小学数学文化史_数

1、基于小学数学教学内容的数学文化史 十进制与其他进制 分数的产生 负数 十进制数与二进制数 应用 奇异数世界 数学符号 数字的由来 质数 实物计数计数历程（一）实物计数（二）数字的出现摆石子计数摆石子计数结绳计数结绳计数刻道计数刻道计数（一）实物计数（一）实物计数有和无 剩余 多和少用石子计数用石子计数用石子计数用石子计数英语单词中“计算”一词为calculate。这个词的词干来源于拉丁语calculus，这是一个阳性名词，原意是“小石头”，这就意味着，古代欧洲人是利用石头来表示数量的多少。 大约在公元前9世纪至公元前8世纪成书的、古希腊著名的荷马史荷马史诗诗中，就是这样记数的: 当俄底修斯刺瞎

2、独眼巨人波吕裴摩斯并离开克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全都返回了。 天空中的圆周率这本书中还记载这样一件事情，1929年，考古学家在公元前15世纪的努孜城废墟（现在伊朗境内）发现了一个很小的圆形土质容器，外侧的楔形文字记载：与绵羊和山羊有关的物体4只小公羊21只生过小羊的母羊 6只生过小羊的母山羊6只小母羊 1只公山羊8只成年公羊 2只小羊这些数字加起来是48。当人们打开这个容器后发现，里面正好有48个泥球。结

3、绳计数结绳计数结绳计数周易上就有“上古结绳而记”古代用来计数的绳子上，大小不同的结记录着不同的秘密。不同颜色、不同大小、不同位置美国自然史博物馆馆藏古代南美印加部落用来记事美国自然史博物馆馆藏古代南美印加部落用来记事的绳结的绳结刻道计数刻道计数刻道计数刻道计数第一天第一天第二天第二天少少多多早期人类曾经使用刻痕记数之法。这是早期人类曾经使用刻痕记数之法。这是1937年在捷克年在捷克出土的幼狼胫骨。这块狼骨的年代，据考大约在出土的幼狼胫骨。这块狼骨的年代，据考大约在3万万年前。年前。 （二）数字出现（二）数字出现1.古巴比伦的楔形数字古巴比伦的楔形数字2.古埃及的象形数字古埃及的象形数字3.中国

4、甲骨文中的数字中国甲骨文中的数字4.中国的算筹中国的算筹5.古罗马数字古罗马数字6.玛雅数字玛雅数字7. 阿拉伯数字阿拉伯数字不知道经过多少年，人类才发现一对铜鸡和两天都是数字2的例子。英国数学家罗素古巴比伦古巴比伦楔形文字楔形文字公元前三四千年古巴比伦的数字和几何图形古巴比伦的数字和几何图形 古巴比伦楔形文字古巴比伦楔形文字表示表示1表示表示104545古埃及象形数字公元前3000年中国甲骨文中的数字公元前1600年13425陕西省长安县出土西周时期陕西省长安县出土西周时期牛肩胛骨牛肩胛骨中国古代的算筹中国古代的算筹公元前500年筹算筹算不同数位之间的纵横变换不同数位之间的纵横变换凡算之法，

5、先识其位。凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，一纵十横，百立千僵，千十相望、万百相当。千十相望、万百相当。说数位在计数中的重要意义摆放算筹时的一般规则，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位数用纵式，依此类推孙子算经孙子算经35128496 7 2 86 7 0 8字母字母值值字母字母值值字母字母值值110100220200330300440400550500 ? 6606007707008808009?90?900希腊字母数码（爱奥尼亚字母计数法）希腊字母数码（爱奥尼亚字母计数法） I V X L C DM 1 5 10 50 100 5001000罗马数字罗马数字公元前5

6、00年罗马数字罗马数字:12345697810累积法MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMLLLLLLLLLMMMMMMCCCCCCCXXXXXXXX一亿二千三百四十五万六千七百八十一亿二千三百四十五万六千七百八元前2500年20以内是5进制，20以上是20进制400X8=320020X4=80 0 表示3280 玛雅数字玛雅数字 玛雅人测算出一年365.

7、2420现在365.2422玛雅人测算出金星历年为584天，而今天我们测算金星的历年为58492天， 玛雅象形数字玛雅象形数字0-13(14个数字)阿拉伯数字阿拉伯数字公元公元8世纪印度世纪印度:1 2 3 4 5 6 7 8 9公元公元12世纪世纪,这套数字由阿拉伯商人传入欧洲这套数字由阿拉伯商人传入欧洲花拉米子花拉米子印度的计算术印度的计算术阿拉伯数字传入我国大约是阿拉伯数字传入我国大约是13到到14世纪世纪 20世纪初世纪初,随着我国对外国随着我国对外国成就的吸收和引进成就的吸收和引进,阿拉伯数字阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用。在我国才开始慢慢使用。100余年的历史余年的历史最美妙的发明

8、。最美妙的发明。 恩格斯恩格斯世界上最早发明十进制计数法的国家英国科学史学家李约瑟教授评价我国商代计数法时所说：如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。长度单位长度单位丈、尺、寸、分以下，载有厘、毫、丝、忽等十进制丈、尺、寸、分以下，载有厘、毫、丝、忽等十进制单位单位容积单位容积单位斛、斗、升、合以下，载有勺、抄、撮、圭等十进制斛、斗、升、合以下，载有勺、抄、撮、圭等十进制单位单位勺勺合合升升斗斗石石英国人英国人:十二进制十二进制1英尺英尺=12英寸英寸 1箩箩=12打打 1打打=12个个十二进制与时间周期表述有关twelve twalif英国人英国人:十二进制十二进制

9、 十二生肖把十二种动物与十二地支联系到一起，这种表示至少可以追溯到汉代，因为在王充的著作论衡中就有与今日述说完全相同的记载。与此有关，古代中国的十二个时辰也是用十二地支命名的，十二地支分别为：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、 亥干支纪年法：干又称天干，是指岁阳，包括：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵。支又称地支，是指太岁。 天干与地支是这样组合的：天干的单数配地支的单数；天干的双数配地支的双数。可以看到，组合的结果正好是10与12的最小公倍数256 = 60。 最初起源于巴比伦。 巴比伦人最初认为一年为360天，太阳每天走一（步）（即一度），当时巴比伦人已熟知六等分圆，结合起

10、来得到60进位。 这种六十进位制最初于1854年在巴比伦的泥板上发现，这些泥板大约是公元前2300年到公元前1600年的遗物。六十进制六十进制1时时=60分分 1分分=60秒秒角度制角度制我国的天干、地支的记年法我国的天干、地支的记年法读自然数的法则是：符号读自然数的法则是：符号 + 数位数位 2 3 3 0 0 2基于汉语的东亚语言系统的数位基础是四，个 十 百 千；万 十万 百万 千万； 亿 十亿 百亿 千亿； 兆 其中个、万、亿、兆所代表的数位分别是第1、5、9、13，差为4。 基于拉丁语的欧洲语言系统的数位基础是三，即数位是个 十 百；千 十千 百千；百万、十百万、百百万；十亿 其中个

11、、千（thousand）、百万（million）、十亿（billion）所代表的数位（digit）分别是1、4、7、10，差为3。虽然数位的读法不同，但用符号表示出来的“数”是一致的。 现代会计系统源于西方，因此所有会计报表中记账数字的数位是三。 分数的产生 最早使用分数的国家是中国。我国古代有许多最早使用分数的国家是中国。我国古代有许多关于分数的记载。在关于分数的记载。在左传左传一书中一书中郑伯克段于鄢郑伯克段于鄢一文记载，祭仲曰：一文记载，祭仲曰：“都城过百雉，国之害也。先王都城过百雉，国之害也。先王之制，大都不过参国之一；中，五之一；小，九之一。之制，大都不过参国之一；中，五之一；小，九

12、之一。今京不度，非制也，君将不堪。今京不度，非制也，君将不堪。” 秦始皇时期，拟定了一年的天数 为365又1/4天。九章算术是我国1800多年前 的 一本数学专著，其中第一章 方田里就讲了分数四则算法。 在古代，人们分东西（果实、猎物）时经常出现结果不是整数的情况，为了使每个人得到的同样多，那时就产生了平均分的概念。于是，就渐渐产生了分数。 公元前5年，在我国，就有了分数，最初用算筹表示，例如，把一个物体平均分成4份，每1份就表示成 ： 古埃及人曾用象形符号表示分数，把 写在整数的上端，表明这是一个分数。例如：把一个物体平均分成4份，每1份就表示成这样： 古巴比伦人用楔形文字表示分数，例如：把

13、一个物体平均分成60份，其中的20份就表成 。1 14 4 500年后，印度人发明了用数字和我国相似的方法表示分数。例如：把一个物体平均分成4份，每1份就表示成 。 又过了1000年，阿拉伯人发明了“” 分数线，就把分数表示成现在这样了。例如：14 李悝曾写道：李悝曾写道：“衣五人终衣五人终岁用千五百不足四百五十岁用千五百不足四百五十”。 九章算术九章算术：若：若“卖卖”是正，则是正，则“买买”是负；是负；“余钱余钱”是正，是正，“不足钱不足钱”是负。是负。 刘徽注释刘徽注释九章算术九章算术“正负数正负数”中云：中云：“正算赤，正算赤，负算黑负算黑”。 “以邪正为异以邪正为异” 用算筹截面为三

14、角形的表用算筹截面为三角形的表示正数，截面为正方形或矩形示正数，截面为正方形或矩形的表示负数。的表示负数。 李冶用斜画一杠表示负数，李冶用斜画一杠表示负数，如如“-32”-32”写成写成 杨辉在负数后面写个杨辉在负数后面写个“负负”字字表示负数，如表示负数，如“-72”写成写成 “七十二负七十二负”。 婆罗摩笈多首先发现了负数婆罗摩笈多首先发现了负数的运算法则，用小点或小圈记在的运算法则，用小点或小圈记在数字上表示负数。如用表示数字上表示负数。如用表示-3，3。3算术三篇算术三篇中曾给出了二次中曾给出了二次方程的一个负根，却另眼看待方程的一个负根，却另眼看待不承认它，说它是荒谬的。不承认它，说

15、它是荒谬的。 丢番图碰见负数时，别丢番图碰见负数时，别出新裁地起名出新裁地起名“消耗数消耗数”。 意大利卡尔达诺承认方程可意大利卡尔达诺承认方程可以有负根，但又认为是不可能解，以有负根，但又认为是不可能解，负数是负数是“假数假数”，仅仅是一些记，仅仅是一些记号，只有正数才是号，只有正数才是“真数真数” 。 法国数学家韦达、笛卡儿也法国数学家韦达、笛卡儿也不承认负数，把它叫不承认负数，把它叫“不合理不合理的数的数”。 意大利数学家斐波那契在意大利数学家斐波那契在算盘书算盘书中提出中提出“除非承认除非承认负数负数”才可克服认识上的矛盾才可克服认识上的矛盾的双重性认识观。的双重性认识观。 意大利数学

16、家帮别利在意大利数学家帮别利在代代数学数学一书中正式给出了负数的一书中正式给出了负数的明确定义。明确定义。 荷兰数学家吉拉尔在荷兰数学家吉拉尔在1629年年代数新发现代数新发现中用有线线段解中用有线线段解释方程的负根。他旗帜鲜明地承释方程的负根。他旗帜鲜明地承认了负数和虚数，并且第一个提认了负数和虚数，并且第一个提出用减号出用减号“-”表示负数。表示负数。 我国是从清末开始采用正号我国是从清末开始采用正号“+”、负号、负号“-”的。的。珍藏地点：比利时布珍藏地点：比利时布鲁塞尔自然历史博物鲁塞尔自然历史博物馆馆出土地点：非洲刚果出土地点：非洲刚果的爱德华湖畔的伊珊的爱德华湖畔的伊珊郭渔村郭渔村

17、（公元前（公元前9000年到年到6500年之间）年之间） 欧几里德：欧几里德：（Euclid of Alexandria; 约约公公元前元前 330 约约公元前公元前 275）证明证明 假设质数的个数是有限的，则必然存在一假设质数的个数是有限的，则必然存在一个最大的质数。个最大的质数。设这个最大的质数是设这个最大的质数是P ，构造一个数构造一个数Q，Q = 2 3 5 7 P + 1 则则Q 除以除以2 ,3,5,7, P都都余余1， 于是于是所有的所有的质数质数都不是都不是 Q 的的约数约数！ 那么，那么，Q要不然本身就是一个质数，要不然要不然本身就是一个质数，要不然就含有比就含有比P大的质

18、因数大的质因数 。 与假设矛盾与假设矛盾! 则则质数质数有有无穷多个。无穷多个。27252115123456781011 12 13 1416 17 18 19 2022 23 242628 29 3093432313335393736384044424143454947464850 埃拉托塞尼埃拉托塞尼（两千多年前古希腊的数学家、亚（两千多年前古希腊的数学家、亚历山大图书馆馆长）历山大图书馆馆长）埃拉托塞尼筛法埃拉托塞尼筛法 小于3000的质数表 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 10

19、1 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 54

20、7 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033

21、1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 2301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481

22、1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931

23、1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389

24、2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2667 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857

25、2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 1 到到10000之间有之间有1229个质数；个质数；10001到到20000之间有之间有 个质数；个质数；20001到到30000之间有之间有 个质数；个质数；30001到到40000之间有之间有 个质数；个质数；40001到到50000之间有之间有 个质数；个质数；50001到到60000之间有之间有 个质数；个质数；60001到到70000之间有之间有 个质数；个质数；1033983958930924878 1909年，莱茉发表了一个不超过

26、年，莱茉发表了一个不超过10000000的质数表。的质数表。 维也纳科学院保存着居立克编维也纳科学院保存着居立克编制的不超过制的不超过10000000的质数的手稿。的质数的手稿。 费马费马（Pierre de Fermat;1601 1665） 法国人法国人 律师律师 业余研究数学业余研究数学费马猜想费马猜想:所有所有写成写成 形式的形式的数数都是都是质数质数. 220 + 1 = 3 221 + 1 = 5 222 + 1 = 17 223 + 1 = 257 224 + 1 = 65537 22n + 1欧拉 欧欧拉拉（Leonhard Euler, 1707 1783） 瑞士瑞士数学家数

27、学家。 13 岁岁入大入大学学，17岁岁取取得得硕士学位硕士学位，30岁岁右眼右眼失明，失明，60岁岁完全失明。完全失明。 著作非常多，深入每著作非常多，深入每个个数学数学分支，分支，对后世影响对后世影响深远深远。证明记记a = 27 和和 b = 5。那那么么 a b3 = 3 而而1 + ab b4 = 1 + (a b3)b = 1 + 3b = 16 =24。 225 + 1 = 232 + 1 = (2a)4 + 1 = 24a4 + 1= (1 + ab b4)a4 + 1 = (1 + ab)a4 + (1 a4b4)= (1 + ab)(a4 + (1 ab)(1 + a2b2

28、)即即 232 + 1 可被可被 1 + ab = 641 整除！整除！ （证证完）完）则：则：232 + 1 = 42 9496 7297 = 641 670 0417欧拉 后来数学家们发现费后来数学家们发现费马数除了开头的五个马数除了开头的五个是质数外是质数外,再找不到再找不到其其它的质数了它的质数了！ 现在人们验算到的第现在人们验算到的第23472个费马数已经个费马数已经超过超过7000位仍然不是位仍然不是质数质数. 高斯 高斯高斯（Carl Friedrich Gauss; 1777 1855） 德国德国数学数学家。家。 近代近代数学数学的的奠奠基者之一基者之一 人人称称 “ 数学数学

29、王子王子 ”正 17 边形作图法高度的 整個角的 45圓心交點这个公式在这个公式在n079时都成立，时都成立，但当但当n80时失败了。时失败了。A n279n1601 当当p37时，这个公式也失败了。时，这个公式也失败了。 前苏联的别尔曼教授给出了一个公式：前苏联的别尔曼教授给出了一个公式： N=1/3（2p1） 其中其中p是奇质数是奇质数 333333331 31 331 3331 33331 333331 333333133333331171960784310099 98 97 96 95 94 93 92 9165 64 63 62 61 60 59 58 57 9066 37 36 3

30、5 34 33 32 31 56 8967 38 17 16 15 14 13 30 55 8868 39 18 543 12 29 54 8769 40 19 612 11 28 53 8670 41 20 789 10 27 52 8571 42 21 22 23 24 25 26 51 8472 43 44 45 46 47 48 49 50 8373 74 75 76 77 78 79 80 81 82乌乌勒勒姆姆1963年的发现年的发现用计算机验用计算机验证了证了16500的全部自然的全部自然数数. 20世纪世纪60年代美国数学家就宣布在年代美国数学家就宣布在他们的电子计算机里储蓄着

31、他们的电子计算机里储蓄着500000000（五亿）个质数。（五亿）个质数。关于质数的种种猜想关于质数的种种猜想陈景润陈景润 孪生质数猜想：孪生质数有无穷多对。 在不小于3的两个相邻质数的平方之间是否存在着四个质数？ 任何偶数是否都可以表述成两个质数之差。 是否有无穷多个费马质数? 孪生质数有无穷多对。 是否对所有自然数是否对所有自然数 n，都能找到连续，都能找到连续 n 个成个成等差的质数等差的质数? 是否有无穷多个型如是否有无穷多个型如 n!1 的质数的质数? 是否有无穷多组成等差的是否有无穷多组成等差的3个连续个连续质数? 若若 p 是质数，是质数，2p - 1 是否一定不能被任何质数的平方整除是否一定不能被任何质数的平方整除? 是否有无穷多个形如：是否有无穷多个形如：111111的质数。的质数。 2 是否有无穷多个形如是否有无穷多个形如 n + 1 的质数的质数? 从从2开始的开始的n个连续质数相乘，找出比这个成绩至少大个连续质数相乘，找出比这个成绩至少大2的下一个质数，这个