数学预备知识学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)预备知识预备知识第一页，共76页。矢量既有大小矢量既有大小(dxio)又有方向，又有方向，如：位移、速度如：位移、速度(sd)、加速度、加速度(sd)、角速度、角速度(sd)、力矩、电场强度等。、力矩、电场强度等。1、物理量可分为标量、物理量可分为标量(bioling)和矢和矢量两种量两种如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。标量只有标量只有大小大小，第2页/共76页第二页，共76页。2、矢量(shling)的表示 几何几何(j h)(j h)表示：有方向表示：有方向的线段的线段123 (,)AA A A AA用或表示

2、解析解析(ji x)(ji x)表示表示 书写：字母上方用箭头符号标记书写：字母上方用箭头符号标记, , ,F r v a 123AAiA jA k或或印刷：用黑体字表示矢量，印刷：用黑体字表示矢量，F F，r r，v v，a a 矢量的大小：线段的长度或矢量的大小：线段的长度或 的模，的模，A232221|AAAAA第3页/共76页第三页，共76页。 单位矢量：长度单位矢量：长度(chngd)(chngd)为一为一个单位的矢量个单位的矢量AAA 矢量矢量(shling)(shling)相等：相等： 大小相同，方向相同大小相同，方向相同 平行移动不会(b hu)改变一个矢量ABCABCAAA或

3、或 对一般矢量，其对一般矢量，其单位矢量单位矢量可可用字母上方的尖用字母上方的尖符表示，如符表示，如如沿如沿x, y, z 轴正方向的单位矢量可表示为：轴正方向的单位矢量可表示为：kji,第4页/共76页第四页，共76页。3 3、矢量、矢量(shling)(shling)的的运算运算(1) (1) 矢量矢量(shling)(shling)的加法的加法 平行四边形法则平行四边形法则(fz)三角形法则三角形法则CABB的尾端接到的尾端接到A的箭头顶端，两个矢量的和矢量为的箭头顶端，两个矢量的和矢量为A的尾端指向的尾端指向B的顶端的矢量的顶端的矢量ABCABC222cosCABAB第5页/共76页第

4、五页，共76页。多个矢量的合成：多个矢量的合成：RABCDDCBAR合成矢量合成矢量(shling)的解析表示：的解析表示：jAiAAyxxxxBACyyyBACjBiBByxjCiCCyxMgT1T1力的合成力的合成AyABCAxBxByXy第6页/共76页第六页，共76页。(2) (2) 矢量矢量(shling)(shling)的的减法减法 ()CABAB 矢量A-B等于(dngy)从B的顶端指向A的顶端-BBACBCA2 22 cosAB CAB第7页/共76页第七页，共76页。 交换律交换律ABBA()()ABCABC 结合律结合律第8页/共76页第八页，共76页。(3) 矢量矢量(s

5、hling)的乘法的乘法 0 0 CACACACA 大大小小平平行行于于方方向向平平行行于于 与标量(bioling)相乘 与矢量(shling)相乘 标积标积(点积点积)矢积矢积(叉积叉积)BABA- 结果为标量结果为标量- 结果为矢量结果为矢量第9页/共76页第九页，共76页。 矢量矢量(shling)(shling)的标积（点的标积（点积）积）cos ( )A BABA B 为为 与与 的的夹夹角角AB两矢量两矢量(shling)点积得标量点积得标量 上式含意上式含意(hn y)？第10页/共76页第十页，共76页。 矢量矢量(shling)(shling)的标积（点积）的标积（点积）

6、cosA BAB ( )AB 为为与与的的夹夹角角AB)(BcosAB)(AcosBcosABAAcosBBA矢量矢量(shling)的点乘表示一个矢量的点乘表示一个矢量(shling)的模乘的模乘上另一个矢量上另一个矢量(shling)在这一矢量在这一矢量(shling)上的分上的分量（投影）。这一分量（投影）可正可负。量（投影）。这一分量（投影）可正可负。第11页/共76页第十一页，共76页。 若0A B 可能00ABAB 2A AA 矢量矢量(shling)(shling)的标积（点积）的标积（点积）cos ( )A BABA B 为为 与与 的的夹夹角角ABxxyyzzA BA BA

7、BA B kAjAiAAzyXkBjBiBBzyx第12页/共76页第十二页，共76页。交换律：交换律：A BB A 标积计算标积计算(j sun)：()AA BCA BC 分配律：分配律：若一个物体在力F作用(zuyng)下移动位移rFr则力F所作的功：cosWFr记为标积形式(xngsh)，则为：WF r标积的应用标积的应用: :第13页/共76页第十三页，共76页。 矢量矢量(shling)(shling)的矢积（叉积）的矢积（叉积）是一个是一个(y )矢矢量量大小大小(dxio)：平行四边形面积：平行四边形面积 sin(0 )CABAB CA BABC方向：右手螺旋法则，方向：右手螺旋

8、法则，要求四指绕过的角度小于要求四指绕过的角度小于 kBABAjBABAiBABABAxyyxzxxzyzzy)()()(*第14页/共76页第十四页，共76页。矢积的性质矢积的性质(xngzh)： 0 () ()( )( )A BBAAAABCA BA CAB CB A CCA B 特殊特殊(tsh)情情况：况：* 若若 ，则则 最大最大BABA* * 若若 ，则，则BA/0BA 矢积的应用矢积的应用(yngyng)：洛仑兹力：洛仑兹力：sinFqvBFqvB第15页/共76页第十五页，共76页。求求（1） （2）,32,43kibjia例例1 已知已知baba ;解解（1）6300)4()

9、2(3ba302043)2(kjibakji)2()4(0333)2(03)4(kji8912（2）ba第16页/共76页第十六页，共76页。作作 业（业（9月12日） 1 . 矢量(shling)a的大小为5.0m，方向正东，矢量(shling)b的大小为4.0m，方向北偏西35度。求 a + b 及 a b 的大小及方向。第17页/共76页第十七页，共76页。4444xx3 .cosa b=a b,a=3i+3j+3k b=2i+1j+3kyyzza baba ba b用标积定义 与 求两矢量 与的夹角。第18页/共76页第十八页，共76页。一、函数一、函数(hnsh)(hnsh)的的极限

10、极限二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)的导的导数数三、函数三、函数(hnsh)(hnsh)的微分的微分四、积分四、积分导数与微分运算导数与微分运算第19页/共76页第十九页，共76页。一、函数一、函数(hnsh)的极的极限限 对任意函数对任意函数f (x)，当自变量，当自变量x无限趋于无限趋于某一某一数值数值x0 0（记作（记作x x0 ）时，函数值无限趋于）时，函数值无限趋于某某一确定一确定的数值的数值a，则，则a称为称为x x0时函数时函数f(x)的极的极限值，记作：限值，记作：axfxx)(lim02arctanlimxx例：例：2arctanlimxxlimsin0 xoxlim

11、cos1xox第20页/共76页第二十页，共76页。注意注意即使即使 (x) 在在 x0 0 点没有定义，或点没有定义，或 ，上面关于极限的陈述仍可以是对的。，上面关于极限的陈述仍可以是对的。axf)(011)(2xxxf例例：2| 1)(lim11xxxxf第21页/共76页第二十一页，共76页。二、函数二、函数(hnsh)的导数的导数1、问题的提出、问题的提出2、导数的定义、导数的定义3、导数的意义、导数的意义4、导数的求解、导数的求解5、导数的运算规则、导数的运算规则加减加减积积商商复合函数求导复合函数求导矢量求导矢量求导第22页/共76页第二十二页，共76页。运动时间运动时间 ,tt自

12、由落体运动的瞬时速度自由落体运动的瞬时速度(shn (shn sh s d)sh s d)问题问题t 1、问题、问题(wnt)的提出的提出2)(lim)() (lim)(ttgtttststvtttt瞬时速度瞬时速度(shn sh s d)如何由如何由s s( (t t),),求求v( (t t)?)?)(2)() (ttgtttststsv平均速度平均速度取极限取极限当当 时时tt t 取一邻近取一邻近t t 的时刻的时刻t t, ,如图，如图，gt221)(gtts第23页/共76页第二十三页，共76页。tsvtvtt00limlim)(ttsttst)()(lim0第24页/共76页第二

13、十四页，共76页。 当以上当以上(yshng)极限存在时，则此极限称为极限存在时，则此极限称为函数函数f(x)在点在点x0处的导数。处的导数。(显然，这是一个特殊显然，这是一个特殊的极限的极限)( )yf x函数函数(hnsh)导数导数(do sh)(do sh)又可记为：又可记为：2、导数的定义、导数的定义ttsttstvt)()(lim)(0自由落体问题中自由落体问题中: :dtdsxxx00)()(00 xxfxfxy0limxdxdyxxfxxfx)()(lim000yyxf, ),( 第25页/共76页第二十五页，共76页。一、一、 矢量矢量(shling) 回回顾顾123AAiA

14、jA kA = AA或或 （1 1）点积：）点积： xxyyzzA BA BA BA B cosABBA （2 2）叉积：）叉积： ABC(0 ) sinABCAB 第26页/共76页第二十六页，共76页。二、导数二、导数(do sh)的定义的定义( )yf xxy0limxdxdyxxfxxfx)()(lim000yyxf)( 导数是一个导数是一个(y )特殊的极限！特殊的极限！第27页/共76页第二十七页，共76页。关于关于(guny)导数的说导数的说明：明：dxdy （导数）则是当区间间隔（导数）则是当区间间隔 x 0 时的时的f(x)在在x0处的变化率。处的变化率。 是是 在以某在以某

15、 和和 为端点的区间上为端点的区间上的的平均变化率平均变化率。xy0 xxx0y x到底有多小？到底有多小？ 在许多物理问题中，需要研究变量的在许多物理问题中，需要研究变量的瞬时变化瞬时变化率，率，如物体的运动速度、加速度、电流强度等如物体的运动速度、加速度、电流强度等。在数学上都可归结为函数的变化率问题，即在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导导数。数。第28页/共76页第二十八页，共76页。xy y x0 f( x)x0y0y1x13、导数、导数(do sh)的意义的意义 函数在某一点的导数值函数在某一点的导数值(shz)，表示函数曲线上该，表示函数曲线上该点的切线斜率。点的切线斜率。几

16、何几何(j h)意意义：义：割线斜率xy第29页/共76页第二十九页，共76页。切线切线t1t3t2x1x3x2 t越小，平均越小，平均(pngjn)速率越接近速率越接近瞬时速度。瞬时速度。dtdxttxttxtxtvtt)()(limlim)(00121221)()()(tttxtxttvtxv平均速度平均速度(pn jn s d)：瞬时速度瞬时速度X对对t的导数的导数。导数导数(do sh)(do sh)物理意义：物理意义： 非均匀变化量在某点非均匀变化量在某点的变化率的变化率。第30页/共76页第三十页，共76页。步骤步骤(bzh(bzhu):u):()( )(2);yf xxf xxx

17、求求比比值值0(3)lim.xyyx求求极极限限4、导数、导数(do sh)的的求解：求解： 由定义由定义(dngy)求导数（三步法）求导数（三步法） );()(xfxxfy(1)(1)求函数增量求函数增量第31页/共76页第三十一页，共76页。例例1( )()f xC C求求函函数数为为常常数数 的的导导数数解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx 00( )C 即即例例2220()limxxxxyx202limxx xxx0lim(2)2xxxx22()xx即即的导数求2xy 解解第32页/共76页第三十二页，共76页。例例3( )sin ,(sin ) .f

18、xxx 设设函函数数求求解解0sin()sin( )limxxxxfxx 02sincos()22limxxxxx 0lim cos()cos2xxxx (sin )cosxx即即第33页/共76页第三十三页，共76页。匀加速匀加速(ji s)直线直线运动运动2021)(attvtx20202021 21)(21)(tatattvattvttattvxtxtvt0lim)()21(lim00taatvtatv 0解：解：求瞬时速度求瞬时速度(shn sh s d)例例4第34页/共76页第三十四页，共76页。常见函数常见函数(hnsh)的求的求导公式：导公式：0C(1)(2)1)(nnnxx(

19、4)cos)(sin(5)sin)(cos(3)xxee )(6)x1)lnx(导数导数(do sh)的运算法则：的运算法则：12( ),( )yf xyg x()fgfg()fgf gfg2()ff gfggg加减加减(ji jin)积积商商5、导数的常用公式及运算规则、导数的常用公式及运算规则第35页/共76页第三十五页，共76页。( sin)yxx例例5：求：求 y = x sinx 的导数的导数(do sh)。解：解：sincosxxx( )sin(sin )xxxx第36页/共76页第三十六页，共76页。例例6： ， 求求 导数导数(do sh)。解：解：4132112223()()

20、xxx 23123yxxx23123() () () ( )yxxx4132123xxx第37页/共76页第三十七页，共76页。复合复合(fh)函数求导：函数求导：二阶导数二阶导数(do sh)：22( )()( )( )df xdd f xdxfxydxdx N 阶导数(do sh)：( ), ( )yf uux设设 dxdududydxdyd f ( )nxndxy f (x)nn第38页/共76页第三十八页，共76页。例例72sin, .设设求求yxy解：解：2sin ,yu ux令令dydy duydxdu dx2cos()ux2cos2xx 22 cosxx(sin )du dudu

21、dx 第39页/共76页第三十九页，共76页。矢量矢量(shling)的导数：的导数：xyzAA iA jA kyxzdAdAdAdAijkdtdtdtdt几点推论几点推论(tuln)：dtBddtAddtBAd)(dtAdCdtACd)(dtBdABdtAddtBAd)(dAdAd AAAdtdtdtAAA 注意：对矢量的求导有两项：一是大小的变化注意：对矢量的求导有两项：一是大小的变化(binhu)产生的，二是方向的变化产生的，二是方向的变化(binhu)产生的。产生的。dtBdABdtAddtBAd)(第40页/共76页第四十页，共76页。三、函数三、函数(hnsh)的的微分微分在实际应

22、用中，还会遇到与导数密切相关的另一在实际应用中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数要求计算函数(hnsh)的相应的增量。这一函数的相应的增量。这一函数(hnsh)的增量称为微分。的增量称为微分。第41页/共76页第四十一页，共76页。实例实例: :正方形金属正方形金属(jnsh)(jnsh)薄片受热后面积的薄片受热后面积的改变量改变量. .00,xxx设设边边长长由由 变变到到0 x0 xx x 20,Ax正正方方形形面面积积20 xA 2200()Axxx 202()xxx (1)xx 0 xx 0:)

23、1(,;xA的的线线性性函函数数 且且为为的的主主要要部部分分)2(2()x 问题问题(wnt)的的提出提出:)2(的二阶项，可以的二阶项，可以(ky)忽略。忽略。x( 相对相对 x0 很小很小)。x既简化了计算又既简化了计算又有很好的近似值有很好的近似值xxA02在计算函数增量时，当自变量增量很小时，在计算函数增量时，当自变量增量很小时，自变量增量的高阶项一般可以忽略自变量增量的高阶项一般可以忽略，这样得到，这样得到的函数增量是其精确值的较好近似。的函数增量是其精确值的较好近似。这是微分的一个很重要的应用这是微分的一个很重要的应用。第42页/共76页第四十二页，共76页。若函数若函数(hns

24、h) f (x) 在在 x 处有导数处有导数 f (x), 则则 微分微分(wi fn)的定义：的定义：dy 称为函数称为函数(hnsh)f (x) 在点在点 x 处处的微分。的微分。dxxfdy)( dx 称为自变量的微分。称为自变量的微分。( )dyfxdx dxxfdy)( 即导数等于函数的微分与自变量的微分之商即导数等于函数的微分与自变量的微分之商所以导数又称微商所以导数又称微商计算函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. . 微分的求法：微分的求法：第43页/共76页第四十三页，共76页。基本基本(jbn)(jbn)初等函数的微分公式初等函数的微分公式1(

25、)0()d Cd xxdx 1()(ln )xxd ee dxdxdxx(sin )cos(cos )sindxxdxdxxdx 函数的微分法则（与导数函数的微分法则（与导数(do sh)(do sh)的相同）的相同）()()d uvdudvd CuCdu 2()( )uvduudvd uvvduudvdvv 第44页/共76页第四十四页，共76页。例例22ln(),.xyxedy设设求求 解解dydy dudxdu dx2212xxxedydxxe2,lnxuxeyu令令2211 2()xxxexe21()xxeu例例121sin(),.yxdy设设求求解解21sin ,yu ux令令cos

26、dyudu cos(21) (21)xdx cos(21) 2xdx 221cos()xdx第45页/共76页第四十五页，共76页。 函数函数(hnsh)(hnsh)的变的变化率问题化率问题导数导数(do (do sh)sh)函数的增量函数的增量(zn(zn linlin) )问题问题微分微分 求导数与微分的方法求导数与微分的方法, ,叫做叫做微分法微分法。 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用dxxfdy)( xxfy)( 这里这里 不是严格意义的无穷小，但不是严格意义的无穷小，但仍然较小仍然较小。x)()(0 xfxfy)( )()(000 xxxfxfxf)( 00 xxxf这个

27、式子可方便地计算一个函数在某点这个式子可方便地计算一个函数在某点x0 附近的近似值。附近的近似值。很小时0 xx第46页/共76页第四十六页，共76页。 例例3：为使摆长为：为使摆长为20cm的单摆的单摆(dn bi)振动周期增大振动周期增大0.05s，则摆长应增加多少？（，则摆长应增加多少？（g=981cm/s2）glT2解解;224gTl dTgTdl22dTgl)(23. 2cm即，摆长应调整即，摆长应调整(tiozhng)为为22.23 cm第47页/共76页第四十七页，共76页。 例例4 一个半径为一个半径为1厘米的球，为了提高表面厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜，铜层

28、厚度为的光洁度，需要镀上一层铜，铜层厚度为0.01厘米，估计每只球需要用铜多少厘米，估计每只球需要用铜多少(dusho)克克（铜的密度为（铜的密度为8.9g/cm3）解：解：33)(34rrrVrrrV 243)(13. 0cm每只球需用每只球需用(x yn)铜约铜约)(16. 19 . 813. 0g第48页/共76页第四十八页，共76页。 以下以下(yxi)(yxi)是常用的近似公式（是常用的近似公式（|x|x|很小时很小时) :) :xx )sin(NxxN1)1 (xx2111xx )1ln(xex1xx )tan(.(x为弧度为弧度(hd)(x为弧度为弧度(hd)第49页/共76页第

29、四十九页，共76页。四、积分四、积分(jfn) 问题问题(wnt)的提出的提出 定积分定积分(jfn)、不定积分、不定积分(jfn)的定义的定义 定积分的几何意义定积分的几何意义 定积分的计算定积分的计算 不定积分的计算不定积分的计算第50页/共76页第五十页，共76页。如何求图形中的面积？如何求图形中的面积？数方格数方格(fn )。x0yxy=f(x)面积？面积？如何求如何求x0,x区间内曲线区间内曲线(qxin)下的面积下的面积？ 问题问题(wnt)的提出的提出第51页/共76页第五十一页，共76页。用矩形面积用矩形面积(min j)近近似取代曲边梯形面积似取代曲边梯形面积(min j)。

30、 求曲边梯形求曲边梯形(txng)的面积的面积abxyo（四个小矩形（四个小矩形(jxng)）axyo)(xfy ? Ababxyo（九个小矩形）（九个小矩形）显然显然, 小矩形越多小矩形越多, 小矩形小矩形上边界带来的近似越小上边界带来的近似越小，得到的总面积得到的总面积越接近越接近曲边梯形的曲边梯形的精确面积精确面积.如如何何减减小小这这个个差差别？别？第52页/共76页第五十二页，共76页。曲边梯形曲边梯形(txng)总面积的近似值总面积的近似值为：为：上面上面(shng min)方法的方法的一般化：一般化：将区间将区间(q jin)a,b分分 n 等份，等份，每一个小区间宽度为每一个小

31、区间宽度为xxxfAii)(区间区间 xi , xi+1 对应的小矩对应的小矩形高取为形高取为)(ixf012()( )()()nxxxxAfxfxfxfx 1xix 1ixabxyo)(ixf，其面积为：，其面积为：niiniixxfA11)(第53页/共76页第五十三页，共76页。所得到所得到(d do)的矩形求和的矩形求和面积即为曲边梯形的精确面积即为曲边梯形的精确面积：面积： 当分割无限加细，当分割无限加细，即小区间的宽度即小区间的宽度 时，时，0 x)(nniininxinxxxfAA1100)(limlimabxyo 1xix 1ix第54页/共76页第五十四页，共76页。（1）分

32、割）分割(fng) 变速直线运动中由速度变速直线运动中由速度(sd)求路程求路程tvt00ti上述思路完全上述思路完全(wnqun)(wnqun)适用适用变速直线运动中由速度求路程变速直线运动中由速度求路程问题问题 （2）求和求和niiniittvss11)(路程的精确值路程的精确值（3）取极限取极限0t)(nniintniintttvss1010)(limlim第55页/共76页第五十五页，共76页。问题问题(wnt)：共性共性(gngxng)：它们求的都是在某个它们求的都是在某个(mu )区间上的总量（总面积或区间上的总量（总面积或总路程）。总路程）。解决方法：解决方法：通过无限分割的方法

33、，把总量归结为求一通过无限分割的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限。种特定和式的极限。以上两个例子，一个是以上两个例子，一个是几何问题几何问题，求的是曲边梯形，求的是曲边梯形的面积；一个是的面积；一个是物理问题物理问题，求的是变速直线运动的，求的是变速直线运动的物体在一定时间内所走过的路程。物体在一定时间内所走过的路程。第56页/共76页第五十六页，共76页。00lim( )( )xniinixf xxf x dx被积函数被积函数被积表达被积表达式式积分变量积分变量 积分下限积分下限 积分积分(jfn)的定的定义义这种给出积分这种给出积分(jfn)上、下限的积分上、下限的积分(jfn)称为

34、定积分称为定积分(jfn)；不给出积分上、下限不给出积分上、下限(xixin)的积分称为不定积分。的积分称为不定积分。积分上线积分上线f(x)对x的积分第57页/共76页第五十七页，共76页。( )0,f x ( )baf x dxA 曲边梯形曲边梯形(txng)的面积的面积( )0,f x ( )baf x dxA 曲边梯形的面积曲边梯形的面积(min j)的负值的负值1234( )baf x dxAAAA 1A2A3A4A 定积分定积分(jfn)的几何意的几何意义义第58页/共76页第五十八页，共76页。 定积分定积分(jfn)的计算的计算如果函数如果函数 f(x) 在在 a, b区间是区

35、间是连续的连续的，且如果在，且如果在 a, b区间内区间内 ，则，则 称为称为 的的原函数原函数。)()( xfx )(x)(xf 即，求一个函数的定积分关键即，求一个函数的定积分关键(gunjin)是要找出其原是要找出其原函数，原函数在积分区间的增量即为其定积分值。函数，原函数在积分区间的增量即为其定积分值。牛顿牛顿-莱布莱布尼兹公式尼兹公式 )()()(abdxfbax有有如：如：)(tvS SSSdtvabbat)()()(第59页/共76页第五十九页，共76页。所以，积分是微分所以，积分是微分(wi fn)(wi fn)的无限求和，它是微分的无限求和，它是微分(wi (wi fn)fn

36、)的逆运算。的逆运算。)()()(abxdbabababadxdxxddxxdxxf)()( )(第60页/共76页第六十页，共76页。2、积分、积分(jfn)的性质的性质( )( )( )( )bbbxxxxaaafgdxfdxgdx( )( )( )bcbxxxaacfdxfdxfdxdxfdxfabxbax)()(第61页/共76页第六十一页，共76页。20(2cossin1)xxdx 解解原函数式原函数式 202sincosxxx 32 例例1 求求 解解 面积面积(min j)(min j)0sinAxdx 202cos x 2 xyo 例例2 计算曲线计算曲线 在在 上与上与x轴所

37、围成轴所围成的平面图形的面积。的平面图形的面积。 sinyx 0, 第62页/共76页第六十二页，共76页。0 xA Bdx例例3 棒棒AB长长6厘米，与棒厘米，与棒A端相距端相距x处的分布密度为处的分布密度为2( )236,xxxg cm求棒总质量。求棒总质量。解：解：dxdM620(236)MdMxxdx234 ( )g例例4 弹簧从原有长度弹簧从原有长度(chngd)被拉长被拉长a，求拉力做功。，求拉力做功。解：解：aakxdxdxFW002022121kaxkaXF0 ax第63页/共76页第六十三页，共76页。第二次作业第二次作业(zuy)（9月月14日）日）4第64页/共76页第六

38、十四页，共76页。xy0limxdxdy 回回顾顾一、导数一、导数(do sh)常用常用(chn yn)公式公式 解析：当区间间隔解析：当区间间隔 x x 0 0 时的时的f(x)f(x)在在x0 x0处的变处的变化率。化率。 物理物理: :非均匀变化量在某点的变化率。非均匀变化量在某点的变化率。 几何几何: :函数在某一点函数在某一点(y din)(y din)的导数值，表示函的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。数曲线上该点的切线斜率。运算法则运算法则复合函数求导复合函数求导 N 阶导数阶导数 矢量的导数：矢量的导数：第65页/共76页第六十五页，共76页。微微分分(w(wi i f f

39、n)n)公公式式1( )0()d Cd xxdx 1()(ln )xxd ee dxdxdxx(sin )cos(cos )sindxxdxdxxdx 微微分分( (w wi i f fn n) )法法则则()()d uvdudvd CuCdu 2()( )uvduudvd uvvduudvdvv dxxfdy)( 二、微分二、微分(wi fn)：xxfy)( 解决解决函数的增量问题函数的增量问题 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 微分公式及微分法则与求导相似微分公式及微分法则与求导相似第66页/共76页第六十六页，共76页。例例22ln(),.xyxedy设设求求 解解dydy dudxdu dx2212xxxedydxxe2,lnxuxeyu令令2211 2()xxxexe21()xxeu例例121sin(),.yxdy设设求求解解21sin ,yu ux令令cosdyudu cos(21) (21)xdx cos(21) 2xdx 221cos()xdx第67页/共76页第六十七页，共76页。三、积分三、积分(jfn) 通过无限分割的方法，把总量归结为求一种通过无限分割的方法，把总量归结为求一种 特特定和式的极限定和式的极限(jxin) 几何意义：曲边