数学任意角学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)任意角任意角第一页，共40页。第2页/共40页第二页，共40页。现状生活中：体操、跳水、滑冰、转体现状生活中：体操、跳水、滑冰、转体720720度的高难度动作度的高难度动作, ,直体后空翻转体直体后空翻转体900900度及以上的旋转度及以上的旋转时钟时钟(shzhng)(shzhng)的时针、分针转动和调的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度准时间时顺时针、逆时针拨转角度主从动轮转动角主从动轮转动角车的轮子的转动角车的轮子的转动角风车风车, ,风扇叶片等转动风扇叶片等转动第3页/共40页第三页，共40页。规定：按逆时针方向旋转形成规定：按逆时针方向旋转形

2、成(xngchng)(xngchng)的角叫做的角叫做正角正角; ;按顺时针方向旋转形成按顺时针方向旋转形成(xngchng)(xngchng)的角叫做的角叫做负角负角; ;如果一条射线没有作任何旋转如果一条射线没有作任何旋转, ,则称它形成则称它形成(xngchng)(xngchng)了一个零角了一个零角. . 这样这样, ,我们就把角的概念推广到任意角我们就把角的概念推广到任意角. .它包括它包括(boku)(boku)正角、负角和零角。正角、负角和零角。注意注意:(1):(1)确定一个角的大小需要考虑两个确定一个角的大小需要考虑两个(lin (lin )要素要素: :旋转量和旋转方向；旋

3、转量和旋转方向； (2)(2)角常用希腊字母角常用希腊字母 等表示。等表示。, , 对于对于 , ,你能用图形表示这些角吗你能用图形表示这些角吗? ?你你能总结一下作图的要点吗能总结一下作图的要点吗? ?210 ,150 ,660 B B2 2A AB B1 1O O思考思考1：第4页/共40页第四页，共40页。画图表示一个大小一定的角画图表示一个大小一定的角: : (1) (1)先画一条射线先画一条射线(shxin)(shxin)作为角的始边作为角的始边; ;(2)(2)再由角的正负确定再由角的正负确定(qudng)(qudng)角的旋转方向角的旋转方向; ;(3)(3)再由角的绝对值大小确

4、定再由角的绝对值大小确定(qudng)(qudng)角的旋转角的旋转量量; ;(4)(4)画出角的终边画出角的终边, ,并用带箭头的螺旋线加以标注并用带箭头的螺旋线加以标注. .2.2.象限角和轴线角象限角和轴线角思考思考2:2:为了进一步研究角的需要为了进一步研究角的需要, ,我们常在直角坐标系内讨我们常在直角坐标系内讨论角论角, ,并使角的顶点与原点重合并使角的顶点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴重轴的非负半轴重合合, ,那么对一个任意角那么对一个任意角, ,角的终边可能落在哪些位置？角的终边可能落在哪些位置？ (1)(1)象限角象限角: :当角的顶点与坐标原点重合当

5、角的顶点与坐标原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合, ,那么那么，角的终边落在第几象限，角的终边落在第几象限, ,我们就说这我们就说这个角是第几象限角。个角是第几象限角。xoy第5页/共40页第五页，共40页。(2)(2)轴线角轴线角: :当角的顶点与原点重合当角的顶点与原点重合, ,始边与始边与x x轴的非负半轴的非负半轴重合轴重合, ,角的终边落在坐标轴上角的终边落在坐标轴上, ,就认为就认为(rnwi)(rnwi)这个这个角不属于任何象限角不属于任何象限, ,称这个角为轴线角称这个角为轴线角. .练习练习1:1:下列下列(xili)(xili)各角：各

6、角：-50-50,405,405,210,210,-200,-200, ,450450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210 xyo405xyo200 xyo思考思考3:3:锐角是第几象限的角？第一锐角是第几象限的角？第一(dy)(dy)象限的象限的角是否都是锐角？小于角是否都是锐角？小于9090的角是锐角吗？的角是锐角吗？锐角是第一象限的角；锐角是第一象限的角；第一象限的角不一定是锐角；第一象限的角不一定是锐角；小于小于9090的角不一定是锐角。的角不一定是锐角。第6页/共40页第六页，共40页。思考思考4 4：第二：第二(d r)(d r)象限的角一定比第一象限的

7、角大象限的角一定比第一象限的角大吗？吗？ 不一定不一定(ydng)(ydng)。象限角只能反映角的终边所在象。象限角只能反映角的终边所在象限限( (位置位置),),不能反映角的大小不能反映角的大小. . 思考思考(sko)5(sko)5：3232,328,328, ,392392是第几象限是第几象限的角？这些角有什么内在联系？的角？这些角有什么内在联系？32392xyo o328 与与3232角终边相角终边相同的角有多少个？同的角有多少个？ 这些角与这些角与3232角在角在数量上相差多少？数量上相差多少？ 3603239236032328Zkk,36032第7页/共40页第七页，共40页。即任

8、一与即任一与终边相同的角终边相同的角, ,都可以表示都可以表示(biosh)(biosh)成角成角与与整数个周角的和整数个周角的和. . 一般地一般地, ,所有与角所有与角终边相同终边相同(xin(xin tn tn) )的角的角, ,连同角连同角在内可构成一个集合在内可构成一个集合 3.3.终边相同终边相同(xin (xin tn)tn)的角的角4.4.象限角的集合表示象限角的集合表示第一象限角：第一象限角：S=|kS=|k3603600 090900 0k k3603600 0,kZ,kZ；第二象限角：第二象限角：S=|90S=|900 0k k3603600 01801800 0+k+k

9、3603600 0,kZ,kZ；第三象限角：第三象限角：S=|180S=|1800 0k k3603600 02702700 0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k k3603600 0kk3603600 0，kZ.kZ.ZkkS,360第8页/共40页第八页，共40页。 在在0 0360360范围范围(fnwi)(fnwi)内内, ,与与9509501212终终边相同的角是边相同的角是12912948,48,它是第二象限角它是第二象限角. . 与与39003900 终边相同终边相同(xin(xin tn tn) )的最小正角是的最小正角是3

10、00300, ,最大负角是最大负角是-60-60. .例题例题(lt)分析分析例例1.1.在在0 0360360范围内范围内, ,找出与找出与9509501212角终边相同的角终边相同的角角, ,并判定它是第几象限角并判定它是第几象限角. . 例例2 2求与求与39003900终边相同的最小正角和最大负角终边相同的最小正角和最大负角. .解:95095012= 12912= 12948-348-3 360 360解解: : 与与39003900终边相同的角可表示为终边相同的角可表示为3900360 ,kkZ 390010 360 当当k=-10k=-10时，时，=300=300当当k=-10k

11、=-10时，时，390011 360 =-60=-60第9页/共40页第九页，共40页。n(jh)为001|90360 ,SkkZ 002|270360 ,SkkZ xyoxyo第10页/共40页第十页，共40页。12SSS00|902180 ,kkZ 000|901802 180 ,kk Z 00|902180 ,kkZ 00|90(21)180 ,kk Z 00|90180 ,nn Z xyo第11页/共40页第十一页，共40页。Zkk,1800 xyoxyo ZkkZkk,18090,180000Zkk,900第12页/共40页第十二页，共40页。xyoxyoNoImage,360zkk

12、,36090zkk小结小结1:1:终边在轴线终边在轴线(zhu xin)(zhu xin)上的角的集合上的角的集合 xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000第13页/共40页第十三页，共40页。yx00360720第14页/共40页第十四页，共40页。00|225360 ,SkkZ 00|45360 ,kkZ 00|45180 ,kkZ 解:终边在终边在射线(shxin) y = x 上的角的集合是终边在终边在射线(shxin) y = -x 上的角的集合是所以(suy)终边在Y=x上的角的集合是ZkkB,36022500Zkk

13、A,3604500第15页/共40页第十五页，共40页。00360720S=|=45S=|=45k k180180，kZ.kZ.(确定(qudng)整数k)第16页/共40页第十六页，共40页。2第17页/共40页第十七页，共40页。110110， 230230， 350350. .3例例5已知角已知角的终边与的终边与30角的终边关于角的终边关于x轴对称轴对称试在试在0360范围内，找出与范围内，找出与 终边相同的角终边相同的角. 第18页/共40页第十八页，共40页。小结小结(xioji)作业作业1.1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值角的概念推广后，角的大小可以任意取值. . 把角放在

14、直角坐标系中进行研究，对于一个给把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一定的角，都有唯一(wi y)(wi y)的一条终边与之的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义对应，并使得角具有代数和几何双重意义. .2.2.终边相同的角有无数个，在终边相同的角有无数个，在0 0360360范围范围(fnwi)(fnwi)内与已知角内与已知角终边相同的角有且只有终边相同的角有且只有一个一个. . 用用除以除以360360，若所得的商为，若所得的商为k k，余数为，余数为（必须是正数），则必须是正数），则即为所找的角即为所找的角. . 第19页/共40页第十九页，共40页。弧度弧

15、度(hd)制制第20页/共40页第二十页，共40页。一）问题的提出 1、度量角的方法度分秒制把圆周角分为(fn wi)360等份1度的角60等份1分的角60等份1秒的角.2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应. 当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等. /0024446 .35计算：计算：/0/024443635080第21页/共40页第二十一页，共40页。半径rr1=1r2=2r3=3r4=4弧长L弧长与半径的比值当当n=300时时练习练习(linx):当当n=600时呢时呢?可以可以(ky)计算弧计算弧长长L=180rn6632236663rL第22页/共40页第二十二

16、页，共40页。3、实验(shyn)结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.Rl称这个常数(chngsh)为该角的弧度数.能否(nn fu)用弧长来定义角的大小呢?第23页/共40页第二十三页，共40页。1弧度弧度(hd)单位符号是 rad,读作弧度弧度把角度单位与长度单位统一起来.第24页/共40页第二十四页，共40页。三）弧度(hd)数1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2，所以周角的弧度数为2，周角是2rad 的角.2、任意一个003600的角的弧度数必然适合不等式 0 x2.3、任一正角的弧度数都是一个正实数(shsh)； 任一负角的弧度数都是一个负实

17、数(shsh)； 零角的弧度数是0. 弧度制下的角与实数(shsh)之间的关系是怎样的呢?Rl第25页/共40页第二十五页，共40页。4、用弧度来度量角，实际上角的集合、用弧度来度量角，实际上角的集合(jh) 与实数集与实数集R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系：实数集实数集R R角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数(shsh)零零负实数负实数(shsh)对应角的对应角的弧度数弧度数第26页/共40页第二十六页，共40页。用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了(ch le)零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算 若弧是

18、一个整圆，它的圆心角是周角，若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是其弧度数是，而在角度制里它是，2360rad2360因此 第27页/共40页第二十七页，共40页。rad2360因为 1度角等于度角等于(dngy)多少弧度？多少弧度？1弧度弧度(hd)角等于多少度？角等于多少度？57.301180rad0.01745rad1801rad度度第28页/共40页第二十八页，共40页。把化成弧度把化成弧度0367例121670367解解：rad832167rad1800367第29页/共40页第二十九页，共40页。角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键180把化成度把化成度例

19、2rad5414418054rad54解：第30页/共40页第三十页，共40页。角度弧度06012013527042652306453903243150180233600第31页/共40页第三十一页，共40页。例3计算：计算：（1）；（2）4sin5 . 1tan4542245sin4sin解：（1） 758595.855 . 130.57（2）12.147585tan5 . 1tan第32页/共40页第三十二页，共40页。. 试推出弧长公式和扇形面积试推出弧长公式和扇形面积(min j)公式公式(角角用弧度用弧度). ;213;212;12lRSRSRl）（分析圆扇2212122222rlrrS：S:1分析,2 Rl因为扇形为整个圆的所所以以扇扇形形面面积积为为圆扇形SRlS222RRllR21第33页/共40页第三十三页，共40页。xyoxyoNoImage,2zkk,22zkk用弧度用弧度(hd)(hd)表示终边在轴线上的角的集合表示终边在轴线上的角的集合 xyoxyoZkk,2Zkk ,223Zkk,2Zkk ,22第34页/共40页第三十四页，共40页。（1）；（2）；（3）1把下列各角化(jiohu)成的形式：kk，202316315711下列(xili)角的终边相同的是（）A4kkk，42与与与与B322kk，3C2kkk，2D 12kkk ，3B第35页/