高中数学必修2：1.3.1 柱体,椎体,台体的表面积与体积

1、2022-6-221.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积柱体、锥体、台体的表面积和体积面积：面积：平面图形平面图形所占平面的大小所占平面的大小体积：体积：立体几何体立体几何体所占空间的大小所占空间的大小12SahabSahb h面积面积: :平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小 S矩形=ababAahBC1()2Sab h梯形abh2Sr圆12Sl r扇形2360rnabArl为弧长，圆心角为n0rcl表面积就是各个面的面积之和。表面积就是各个面的面积之和。多面体的平面展开图 多面体的平面展开图多面体的平面展开图 多面体是由一些平面多边形围成的几何多面体是由一些平面多边形围成的几何

2、体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形就可展开在一个平面内，得到一个平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图这个平面图形叫做该多面体的平面展开图. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？么？如何计算它们的表面积？ 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就

3、是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和 S S表表=S=S侧侧+S+S底底h20222022年年6 6月月2222日星期三日星期三1414时时3535分分5555秒秒 云在漫步云在漫步h侧面展开图是矩形侧面展开图是矩形Sc h侧20222022年年6 6月月2222日星期三日星期三1414时时3535分分5555秒秒 云在漫步云在漫步侧面展开12Sc h 侧hh20222022年年6 6月月2222日星期三日星期三1414时时3535分分5555秒秒 云在漫步云在漫步侧面展开hh12Scch侧 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面

4、均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点作的面积，过点作 ，ABCBCSD 22343.4Saa圆柱的侧面展开图是一个矩形：圆柱的侧面展开图是一个矩形：如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么圆柱的底面积为那么圆柱的底面积为 ，侧面积为，侧面积为 。

5、因此圆柱的表面积为因此圆柱的表面积为rl2rrl2)(2222lrrrlrSOO圆锥的侧面展开图是一个扇形：圆锥的侧面展开图是一个扇形：)(2lrrrlrSO Sr2如果圆锥的底面半径为如果圆锥的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么圆锥的底面积为那么圆锥的底面积为 ，侧面积为，侧面积为 。因此圆锥的表面积为因此圆锥的表面积为rl2rrl练习：圆锥母线长为练习：圆锥母线长为5 5厘米，底面厘米，底面半径为半径为3 3厘米，求圆锥的表面积。厘米，求圆锥的表面积。圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积，即上、下两个底面和加上

6、侧面的面积，即)(22 rllrrrSOO2 rr2圆柱、圆锥、圆台三者的表面积圆柱、圆锥、圆台三者的表面积lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台rr0r 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面

7、积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2225 . 11522015215215S21000()cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是1000 1000 2cm 练习4 Sl2 r1、圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_。OOrl2224Srlr侧2Srrl2 2、已知圆锥的表面积为 a ，且它的侧面 展开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径 为 。23()3amlOrl2 r2lr2lr 2()3ar rlr3ar练习：课本P27 13、若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为_.54Srl

8、rll侧420l2210Srr底5l OrO rl练习：课本P28 2空间几何体的体积空间几何体的体积体积体积: :几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小 长方体的体积长方体的体积= =长长宽宽高高正方体的体积正方体的体积= =棱长棱长3 3 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高 将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按

9、如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？ 1 12 23 31 12 23 3ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 经过探究得知，棱锥是经过探究得知，棱锥是同底等高的棱柱体积同底等高的棱柱体积的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：31圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 31柱体的体积计算公式：柱体的体积计算公式：锥体的体积计

10、算公式锥体的体积计算公式:n练习：三棱锥练习：三棱锥P-ABC的的高为高为6,底面是边长为底面是边长为2的的等边三角形等边三角形,则三棱锥则三棱锥P-ABC的体积为的体积为_.CBAP23V柱体柱体=shV锥体锥体=1 1s s h h3 3（其中（其中S为底面积为底面积,h为高）为高）棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高SS柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV 0S S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小例例3、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3)六六角螺帽重角螺帽重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为内孔直径为1