3解 cossincossin3r23 cossin2sin2320 第4页/共39页第四页，共39页。 2 2 23 2o第5页/共39页第五页，共39页。由对称性由对称性 14dVV 2020cossin2sin230232sin drrdd32 第6页/共39页第六页，共39页。例例4 计算计算(j sun) v2,dv)zyxcos()zyx(.10 , 10 , 10),(zyxzxyxzyxV第7页/

3、共39页第七页，共39页。解解 曲面坐标变换的目的曲面坐标变换的目的, (1)使积分使积分(jfn)区域变区域变 得尽量简单得尽量简单, (2)简化被积函数及计算。简化被积函数及计算。引入坐标引入坐标(zubio)变换：变换：zyxw,zxvyxu )z, y, x()w, v,u( 111101011 3 dxdydz)zyxcos()zyx(I2v v2dudvdw)w,v,u()z,y,x(wcosw第8页/共39页第八页，共39页。dw31wcoswdvdu1021010 dwwcosw31102 102wsin61 1sin61 第9页/共39页第九页，共39页。0.511.520.

4、20.40.60.811.2z例例5 5 设心脏设心脏(xnzng)(xnzng)线的方程为线的方程为),cos1(ar , 0a,0 求它与极轴围成的平面求它与极轴围成的平面(pngmin)图形绕极轴所得图形绕极轴所得(su d)旋转体的体积。旋转体的体积。解解若视极轴为若视极轴为 z z 轴，则轴，则极坐标极坐标 恰好是球坐标恰好是球坐标, r的的,:范范围围对对于于旋旋转转体体应应为为而而球球坐坐标标 .20 于是体积于是体积第10页/共39页第十页，共39页。 dvV )cos1(a02020dsindd 033dsin)cos1(3a2 0434)cos1(3a23a83 第11页/

5、共39页第十一页，共39页。例例6).0( F,dxdy)yx(f) t (F, 1)0(f ,)u(f222tyx22求求令令连续连续设设 解解 t0220rdr)r(fd) t (F t02rdr)r(f2)t (tf2) t (F2 0)0(F 得得连续连续由由,)u( f)0t (t)0( F) t ( Flim)0( F0t t)t (tf2lim20t 2第12页/共39页第十二页，共39页。例7第13页/共39页第十三页，共39页。第14页/共39页第十四页，共39页。解：解： 11111)()()(3dxxgdyxyfdxdxdyxyfxD所围成的平面区域，所围成的平面区域，是

6、由是由为奇函数，为奇函数，设设1, 1)(3 yxyxDuf D3dxdy)xy( fx求求 1133)()()(xtyxdtxtfdyxyfxg而而0)( Ddxdyxyf DDdxdyxdxdyxyfx33)(7211133 xdydxx 11111)()()()(3dtxtfxgdtxtfdtxtfx)(xg 例8第15页/共39页第十五页，共39页。二二. 证明题证明题第16页/共39页第十六页，共39页。:,1|,)(证明证明确定确定由由区域区域为连续函数为连续函数设设 xyDuf例例1dx)x(xf)x1arccos4(dx)x(xfdxdy)( fI2110D22yx 分析分析:

7、 :要证明的等式右端是定积分要证明的等式右端是定积分, ,且且被积函数中有被积函数中有 项项, ,故需将故需将 看看成一整体成一整体. .)(xfyx22 第17页/共39页第十七页，共39页。xy )(22,22) 1 , 1(D12D11证明证明(zhngmng): (zhngmng): 采用极坐标采用极坐标. 1r,DDD,DD121111 分分界界线线为为在在第第一一象象限限的的部部分分为为设设将式中将式中r r的换成的换成x,x,即得证即得证. . 1D22dxdy)yx( f4I由对称性知由对称性知dxdy)yx( fdxdy)yx( f 41211D22D22 4r1arccos

8、211040d)r (rfdrdr)r (rfd 4 2110dr)r (rf)r1arccos4(dr)r (rf第18页/共39页第十八页，共39页。例例2 2 dxdyexfyxyfxf1)()(22, 1 , 0)(证明证明上可积上可积在在设设证证)0(1! 212之间之间于于介于介于xxxexex )y( f)( f1)y(f)(f xex 1x1x)y(f)(f2222)y( f)( f1(yyxdxdyxdxdye 1x1x2222)y( f)x( fyydxdydxdy第19页/共39页第十九页，共39页。.Ryx:D)ba(R21dxdy)y()x()y(b)x(a) t (

9、222D2 其中其中为连续正值函数，证明为连续正值函数，证明设设证明证明(zhngmng)：由积分区域由积分区域D关于关于(guny)y=x对称，所以对称，所以， DDdxdy)y()x()y(dxdy)y()x()x(从而从而(cng r) Ddxdy)y()x()y(b)x(a例3dxdy)y()x()y()x()ba(D )ba(R212 第20页/共39页第二十页，共39页。.)()(1)(:, 0)()(2,abdxxfdxxfxfCxfbababa 证明证明且且设设例4解解：dxxfdxxfIbaba )(1)(dyyfdxxfbaba )(1)(dxdy)y( f1)x( fby

10、abxa 第21页/共39页第二十一页，共39页。 DdxdyxfyfyfxfI)()()()(21 Ddxdy2212)(ab 第22页/共39页第二十二页，共39页。例例4 4 . 1dyedxe:,1 , 0C)x( f10)y(f10)x(f 证明证明设设dyedxeyfxf 10)(10)(:证证 1y01x0)()(dxdyeyfxf 1y01x0)()()()()(21dxdyeexfyfyfxf1221 Ddxdy第23页/共39页第二十三页，共39页。例例4 )()dx)x()(dx)x(dx)x(g)x(f:ba2ba2ba2gf施施瓦瓦兹兹不不等等式式柯柯西西证证明明 证

11、证)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dyydxxbabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyyxDgf 同理同理)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dxxdyybabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyxyDgf 第24页/共39页第二十四页，共39页。dxdyxyIDgfygxf)()(222)()(22 则则dxdyxgyfDygxf)()()()( 2 dyygyfdxxgxfbaba )()()()(2)()(22dxxgxfba )()()()()(222(dxxdxxdxxgxfbababagf 故故第25

12、页/共39页第二十五页，共39页。例例5 5 ).0t ( ,dxxt)x(ft2dxxt)x( f:,1 , 0C)x( f1022221022 证明证明设设:证证dxxt)x(fxtdx102221022 210222221022dxxt1xt)x( fdxxt)x( f dxxt)x(ft1arctant110222 dxxt)x(ft210222 第26页/共39页第二十六页，共39页。例例 6,)x( f单调减少且恒大于零单调减少且恒大于零在上连续在上连续设函数设函数 1010210102dx)x( fdx)x(fdx)x(xfdx)x(xf证明：证明：分析分析(fnx)： 1021

13、010102dx)x(xfdx)x(fdx)x(xfdx)x(f只只要要证证明明 1021010102dy)y(yfdx)x( fdy)y(yfdx)x(f即即证证0dxdy)y( f)x( fy)y( f )x( f I1010 即即证证第27页/共39页第二十七页，共39页。dxdy)x( f)y( fx)x( f )y( f I1010 同同理理dxdy)y(f)x(fxy)y(f )x(fI21010 于于是是0)y(f)x(f)xy(0f)x(f 可可保保证证的的单单调调性性及及由由则本题则本题(bnt)得证得证.第28页/共39页第二十八页，共39页。例例7:, 1yxD22试证明

14、不等式试证明不等式为为设设 .52dxdy)yx(sin16561D322 证明证明(zhngmng)drrsinr2dxdy)yx(sinI103D322 drrrr)(2103!39 ，而而 16561dr)!3rr(r21093 52drr2104.52dxdy)yx(sin16561D322 故故第29页/共39页第二十九页，共39页。例例 8.)z,y, x(f,tzyx:,dxdydz)z,y, x(ft31lim22220t1上连续上连续在在求求 证证由积分由积分(jfn)中值定理中值定理有有)00 , 0(f， 3t4),(fdxdydz)z,y, x(f3 3),(f4lim

15、dxdydz)z,y, x(ft31lim0t0t1 则则第30页/共39页第三十页，共39页。设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .例9证 tdxxftF0)()(设设, 0)0(F 于于是是dyxFyFyfxfdxIx)()()()(101 1110 xxdyxFyfxfdyyFyfxfdx)()()()()()(101101221dxyFxFxfdxyFxfxx| )()()(| )()(第31页/共39页第三十一页，共39页。 1022dx)x(F)1(F)x(F)x( f)x(F)1

16、(F21)x( f 1022dx)1(F)x(F)x( f)x(F)x( f21)1(F)x( f21 102dx)1(F)x(F2)x( f 102)1(F)x(Fd)1(F)x(F21103|)1(F)x(F61 310dx)x( f61 第32页/共39页第三十二页，共39页。例10 tt2) t (D22) t (D22) t (222dx)x( fd)yx( f) t (G,d)yx( fdv)zyx( f) t (F.tyx| )y, x() t (Dtzyx| )z, y, x() t (2222222 其中其中连续且大于零，连续且大于零，设函数设函数)x( f.), 0() t

17、 (F)1(内的单调性内的单调性在区间在区间讨论讨论).t (G2) t (F,0t)2( 时时证明当证明当第33页/共39页第三十三页，共39页。 ttrdrtfdrrtrtfttftF022022)()()()(2)( , 0)x( F), 0( 上上所以在所以在.), 0() t (F内单调增加内单调增加在在故故 2002002220)(sin)()(ttrdrrfddrrrfddtF,)()(202022 ttrdrrfdrrrf解解)1(第34页/共39页第三十四页，共39页。证证)2(,)()()(0202 ttdrrfrdrrftG ),t (G2) t (F0t 时时要证明要证

18、明因因, 0) t (G2) t (F,0t 时时只需证明只需证明.0rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( ft022t02t022 即即,rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( f) t (g2t02t02t022 令令, 0dr)rt)(r ( f)t ( f) t ( gt0222 则则.), 0) t (g内单调增加内单调增加在在故故第35页/共39页第三十五页，共39页。, 0)0( g又又, 0) t (g,0t 时时故故当当).t (G2) t (F0t 时，时，因此，当因此，当,0t) t (g处连续处连续在在因为因为 ).0(g) t (g,0t 有有时时所以当所以当第36页/共39页第三十六页，共39页。21,dy)xy(u)y(u1)x(u,1 , 0)x(u.111x 试证试证且且连续连续在在设设例例