对弧长曲线积分ppt课件

1、第十一章第十一章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stoke

2、s 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式1. 1. 多元函数积分学概略多元函数积分学概略baxxfd)(定积分处理了非均匀直线的质量定积分处理了非均匀直线的质量二重积分处理了非均匀平面薄片的质量二重积分处理了非均匀平面薄片的质量Dyxfd),(三重积分处理了非均匀空间物体的质量三重积分处理了非均匀空间物体的质量Vzyxfd),(对弧长的曲线积分处理对弧长的曲线积分处理非均匀曲线的质量非均匀曲线的质量对坐标的曲线积分处理变力沿曲线所作的功对坐标的曲线积分处理变力沿曲线所作的功szyxfd),(LyyxQxyxPd ),(d ),(定积分还能处理变力沿直线所作的功定积分还能处理变力沿直线所作的

3、功baxxfd)(第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 前往 终了 对弧长的曲线积分 第十一章 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB , 其线密度为其线密度为),(zyx“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限 kkkks),(可得可得nk 10limM为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: : 曲线形构件的质量

4、曲线形构件的质量采用采用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 当线密度当线密度 为常数时，为常数时，此构件的质量此构件的质量 曲线长度。曲线长度。 设设 是空间中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有界函数上的一个有界函数, kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分,记作记作szyxfd),(假设经过对假设经过对 的恣意分的恣意分割割部分的恣意取点部分的恣意取点, 2.定义定义是定),(zyxf以下以下“乘积和式极限乘积和式极限那么称此极限为函那么称此极限为函数数在曲线在曲线或第一类曲线积分或第一

5、类曲线积分.),(zyxf称为被积函数，称为被积函数， 称为积分弧段称为积分弧段 .曲线形构件的质量曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对和对机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 假设假设 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(假设假设 L 是闭曲线是闭曲线 , 那么记那么记为为.d),(Lsyxf那么定义对弧长的曲线那么定义对弧长的曲线积积分为分为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 思索思索:(1) 假设在假设在 L 上上 f (x, y)1, ?d

6、表示什么问Ls(2) 定积分能否可看作对弧长曲线积分的特例定积分能否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 能够为负能够为负.3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(k 为常数为常数)szyxfd),()3( 由由 组成组成) 21, sd)4( l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 BAABszyxfszyxfd),(

7、d),()5(二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法根本思绪根本思绪:计算定积分计算定积分证略证略tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22定理定理:),(yxf设且且)()(tty上的延续函数上的延续函数,是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧那么曲线积那么曲线积分分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 确定变量转确定变量转 化为化为证证, ,1kkktt点点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22k

8、kktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为对应参数为 那么那么,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22阐明阐明:, 0, 0 kkts因此积分限必需满足因此积分限必需满足!(2) 留意到弧微分留意到弧微分22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元

9、法. 因此因此机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 即要保证即要保证ds 0 ，因此积分限就必需满足，因此积分限就必需满足!。的的方方程程应应满满足足上上，因因此此在在中中，0),(,),(),( yxFLyxLyxdsyxfL(1)(3)即被积函数即被积函数f(x,y)应取在应取在曲线上。曲线上。假设曲线假设曲线 L 的方程为的方程为),()(bxaxy那么那么有有Lsyxfd),(假设方程为极坐标方式假设方程为极坐标方式:),()(: rrL那那么么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推行推行: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(,

10、)(),(: ttztytx那那么么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 例例1. 计算计算,dLsx其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 例例2. 计

11、算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为2的圆弧的圆弧 L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴的转动惯量I (设线密度设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R那么那么 )(sincos:RyRxL机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 例例3. 计算计算,dsxIL其中其中L为双纽线为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利

12、用对称性利用对称性 , 得得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 例例4. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222szyx其中其中为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 例例5

13、. 计算计算,d2sx其中其中为球面为球面 2222azyx被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 。的的方方程程应应满满足足上上，因因此此在在中中，注注：0),(,),(),( zyxFzyxyxdsyxf思索思索: 例例5中中 改为改为0)1()1(2222zyxazyx计算计算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 那那么么sx d2sXd) 1(2sXd2332a

14、)131(22aasX d2sda2圆圆 的形心的形心在原点在原点, 故故0XaX22, 如何如何机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 例例6.计算,dsyIL其中L为右半圆)0(122xyx0y x) 1, 0( A)0 , 1 (C) 1 , 0(B以x为变量，所以必需分所以必需分L=AC+CB,由于积分限必需满足上限大于下限所以有sysysysysyBCACCBACLddddd1 , 0,0 , 1xBCxCB上而在上注意在110yyx和对应于则值对应两个即yxx0假设不分，假设不分，x的上下限如何定？的上下限如何定？x由由0到到1，只表示，只表示A到到C，x由由0

15、到到0不行。不行。ydxdxyxdxydsyxy22)(1)(1,而对sysysysysyBCACCBACLddddd10101022dxydxyydxy所以由于sysysyBCACLddd22sincos:yxLddds22sincos因此有2sin2sind2022ddsyL最后请留意这里最后请留意这里L=AC+CB，也可，也可L=BC+CA积分值不变假设用极坐标：假设用极坐标： 这阐明改动方向其值不变，对弧长的曲线积分这阐明改动方向其值不变，对弧长的曲线积分与方向无关，与方向无关， 而后面将要引见的对坐标的曲线积分那么而后面将要引见的对坐标的曲线积分那么与方向有关。与方向有关。 d d

16、s例例7. 计算计算,d)(222szyxI其中其中为球面为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2x sin2y那么那么机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 例例8. 有一半圆弧有一半圆弧cosRx ),0(其线密度其线密度 ,2解解: :cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sinco

17、s2RkRk2故所求引力为故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4机动 目录 上页 下页 前往 终了 内容小结内容小结1. 定义定义2. 性质性质kkknkksf),(lim10szyxfd),(kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 是曲线弧是曲线弧 的长度的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了

18、终了 3. 计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(xx d)(12),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧对光滑曲线弧d)()(22rr 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),(tttd)()(22)(),(ttf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 思索与练习思索与练习1. 知椭圆知椭圆134:22yxL周长为周长为a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 2. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心求