新高二数学暑假班讲义：第9讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）

1、第9讲 直线与圆、圆与圆的位置关系新课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。知识梳理一、直线与圆的位置关系及判断(直线：AxByC0，圆：(xa)2(yb)2r2)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离dd<rdrd>rom代数法：由消元得到一元二次方程的判别式>00<0图形二、圆与圆的位置关系1用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(xx1)2(yy1)2r，C2：(xx2)2(yy2)2r，则圆心距d|C1C2|则两圆C1，C2有以下位置关

2、系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d>r1r2d<|r1r2|r1r2|<d<r1r2d|r1r2|dr1r2图示2用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，将方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则(1)判别式>0时，C1与C2相交(2)判别式0时，C1与C2外切或内切(3)判别式<0时，C1与C2外离或内含名师导学知识点1 直线与圆位置关系的判定【例1-1】已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？【解】法一直线与圆的位置

3、关系问题可转化为方程组有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题代入，整理得2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)24×2(b22)4(b2)(b2)当2<b<2时，>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b2或b2时，0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b<2或b>2时，<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离法二圆心(0，0)到直线yxb的距离为d，圆的半径r.当d<r，即<时，直线与圆相交，2<b<2.当dr，即时，直线与圆

4、相切，b±2.当d>r，即>时，直线与圆相离，b>2或b<2.当2<b<2时，直线与圆相交；当b2或b2时，直线与圆相切；当b>2或b<2时，直线与圆相离【变式训练1-1】a为何值时，直线4x3ya0与圆x2y2100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？【解】法一(代数法)由方程组消去y，得25x28axa29000.(8a)24×25(a2900)36a290 000.(1)当直线和圆相交时，0，即36a290 0000，得50a50；(2)当直线和圆相切时，0，即a50或a50；(3)当直线和圆相离时，0，

5、即a50或a50.法二(几何法)圆x2y2100的圆心为(0，0)，半径r10，则圆心到直线的距离d.(1)当直线和圆相交时，dr，即10，得50a50；(2)当直线和圆相切时，dr，即10，得a50或a50；(3)当直线和圆相离时，dr，即10，得a50或a50.知识点2 直线与圆相切的有关问题【例2-1】过点M(2，4)向圆(x1)2(y3)21引切线，求其切线的方程【解】由于(21)2(43)250>1，故点M在圆外当切线斜率存在时，设切线方程是y4k(x2)，即kxy42k0，由于直线与圆相切，故1，解得k.所以切线方程为24x7y200.又当切线斜率不存在时，直线x2与圆相切综

6、上所述，所求切线方程为24x7y200或x2.【变式训练2-1】若将例2-1中的点M的坐标改为(1，2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？【解】由于(11)2(23)21，故点M在圆上，设圆的圆心为C，则C(1，3)，显然CM的斜率不存在圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率k0，切线方程为y2.知识点3 直线与圆相交的有关问题【例3-1】求直线xy20被圆x2y24截得的弦长【解】法一直线xy20和圆x2y24的公共点坐标就是方程组的解解这个方程组，得所以公共点的坐标为(，1)，(0，2)，所以直线xy20被圆x2y24截得的弦长为2.法二如图，设直线xy20与圆x2y24交于A，B

7、两点，弦AB的中点为M，则OMAB(O为坐标原点)，所以|OM|.所以|AB|2|AM|222.【变式训练3-1】已知直线ykx(k>0)与圆C：(x2)2y21相交于A，B两点，若|AB|，则k_【解析】圆心到直线的距离d，|AB|，1，k±. k>0，k.【答案】知识点4 两圆位置关系的判定【例4-1】a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230.(1)外切；(2)相交；(3)外离？【解】将两圆方程写成标准方程，C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)

8、，r22.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1<d<5，即1<2a26a5<25时，两圆相交，此时5<a<2或1<a<2.(3)当d>5，即2a26a5>25时，两圆外离，此时a>2或a<5.【变式训练4-1】圆(x4)2y29和圆x2(y3)24的公切线有()A1条 B2条 C3条 D4条【解析】圆(x4)2y29的圆心为(4，0)，半径等于3，圆x2(y3)24的圆心为(0，3)，半径等于2.两圆的圆心距等于523，两圆相外

9、切，故两圆的公切线的条数为3，故选C.【答案】C知识点5 两圆相切问题【例5-1】已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，则圆C的方程是_【解析】设圆C的半径为r，又圆心距d5，当圆C与圆O外切时，r15，r4，当圆C与圆O内切时，r15，r6，圆C的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336.【答案】(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336【变式训练5-1】若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m等于 ()A21 B19 C9 D11【解析】C2：x2y26x8ym0化为(x3)2(y4)225m.C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，

10、(3，4)，两圆圆心距d5，又两圆半径分别为1，则dr1r2，即51，解得m9.【答案】C知识点6 两圆相交的问题【例6-1】已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80，判断两圆的位置关系【解】将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15.圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25，r1r25，r1r2<|C1C2|<r1r2，两圆相交【变式训练6-1】在例6-1的条件下，求公共弦的长度【解】法一由例6-1知圆C1的圆心为(1，5)，其到直线x2y40的距离d3，

11、公共弦长l222.法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.知识点7 直线与圆的方程的应用【例7-1】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？【解】建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上依题意，有A(10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0)设这座圆拱桥的拱圆的方程是(xa)2(yb)2r2，于是有解此方程组，得a0，b10.5，r14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高

12、3 m，3<3.1，所以该船可以从桥下通过【变式训练7-1】如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_米【解析】如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2(yr)2r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)，将A(6，2)代入圆的方程，得r10，圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设点A(x0，3)(x0>0)，将A(x0，3)代入圆的方程，得x0，当水面下降1米后，水面宽为2x02米【答案】2知识点8 坐标法证明几何问题【例8-1】如

13、图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.【证明】以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|2r，D(a，0)，则|CD|，C(a，)，圆O：x2y2r2，圆C：(xa)2(y)2r2a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax2yr2a2.令xa，得y，H(a，)，即H为CD中点，EF平分CD.【变式训练8-1】如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值【证明】如图，以O为坐标原

14、点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上，故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)名师导练2.5.1 直线与圆的位置关系A组-应知应会1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定【解析】点M(a，b)在圆x2y21外，a2b21.圆心(0，0)到直线axby1的距离d1r，则直线与圆的位置关系是相交【答案】B2平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的

15、方程是()A2xy0或2xy0B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50【解析】依题意可设所求切线方程为2xyc0，则圆心(0，0)到直线2xyc0的距离为，解得c±5.故所求切线方程为2xy50或2xy50.【答案】D3已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22【解析】由条件，知xy0与xy40都与圆相切，且平行，所以圆C的圆心C在直线xy20上由得圆心C(1，1)又因为两平行线间距离d2，所以所求圆的半径长r，故圆C的方程为(

16、x1)2(y1)22.【答案】B4若直线ykx与圆x2y26x80相切，且切点在第四象限，则k_【解析】圆x2y26x80，即(x3)2y21，其圆心为(3，0)、半径等于1.由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得1，求得k.【答案】5直线yx2被圆M：x2y24x4y10所截得的弦长为_【解析】x2y24x4y10可变为(x2)2(y2)29，故圆心坐标为(2，2)，半径为3.圆心到直线xy20的距离是，故弦长的一半是，所以弦长为2.【答案】26过点A(1，4)作圆C：(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程【解】设l的方程为y4k(x1)，即kxyk40，d1，4

17、k23k0，k0或k，切线l的方程为y4或3x4y130.7已知曲线C：x2y22x4ym0.(1)当m为何值时，曲线C表示圆？(2)若直线l：yxm与圆C相切，求m的值【解】(1)由C：x2y22x4ym0，得(x1)2(y2)25m，由5m>0时，得m<5，当m<5时，曲线C表示圆；(2)圆C的圆心坐标为(1，2)，半径为.直线l：yxm与圆C相切，解得：m±3，满足m<5.m±3.B组-素养提升8在圆x2y22x4y30上且到直线xy10的距离为的点共有()A1个 B2个C3个 D4个【解析】圆心为(1，2)，半径r2，从而圆心到直线xy10的

18、距离d，故圆上有3个点满足题意【答案】C9圆x2y24x6y120过点(1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则mn等于()A102 B5C103 D5【解析】圆的方程x2y24x6y120化为标准方程为(x2)2(y3)225.所以圆心为(2，3)，半径长为5.因为(12)2(03)21825，所以点(1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m10.当(1，0)为弦的中点时，弦长最小，此时弦心距d3，所以最小弦长为222，所以mn102.【答案】A10设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a_【解析】圆心到直线的距离d1，解得a0.【答案】

19、011由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_【解析】切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.【答案】12(1)求圆x2y210的切线方程，使得它经过点M(2，)；(2)求圆x2y24的切线方程，使得它经过点Q(3，0)【解】(1)点M的坐标适合圆的方程，点M在圆x2y210上，由题可知圆心为O(0，0)，则直线OM的斜率kOM.圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率为k.故经过点M的切线方程为y·(x2)，整理得：2xy100.(2)容易判断点Q(3，0)在圆外设切线

20、的方程为yk(x3)，即kxy3k0，又圆的圆心为(0，0)，半径为2，所以2.解得：k±.所求切线方程为：y±(x3)，即2x5y60或2x5y60.13已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程(1)【证明】因为l的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR)，所以解得即l恒过定点A(3，1)因为圆心为C(1，2)，所以|AC|<5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点(2)【解】由题意可知弦长最小时，lAC.因为kAC

21、，所以l的斜率为2.又l过点A(3，1)，所以l的方程为2xy50.2.5.2 圆与圆的位置关系A组-应知应会1圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是 ()A外离 B相交 C内切 D外切【解析】圆C1：x2y29的圆心为C1(0，0)，半径r13；圆C2：x2y28x6y90化为(x4)2(y3)216，圆心为C2(4，3)，半径r24，圆心距|C1C2|5.因为|r1r2|C1C2|34r1r2，所以两圆相交【答案】B2过两圆x2y26x4y0及x2y24x2y40的交点的直线的方程是()Axy20 Bxy20C5x3y20 D不存在【解析】由得xy20.【答案】A3若圆C1：(x2

22、)2(ym)29与圆C2：(xm)2(y1)24外切，则实数m的值为 ()A2 B5 C2或5 D不确定【解析】两圆的圆心分别为(2，m)，(m，1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得32，解得m2或5.【答案】C4已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为_【解析】圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，直线C1C2的方程为xy30，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为xy30.【答案】xy305圆C1：x2y22mxm240与圆C2：x2y22x4my4m280相交，则实数m的取值范围是_【解析】整理圆C1得(x

23、m)2y24，整理圆C2得(x1)2(y2m)29，C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(1，2m)，半径为3.两圆相交，圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，即1<<5，解得：0<m<2或<m<.【答案】(0，2)或6求圆C1：x2y22x0和圆C2：x2y24y0的圆心距|C1C2|，并确定圆C1和圆C2的位置关系【解】圆C1：x2y22x0化为(x1)2y21，圆C2：x2y24y0化为x2(y2)24，圆C1，C2的圆心坐标，半径长分别为C1(1，0)，r11；C2(0，2)，r22.|C1C2|.又21<|C1C2|&

24、lt;21，故圆C1，C2的位置关系是相交7已知圆C1：x2y210x10y0和圆C2：x2y26x2y400相交于A，B两点，求公共弦AB的长【解】联立方程，可得解得或两个圆的交点是A(2，6)，B(4，2)，|AB|10.B组-素养提升8半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程是()A(x4)2(y6)26B(x4)2(y6)26或(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236D(x4)2(y6)236或(x4)2(y6)236【解析】由题意可设圆的方程为(xa)2(y6)236，由题意，得5，所以a216，所以a±4.【答案】D9设两圆C1，C2都和两

25、坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ()A4 B4 C8 D8【解析】因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，所以两圆C1，C2的圆心都在yx上设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，则(4x1)2(1x1)2x，(4x2)2(1x2)2x，即x1，x2是方程(x4)2(x1)2x2的两根即x1，x2是方程x210x170的两根所以x1x210，x1x217.所以|C1C2|x1x2|·8.【答案】C10在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的

26、圆与圆C有公共点，则实数k的最大值是_【解析】圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4，0)由题意知(4，0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故实数k的最大值为.【答案】11圆C1：x2y22x80与圆C2：x2y22x4y40的公共弦长为_【解析】圆C1与圆C2的公共弦所在直线l的方程为xy10，点C1(1，0)到直线l的距离d，圆C1的半径r13，圆C1和圆C2的公共弦长为222.【答案】212已知关于x，y的方程C：x2y22x4ym0.(1)若方程C表示圆，求实数m的取值范围；(2)若圆C与圆x2y28x12y360外切，求实数m的值；(3)若圆

27、C与直线l：x2y40相交于M，N两点，且|MN|，求实数m的值【解】(1)把方程C：x2y22x4ym0，配方得：(x1)2(y2)25m，若方程C表示圆，则5m>0，解得m<5；所以m的取值范围为(，5)(2)把圆x2y28x12y360化为标准方程得：(x4)2(y6)216，得到圆心坐标为(4，6)，半径为4，则两圆心间的距离d5，因为两圆的位置关系是外切，所以dRr即45，解得m4；(3)因为圆心C的坐标为(1，2)，则圆心C到直线l的距离d，所以()2d2，即5m1，解得m4.13已知圆C1：x2y24x2y50，圆C2：x2y22x2y140.(1)试判断两圆的位置关

28、系；(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程【解】(1)圆C1：x2y24x2y50，即(x2)2(y1)210，其圆心为C1(2，1)，半径等于，C2：x2y22x2y140，即(x1)2(y1)216，其圆心为C2(1，1)为圆心，半径等于4.由于两圆的圆心距等于3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x6)，即kxy36k0，由弦长公式可得圆心到直线l的距离d2，再由点到直线的距离公式可得d2，解得k0或k.故直线l的方

29、程为y3或4x3y150.2.5.3直线与圆的方程的应用A组-应知应会1方程xk有唯一解，则实数k的取值范围是()A B(，)C1，1) Dk|k或1k1【解析】由题意知，直线yxk与半圆x2y21(y0)只有一个交点，结合图形(图略)易得1k<1或k.【答案】D2y|x|的图象和圆x2y24所围成的较小的面积是()A. B. C. D【解析】如图，所求面积是圆x2y24面积的.【答案】D3若直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M，N两点，且M，N关于直线x2y0对称，则实数km()A1 B1 C0 D2【解析】由题意，可得直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M，N两点，且M，N

30、关于直线x2y0对称，直线x2y0是线段MN的中垂线，得k·()1，解之得k2，又圆方程为x2y22xmy40，圆心坐标为(1，)，将(1，)代入x2y0，解得m1，得km1.故选B.【答案】B4已知圆的方程为(x1)2(y1)29，过圆内一点P(2，3)作弦，则最短弦长为_【解析】当P为弦的中点时，弦最短圆(x1)2(y1)29的圆心为(1，1)，半径r3，圆心(1，1)与(2，3)点的距离d，所求最短的弦长为24.【答案】45一束光线从点A(2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路径的长度是_【解析】由题意可得圆心为C(2，3)，半径为r1，点A关于x轴的

31、对称点为A(2，2)，求得|AC|，则要求的最短路径的长为|AC|r1.【答案】16设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为31，问：甲、乙两人在何处相遇？【解】如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为1(a3，b3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有解得所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇7已知实数x，y满足方程(x3)

32、2(y3)26，求(1)的最大值与最小值；(2)的最大值与最小值【解】(1)设k，则k表示圆上点P(x，y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为ykx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值由点C(3，3)到直线ykx的距离d，得k3±2，即k3±2时，直线OP与圆C相切，所以32，32.(2)代数式表示圆C上的点到定点(2，0)的距离，圆心(3，3)与定点(2，0)的距离为，又圆C的半径是，所以()max，()min.B组-素养提升8设集合A(x，y)|(x4)2y21，B(x，y)|(xt)2(yat2)21，若存在实数t，使得AB，则实数a的取值范围是 ()A(0， B0，)C0，D0，2【解析】首先集合A，B实际上是圆上的点的集合，即A，B表示两个圆，AB说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即2，整理成关于t的不等式：(a21)t24(a2)t160，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即16(a2)24(a21)×160，解得0a.【答案】C9如图所示，已知直线