数学理复数的几何意义及其应用实用教案

1、第1页/共29页第一页，共29页。(12)，221 i.1.(2011)zmmm已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范无锡期末围为卷第2页/共29页第二页，共29页。22022101(12)mmmmm 因为复数对应的点在第二象限解，所以，析：第3页/共29页第三页，共29页。 222.3.1i3456 izzzzmmmmm若复数 满足，那么 在复平面内对应的点所表示的图形是若复数表示的点在虚轴上，则实数 的值为直线14 或 第4页/共29页第四页，共29页。2i 32i,1 54i.OOA OC ABBCuur uuu r uuu ruuu r在复平面内， 是原点， 、 、 表示的复数分别是

2、、，那么表示的复数为44i第5页/共29页第五页，共29页。3 22i15.22i.zzz已知复数 满足，则的最小值是22i12,2122i2,222i3.zzzzz表示 对应的点在以为圆心，半径为 的圆上， 表示 的对应点，即圆上动点到的距离， 由几何图形得的最小解值为析：第6页/共29页第六页，共29页。复数复数(fsh)的加减法的运算的加减法的运算i 1 42i|.ABCABCDABCDBD 在复平面内点 、 、 对应的复数分别为 、 、 ，由按逆时针顺序作，求【例1】第7页/共29页第七页，共29页。1i.(42i) 132i.( 1i)(32i)23i| 23i|13.BA OA O

3、BBABC OCOBBCBD BA BCBDBD 因为，所以向量对应的复数为 因为，所以向量对应的复数为 又因为，所以向量对应的复数为 【，所以解析】第8页/共29页第八页，共29页。 122212()()i|.Z Za bZ Zab 由本题可知复数的加减法的几何意义，即向量的和 差 分别对应复数的和 差 若向量对应的复数为 ，则第9页/共29页第九页，共29页。【变式练习1】已知复平面(pngmin)上正方形ABCD的三个顶点是A(1,2)、B(2,1)、C(1，2)，求它的第四个顶点D对应的复数第10页/共29页第十页，共29页。()(i)(12i)(1)(2)i( 12i)(2i) 13

4、i.(1)(2)i13i1122312i.D xyAD OD OAxyxyBC OCOBAD BCxyxxyyD 设， ，则对应的复数为 ，对应的复数为 因为，所以 ，所以，解得所以顶点 对应的复数为【解析】第11页/共29页第十一页，共29页。利用利用(lyng)|z1z2|的几何意义的几何意义解题解题【例2】已知复数z满足2|zi|4，试说明(shumng)复数z在复平面内所对应的点的轨迹 第12页/共29页第十二页，共29页。【解析(ji x)】因为|zi|的几何意义是动点Z到定点i的距离，所以满足2|zi|4的动点Z的轨迹是以i为圆心，2为半径的圆外(含边界)和以i为圆心，4为半径的圆

5、内(含边界)之间的圆环(含边界)，如右图阴影部分所示第13页/共29页第十三页，共29页。 12122121|ZZZ ZOZOZzz 在复平面，的距离是复几何意的基由复足的件，合复平面的形分析、解，是形合的典型内两点间数义础数满条结内图来决问题数结第14页/共29页第十四页，共29页。 22|3i| 1.12 |1|1|zzzzz若复数 满足求：的最大值和最小值；的最大【变式练习2】值和最小值|3i| 1(31)1()()zzMC表示 对应的点在以，为圆心， 为半径的圆的内部【解析】包括边界 如图第15页/共29页第十五页，共29页。(1)|z|表示圆上动点M到原点的距离，所以|z|max3，

6、|z|min1.(2)因为(yn wi)2(MA2MB2)AB2(2MO)2，所以|z1|2|z1|222MO2，而MO最大值为3，最小值为1.所以|z1|2|z1|2最大值和最小值分别为20和4.第16页/共29页第十六页，共29页。复数的模及几何复数的模及几何(j h)意义意义【例3】若复数(fsh)z满足|z2|z2|8，求|z2|的最大值和最小值第17页/共29页第十七页，共29页。【解析】在复平面内满足(mnz)|z2|z2|8的复数z对应的点的轨迹是以点(2,0)和(2,0)为焦点，8为长轴长的椭圆|z2|表示椭圆上的点到焦点(2,0)的距离椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最

7、大值和最小值因此，当z4时，|z2|有最大值6；当z4时 ，|z2|有最小值2.第18页/共29页第十八页，共29页。 此题若令zxyi，问题的条件和结论都是较复杂的式子，不好(b ho)处理从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题 第19页/共29页第十九页，共29页。【变式练习(linx)3】已知|z|1，设复数uz22，求|u|的最大值与最小值第20页/共29页第二十页，共29页。222222222222222222minmax1 ()i()12(i)2(2)2i2444498.0111103i.zxy xyxyuzxyxyxyuxyx yxyxyxxxuzxuz R方法

8、 ： 代数法 设 ，则 ，所以 ，故因为，所以当 时， ，此时 ；当 时， ，此时】【解析第21页/共29页第二十一页，共29页。方法(fngf)2：(不等式法)因为|z|22|z22|z|22，把|z|1代入，得1|z22|3，故|u|min1，|u|max3.第22页/共29页第二十二页，共29页。1122212i1i|i|34i1.2.|.zzzzzzz 设 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于第_象限满足条件 的复数 在复平面上对应的点的轨迹是_三圆第23页/共29页第二十三页，共29页。3.平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应(duyng)复数4i,34i,35i，则点D对应(

9、duyng)的复数是_.435342248i.Dziiizz 设点 对应的复数为 ，则，解得 【解析】48i第24页/共29页第二十四页，共29页。4.设复数(fsh)z满足z(23i)64i，则z的模为_.6423|64 |36162.| 23 |49iziizi，【所以】解析第25页/共29页第二十五页，共29页。|4i|4i|6 2|2 |5.zzzz设复数 满足，求的最大值第26页/共29页第二十六页，共29页。22222222|4i|4i|6 21218i()|2 |2218982 2202818.8429|2 |.82zzxyzzxy xyzxyxxxxxxz R由的几何意义知 对应的点在椭圆 上设 、，所以故当 时， 【有